第二章 2.3 等差数列的前n项和
第一课时 等差数列前n项和
的基本问题
课时分层训练
1．在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*，有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为( )
A．2 B．10
C. D．
解析：选C 由2an＋1＝1＋2an，可得an＋1－an＝，
即数列{an}是以－2为首项，为公差的等差数列，
则an＝，故a10＝，所以数列{an}的前10项的和S10＝＝.故选C.
2．(2019·岳阳模拟)在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．95 B．100
C．135 D．80
解析：选B 由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.故选B.
3．在等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＝3，Sn为等差数列{an}的前n项和，则S5＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C ∵a2＋a3＋a4＝3a3＝3，解得a3＝1，
∴S5＝(a1＋a5)＝5a3＝5.故选C.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为( )
A．18 B．19
C．20 D．21
解析：选D 因为{an}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，Sn＝＝＝×32＝16n＝336，解得n＝21.故选D.
5．设数列{an}是公差为d(d>0)的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a21＋a22＋a23＝( )
A．75 B．105
C．195 D．120
解析：选C 由a1＋a2＋a3＝15，得3a2＝15，解得a2＝5，由a1a2a3＝80，得(a2－d)a2(a2＋d)＝80，将a2＝5代入，得d＝3(d＝－3舍去)，从而a21＋a22＋a23＝3a22＝3(a2＋20d)＝3×(5＋60)＝195.故选C.
6．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，a3＝3，则S4＝ .
解析：∵a2＋a3＝a1＋a4＝4，∴S4＝＝8.
答案：8
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝ .
解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.
答案：4
8．为了参加运动会的5 000 m长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑400 m．李强10天将要跑 m.
解析：由题意可知，李强每天跑的距离数构成一个等差数列，把李强第1天跑的距离记为a1＝5 000，且公差为d＝400，则李强10天跑的距离为该等差数列的前10项和．
由S10＝10a1＋d＝10×5 000＋×400＝68 000.
所以，李强10天将跑68 000 m.
答案：68 000
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，求数列{an}的通项公式．
解：由已知条件，可得Sn＋1＝2n＋1，
则Sn＝2n＋1－1.
当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n，
又当n＝1时，3≠21，
故an＝
10．已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，a5＝15，a10＝25.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝112，求n.
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵a5＝15，∴a1＋4d＝15.①
∵a10＝25，∴a1＋9d＝25.②
由①②得，a1＝7，d＝2.
∴an＝7＋(n－1)×2＝2n＋5.
(2)∵Sn＝112，∴7n＋n(n－1)×2＝112.
即n2＋6n－112＝0，解得n＝8或n＝－14(舍去)，
故n＝8.
1．(2019·大同模拟)在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于( )
A．290 B．300
C．580 D．600
解析：选B 由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1.
由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29，
所以S20＝＝10(a2＋a19)＝300.故选B.
2．正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a4＋a10－a＋15＝0，则S13＝( )
A．－39 B．5
C．39 D．65
解析：选D ∵正项等差数列{an}的前n项和为Sn，
a4＋a10－a＋15＝0，
∴a－2a7－15＝0，
解得a7＝5或a7＝－3(舍去)，
∴S13＝(a1＋a13)＝13a7＝13×5＝65.故选D.
3．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C 设等差数列{an}的公差为d，
由得
即解得d＝4.故选C.
4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 014，Sk＝S2 009，则正整数k为( )
A．2 014 B．2 015
C．2 016 D．2 017
解析：选C 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 014，Sk＝S2 009，可得＝，解得k＝2 016，故选C.
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝ .
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意，得S4＝4a1＋d＝14，①
S10－S7＝－＝30，②
联立①②解得a1＝2，d＝1，
所以S9＝9×2＋×1＝54.
答案：54
6．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则＋＝ .
解析：∵数列{an}和{bn}都是等差数列，
∴＋＝＝＝＝＝.
答案：
7．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，初日织5尺，今一月(按30天计)织九匹三丈(一匹＝40尺，月共织390尺布)”，则从第2天起每天比前一天多织 尺布．
解析：根据题意，a1＝5，S30＝390，
∴S30＝30×5＋d＝390.∴d＝.
答案：
8．(2019·四川联合诊断)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝12，求m.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＋a4＝4，a5＋a7＝6，∴解方程可得a1＝1，d＝，
∴an＝1＋(n－1)＝.
(2)由(1)可知，Sn＝n＋×＝，
由Sm＝12，可得＝12，∴m＝6或m＝－10(舍)，故m＝6.
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第二课时 等差数列前n项和的应用
课时分层训练
1．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，S11＝，则a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
解析：选A 2a8＝a7＋a9＝16?a8＝8，S11＝＝＝11a6＝，所以a6＝，则d＝＝，所以a12＝a8＋4d＝15，故选A.
2．(2018·武昌联考)已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n的值为( )
A．18 B．19
C．20 D．21
解析：选C 由a1＋a3＋a5＝105?a3＝35，a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，则{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此当Sn取得最大值时，n＝20.故选C.
