第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
课时分层训练
1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M>N B．M≥N
C．M
解析：选A 由题意知，因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝(a－1)2＋2>0恒成立，所以M>N.故选A.
2．若aA．|a|>|b| B．>
C.> D．a2>b2
解析：选B 由不等式的性质可得|a|>|b|，a2>b2，>成立．故选B.
3．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( )
A．v≤120(km/h)或d≥10(m)
B.
C．v≤120(km/h)
D．d≥10(m)
解析：选B 最大限速与车距是同时的，故选B.
4．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A.> B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D．>
解析：选C 由a>b>0?0<<?a＋>b＋，故选C.
5．若ab2，②|1－a|>|b－1|；③>>，其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 因为a－b>0，则1－a>1－b>1，所以①a2＋1>b2正确；②|1－a|>|b－1|正确；因为a>正确，故选D.
6．已知a>b>0，且c>d>0，则与的大小关系是 ．
解析：∵c>d>0，∴>>0，
∵a>b>0，∴>>0，∴>.
答案：>
7．如图，在一个面积为350 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍，上述不等关系可用W表示为 ．
解析：仓库的长L＝－10，∴－10>4W.
答案：－10>4W
8．(2018·武汉一模)已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是 ．
解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0，
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<1即此式无解．
综上可得实数b的取值范围为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
9．已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．
解：－(＋)＝＋
＝＋＝
＝.
∵a，b为正实数，
∴＋>0，>0，(－)2≥0.
于是有≥0，当且仅当a＝b时等号成立，
∴＋≥＋，当且仅当a＝b时取等号．
10．已知－6解：∵－6∴<<，
①当0≤a<8时，0≤<4；
②当－6由①②得－3<<4.
故的取值范围为(－3,4)．
1．(2019·资阳诊断)已知a，b∈R，下列命题正确的是( )
A．若a>b，则|a|>|b| B．若a>b，则<
C．若|a|>b，则a2>b2 D．若a>|b|，则a2>b2
解析：选D 当a＝1，b＝－2时，选项A、B、C均不正确；对于D项，a>|b|≥0，则a2>b2.故选D.
2．(2018·河南六市第一次联考)若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
解析：选D ∵<<0，∴ba2，ab3．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
解析：选C 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，所以x>0，又y>z，所以xy>xz，故选C.
4．若0A.< B．>
C．ab>ba D．logba>logab
解析：选D 对于A，函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以当0恒成立；对于C，当0aa，函数y＝xa单调递增，所以aa>ba，所以ab>aa>ba恒成立．故选D.
5．已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是 ．
解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，
∴≥0.
∴＋≥＋.
答案：＋≥＋
6．已知|a|<1，则与1－a的大小关系为 ．
解析：由|a|<1，得－1∴1＋a>0,1－a>0.
∵＝.
且0<1－a2≤1，∴≥1，
∴≥1－a.
答案：≥1－a
7．设a，b为正实数，有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中正确的命题为 (写出所有正确命题的序号)．
解析：对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1?a－b＝?a－b>0?a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则≥1?a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．
对于②，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1.
对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.
对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，
∴a≠b，不妨设a>b>0.
∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.
即a3－b3>(a－b)3>0，
∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，
∴0即|a－b|<1.因此正确．
答案：①④
8．若二次函数f(x)的图象关于y轴对称，且1≤f(1)≤2，3≤f(2)≤4，求f(3)的取值范围．
解：由题意设f(x)＝ax2＋c(a≠0)，
则所以
而f(3)＝9a＋c＝3f(2)－3f(1)＋＝，因为1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，
所以5≤5f(1)≤10,24≤8f(2)≤32，
所以－10≤－5f(1)≤－5，
所以14≤8f(2)－5f(1)≤27，
所以≤≤9，即≤f(3)≤9，
所以f(3)的取值范围是.
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