第二章 2.4 等比数列
第一课时 等比数列的概念及通项公式
课时分层训练
1．如果数列{an}是等比数列，那么( )
A．数列{a}是等比数列 B．数列{2}是等比数列
C．数列{lg an}是等比数列 D．数列{nan}是等比数列
解析：选A 利用等比数列的定义验证即可．
2．(2019·信阳调研)已知等比数列{an}的公比q>0，且a5·a7＝4a，a2＝1，则a1＝( )
A. B．
C. D．2
解析：选B 因为{an}是等比数列，
所以a5a7＝a＝4a，所以a6＝2a4，q2＝＝2，又q>0，
所以q＝，a1＝＝.故选B.
3．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D 因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.故选D.
4．若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比为( )
A．0 B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
解析：选C 设等比数列的公比为q，由2a4＝a6－a5得，2a4＝a4q2－a4q，∵a4≠0，∴q2－q－2＝0，解得q＝－1或2.故选C.
5．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1
C．(－2)n D．－(－2)n
解析：选A 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，
又a5>a2，所以a2<0，a5>0，
从而a1>0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.故选A.
6．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝ .
解析：∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2.
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
答案：(－2)n或－2n
7．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝ .
解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝＝＝，所以an＝4×n－1.
答案：4×n－1
8．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－1，则an＝ .
解析：∵Sn＝2an－1，①
∴Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，②
①－②得an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1.
∵S1＝a1＝2a1－1，即a1＝1，
∴数列{an}为首项是1，公比是2的等比数列，
故an＝2n－1.
答案：2n－1
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝.
∴{an}是等比数列．
10．已知：a，－，b，－，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．
解：由题意知b2＝×＝6，
∴b＝±.
当b＝时，ab＝2，解得a＝.
bc＝2＝10，解得c＝7.
同理，当b＝－时，a＝－，c＝－7.
综上所述，a，b，c的值分别为，，7或－，－，－7.
1．已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
解析：选B 设等比数列{an}的公比为q，因为4a1,2a2，a3成等差数列，所以4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2.故选B.
2．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于( )
A．32 B．34
C．66 D．64
解析：选C 依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C.
3．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则S6＝( )
A．44 B．45
C.×(46－1) D．×(45－1)
解析：选B 由an＋1＝3Sn，得a2＝3S1＝3.当n≥2时，an＝3Sn－1，则an＋1－an＝3an，n≥2，即an＋1＝4an，n≥2，则数列{an}从第二项起构成等比数列，所以S6＝＝＝45.故选B.
4．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝( )
A．－1 B．1
C. D．－2
解析：选B 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；
b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.
所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，所以＝1.故选B.
5．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝ .
解析：设等比数列{an}的公比为q，
则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，
a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，
两式相除，得＝，解得q＝－2，a1＝1，
所以a4＝a1q3＝－8.
答案：－8
6．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是 ．
解析：由an＝2Sn－3得，an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，即＝－1(n≥2)．
故{an}是公比为－1的等比数列，
令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，
故an＝3×(－1)n－1.
答案：an＝3×(－1)n－1
7．已知a,1，b成等差数列，a2,1，b2成等比数列，则＝ .
解析：∵a,1，b成等差数列，∴a＋b＝2.
又∵a2,1，b2成等比数列，
∴a2b2＝1，∴ab＝±1，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4±2，
∴＝1或＝.
答案：1或
8．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n∈N*且n≥2)．
(1)求a2，a3，并证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)∵a1＝－1，an＝3an－1－2n＋3，
∴a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
∵＝＝＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，
∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2×3n－1，
∴an＝n－2×3n－1.
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第一课时 等比数列的概念
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第二课时 等比数列的性质
课时分层训练
1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a2a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为( )
A．3 B．－3
C．－ D．
解析：选D 数列{an}是公比为正数的等比数列，设公比为q(q>0)，则a2a6＝a，∴a＝9a4，∴a4＝9，∴q2＝＝9，
∴q＝3，∴a1＝＝.故选D.