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3a3＝a6＋4.若S5<10，则a2的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，0)
C．(1，＋∞) D．(0,2)
解析：选A 设等差数列{an}的公差为d，∵3a3＝a6＋4，
∴3(a2＋d)＝a2＋4d＋4，可得d＝2a2－4.
∵S5<10，∴＝＝
＝5(3a2－4)<10，解得a2<2.
∴a2的取值范围是(－∞，2)．故选A.
4．“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是( )
A．10 min B．13 min
C．15 min D．20 min
解析：选C 由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a1＝2为首项，公差d＝2的等差数列，∴n min内通过的路程为Sn＝2n＋×2＝n2＋n＝n(n＋1)．令Sn＝n(n＋1)＝240，解得n＝15或n＝－16(舍去)．故选C.
5．已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
解析：选C 由S13<0，S12>0，知
＝＝13a7<0，
＝＝6(a6＋a7)>0，
所以a7<0，a6＋a7>0.则a6>0.且a6>|a7|，故选C.
6．已知{an}是各项不为零的等差数列，其中a1>0，公差d<0，若S10＝0，则数列{an}的前n项和取最大值时，n＝ .
解析：由S10＝＝5(a5＋a6)＝0，
可得a5＋a6＝0，
∴a5>0，a6<0，即数列{an}的前5项和为最大值，∴n＝5.
答案：5
7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 米．
解析：设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学往返所走的路程总和为
l＝2[(i－1)＋(i－2)＋…＋2＋1＋1＋2＋…＋(19－i)＋(20－i)]×10
＝(i2－21i＋210)×20＝×20，
即i＝10或11时，l最小值＝2 000.
答案：2 000
8．(2018·福建福州模拟)若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝ .
解析：当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋2＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋2－[(n－1)2－4(n－1)＋2]＝2n－5，
所以a2<0.
故|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝S10＋2(|a1|＋|a2|)＝102－4×10＋2＋2×(1＋1)＝66.
答案：66
9．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解：(1)设{an}的公差为d，由S3＝－15得3a1＋3d＝－15.
则由a1＝－7可求得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝－7＋2(n－1)＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
10．已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若{an}是递增数列，求数列{|an|}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.
由题意，得
解得或
所以等差数列{an}的通项公式为
an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7，即an＝－3n＋5或an＝3n－7.
(2)由(1)可知an＝3n－7，故|an|＝|3n－7|＝
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5.
当n≥3时，Sn＝4＋1＋2＋5＋…＋(3n－7)＝5＋＝.
1．已知{an}是等差数列，a1＝－26，a8＋a13＝5，当{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选B 设数列{an}的公差为d，
∵a1＝－26，a8＋a13＝5，
∴－26＋7d－26＋12d＝5，解得d＝3，
∴Sn＝－26n＋×3＝n2－n＝2－，
∴{an}的前n项和Sn取最小值时，n＝9.故选B.
2．(2018·潍坊模拟)在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( )
A．S15 B．S16
C．S15或S16 D．S17
解析：选A ∵a1＝29，S10＝S20，
∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2，
∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.
∴当n＝15时，Sn取得最大值．故选A.
3．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝．第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人．修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天．”在这个问题中，第5天应发大米( )
A．894升 B．1 170升
C．1 275升 D．1 467升
解析：选B 由题意知，每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则第5天的总人数为5×64＋×7＝390，所以第5天应发大米390×3＝1 170升．
4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，，，，…，.
第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.
则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于( )
A．n2 B．(n－1)2
C．n(n－1) D．n(n＋1)
解析：选C a1a2＋a2a3＋…＋an－1 an
＝·＋·＋…＋·
＝n2
＝n2
＝n2·＝n(n－1)．故选C.
5．(2019·四川模拟)已知等差数列{an}的公差d<0，若a3a7＝9，a1＋a9＝10，则该数列的前n项和Sn的最大值为 ．
解析：由题意，a3＋a7＝a1＋a9＝10，
又a3a7＝9，且d<0，所以a3＝9，a7＝1.
解得a1＝13，d＝－2.
所以Sn＝na1＋d＝－n2＋14n.
则当n＝7时，Sn取得最大值是49.
答案：49
6．等差数列{an}中，a1＝31，d＝－6，则数列{Sn}中与0最近的是第 项．
解析：令Sn＝31n＋·(－6)＝－3n2＋34n＝0，则n＝11.
所以第11项与0最近．
答案：11
7．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为 ．
解析：由当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得
即解得－1答案：
8．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由于a3＝7，a5＋a7＝26，
∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.
∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)∵an＝2n＋1，
∴a－1＝4n(n＋1)，
∴bn＝＝.
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝，
∴数列{bn}的前n项和Tn＝.
课件49张PPT。2.3 等差数列的前n项和
第二课时 等差数列前n项和的应用登高揽胜 拓界展怀课前自主学习剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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