第二章 2.2 等差数列
第一课时 等差数列的概念及通项公式
课时分层训练
1．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是( )
A．an＝a＋(n－1)d B．an＝a＋(n－3)d
C．an＝a＋2(n－2)d D．an＝a＋2nd
解析：选C 数列的首项为a－2d，公差为2d，∴an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d.故选C.
2．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为( )
A. B．
C. D．
解析：选A 设等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝＋＝(－)＋(＋)＝2，
∴x＝，故选A.
3．在等差数列{an}中，已知a1＝，a4＋a5＝，ak＝33，则k＝( )
A．50 B．49
C．48 D．47
解析：选A 设等差数列{an}的公差是d，∵a1＝，a4＋a5＝，∴2a1＋7d＝，解得d＝，则an＝＋(n－1)×＝，则ak＝＝33，解得k＝50.故选A.
4．在等差数列{an}中，a2＝4，a5＝10，则数列{an}的公差为 ( )
A．1 B．2
C. D．
解析：选B 设公差为d，由题意，得解得故选B.
5．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )
A．40 B．42
C．43 D．45
解析：选B 设公差为d，则a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12d＝42.故选B.
6．(2018·陕西西安电子科技大学附中高二月考)一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差是 ．
解析：设等差数列{an}的公差为d，∴a6＝23＋5d，a7＝23＋6d，∵数列前6项均为正数，从第7项起为负数，∴23＋5d＞0,23＋6d＜0，∴－＜d＜－.又数列是公差为整数的等差数列，∴d＝－4.
答案：－4
7．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝ .
解析：根据题意得，
a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，
∴a1＝1.
又a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，
∴d＝－.
答案：－
8．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则首项a1＝ ，公差d＝ .
解析：由题意得
即∴
答案：－2 3
9．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由．
(2)求an.
解：(1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，∴－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知，＝＋(n－1)d＝，
∴an＝.
10．设数列{an}是递增的等差数列，前三项和为12，前三项积为48，求它的首项．
解：由题设
则
∴
化简得a－8a1＋12＝0，
解得a1＝6或a1＝2.又{an}是递增的，故a1＝2.
1．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于( )
A. B．
C. D．
解析：选C 由题意知∴a＝，b＝x.
∴＝.故选C.
2．等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是( )
A．d> B．d<
C.解析：选D 由题意∴
∴3．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为 ( )
A．p＋q B．0
C．－(p＋q) D．
解析：选B ∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，
∴
①－②，得(p－q)d＝q－p.
∵p≠q，∴d＝－1.
代入①，有a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.
∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0.故选B.
4．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则等于( )
A. B．
C. D．
解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝.这样可求出＝＝.故选D.
5．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝ .
解析：由已知a－a＝4，
∴{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4，
∴a＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
又an>0，∴an＝.
答案：
6．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝ .
解析：设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，
3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.
答案：20
7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升．
解析：设此等差数列为{an}，公差为d，则
∴解得
∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
答案：
8．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2)，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：∵an＝4－(n≥2)，
∴an＋1－2＝2－＝(n≥1)，
∴＝＝＋(n≥1)．
故－＝(n≥1)，
即bn＋1－bn＝(n≥1)，
所以{bn}为等差数列．
(2)由(1)知，是等差数列，
则＝＋(n－1)×＝，
解得an＝2＋，
所以{an}的通项公式为an＝2＋.
课件44张PPT。2.2 等差数列
第一课时 等差数列的概
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第二课时 等差数列的性质
课时分层训练
1．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )
A．－1 B．1
C．3 D．7
解析：选B ∵{an}是等差数列，
∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，
∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.故选B.
2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a2＋a4＋a6＝15，则a3＋a4＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选D 在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，
∴a3＝3；
又a2＋a4＋a6＝3a4＝15，
∴a4＝5，∴a3＋a4＝8.故选D.
3．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( )
A．120 B．105
C．90 D．75
解析：选B ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，
又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16.
∵d>0，∴d＝3.
则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.故选B.
4．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选C 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.故选C.
5．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
解析：选D ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.故选D.
6．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝ .
解析：由等差数列的性质可知，
a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6，
所以a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝74.
答案：74
7．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写 个大字．
解析：由题意可知，此人每天所写大字数构成首项为4，第三项为12的等差数列，即a1＝4，a3＝12，所以d＝＝4.
答案：4
8．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝ .
解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.
答案：n2
9．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
解：∵a1＋a7＝2a4，
∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
∴当d＝2时，a1＝－1，an＝2n－3，
当d＝－2时，a1＝11，an＝13－2n.
10．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
时间t(s)
1
2
3
…
？
…
60
距离s(cm)
9.8
19.6
29.4
…
49
…
？
(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬行多远？它爬行49 cm需要多长时间？
解：(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.
(2)当t＝1 min＝60 s时，
s＝9.8t＝9.8×60＝588(cm)．
当s＝49 cm时，t＝＝＝5(s)．
1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是( )
A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列
C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列
解析：选D (a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.故选D.
2．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则( )
A．d<0 B．d>0
C．a1d<0 D．a1d>0
解析：选C ∵数列{2}为递减数列，a1an＝a1[a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a1(a1－d)，等式右边为关于n的一次函数，∴a1d<0.故选C.
3．已知等差数列{an}中，a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
解析：选D ∵a1＋a7＋a13＝4π，∴a7＝，a2＋a12＝2a7＝，∴tan(a2＋a12)＝tan ＝－.故选D.
4．(2019·甘肃民乐一中、张掖二中一调)已知数列{an}为等差数列，且满足＝a3＋a2 015，若＝λ(λ∈R)，点O为直线BC外一点，则a1＋a2 017＝( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选A ∵＝a3＋a2 015，∴－＝a3＋a2 015，即＝(a3＋1)＋a2 015，又∵＝λ(λ∈R)，∴a3＋1＋a2 015＝1，∴a1＋a2 017＝a3＋a2 015＝0.故选A.
5．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为 ．
解析：设△ABC的三边长为a－4，a，a＋4(a>4)，
则＝－，
解得a＝10，三边长分别为6,10,14.
所以S△ABC＝×6×10×＝15.
答案：15
6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为 ．
解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴它们的积为－21.
答案：－21
7．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是 ．
解析：由题中数表知，第n行中的项分别为n,2n,3n，…，组成一等差数列，设为{an}，则a1＝n，d＝2n－n＝n，所以an＋1＝n＋n·n＝n2＋n，即第n行第n＋1列的数是n2＋n.
答案：n2＋n
8．数列{an}为等差数列，bn＝，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求数列{an}的通项公式．
解：∵b1＋b2＋b3＝＋＋＝，
b1b2b3＝＝，∴a1＋a2＋a3＝3.
∵a1，a2，a3成等差数列，
∴a2＝1，故可设a1＝1－d，a3＝1＋d，
由＋＋＝，
得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.
当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；
当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
课件42张PPT。2.2 等差数列
第二课时 等差数列的性质登高揽胜 拓界展怀课前自主学习剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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