2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，此数列是( )
A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列
解析：选B 设新数列为{bn}，则{bn}的通项公式为bn＝anan＋1.所以＝＝q2，故数列{bn}是公比为q2的等比数列．故选B.
3．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42
C．63 D．84
解析：选B 设等比数列公比为q，则a1＋a1q2＋a1q4＝21，又因为a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42，故选B.
4．在等比数列{an}中，a3a11＝4a7.若数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选C 在等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4.在等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
5．已知数列{an}为等比数列，其中a5，a9为方程x2＋2 018x＋9＝0的两根，则a7的值为( )
A．－3 B．3
C．±3 D．9
解析：选A ∵数列{an}为等比数列，其中a5，a9为方程x2＋2 018x＋9＝0的两根，
∴a5＋a9＝－2 018，a5a9＝9，
∴a5<0，a9<0，
则a7＝－＝－3.故选A.
6．在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝ .
解析：由题意知q5＝＝8，则am＋15＝amq15＝3×83＝1 536.
答案：1 536
7．在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 ．
解析：令a1＝2>0，a5＝8>0，∴a3＝＝4.
又a1a5＝a2a4＝a，∴a2a3a4＝a＝43＝64.
答案：64
8．三个数a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则这三个数依次为 ．
解析：∵a，b，c成等比数列，公比是q＝3，
∴b＝3a，c＝9a.
又由等差中项公式有2(b＋8)＝a＋c.
∴2(3a＋8)＝a＋9a，∴a＝4.
∴b＝12，c＝36.
答案：4,12,36
9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
解：∵a1a5＝a，a3a7＝a，
∴由题意，得a－2a3a5＋a＝36，
同理得a＋2a3a5＋a＝100，
∴即
解得或
分别解得或
∴an＝2n－2或an＝26－n.
10．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an.
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，
∴an＝a1qn－1＝13.5×0.9n－1.
∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n(万元)．
(2)由(1)，得a5＝a1q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元．
1．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c( )
A．成等差数列不成等比数列
B．成等比数列不成等差数列
C．成等差数列又成等比数列
D．既不成等差数列又不成等比数列
解析：选A 解法一：a＝log23，b＝log26＝log23＋1，c＝log212＝log23＋2.
∴b－a＝c－b.即2b＝a＋c.
解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，故选A.
2．已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选D 因为{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－a＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)．又{bn}为等比数列，所以b6b8＝b＝a＝16.故选D.
3．(2018·辽宁五校联考)已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为( )
A．10 B．20
C．100 D．200
解析：选C a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100.故选C.
4．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的一个可能的值是( )
A. B．
C．2 D．
解析：选D 由题意可设三角形的三边分别为，a，aq，(a，q>0)因为三角形两边之和大于第三边，所以有＋a>aq，即q2－q－1<0，解得0，故5．在等比数列{an}中，若an>0，a1a100＝100，则lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100＝ .
解析：∵在等比数列{an}中，a1a100＝a2a99＝a3a98＝…＝a50a51，
∴lg a1＋lg a2＋…＋lg a100＝lg(a1a2…a100)＝lg(a1a100)50＝50lg 100＝100.
答案：100
6．已知正项等差数列{an}满足：an＋1＋an－1＝a(n≥2)，等比数列{bn}满足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝ .
解析：由题意可知，an＋1＋an－1＝2an＝a，
解得an＝2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数，故an＝0舍去)．
又因为bn＋1bn－1＝b＝2bn(n≥2)，
所以bn＝2(n≥2)，
所以log2(a2＋b2)＝log24＝2.
答案：2
7．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，再以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 平方厘米．
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，
则第10个正方形的面积S＝a＝22×29＝211＝2 048.
答案：2 048
8．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列a，a，…，a，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式．
解：依题意a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，所以a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d，数列{abn}的公比q＝＝＝3，
所以a＝a13n－1，①
又abn＝a1＋(bn－1)d＝a1，②
由①②得a1·3n－1＝·a1.
因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.
课件42张PPT。2.4 等比数列
第二课时 等比数列的性质登高揽胜 拓界展怀课前自主学习剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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