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匀速圆周运动习题分类
知识要点
汽车过拱形桥
圆锥摆问题
火车转弯问题
章末总结
一、汽车过拱形桥
1．汽车过拱形桥
汽车在最高点满足关系：mg－N＝m，即N＝mg－m.
(1)当v＝时，N＝0.
(2)当0≤v<时，0(3)当v>时，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险．
2．汽车过凹形桥
汽车在最低点满足关系：N－mg＝，即N＝mg＋.
由此可知，汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥．
二、“旋转秋千”
1．向心力：做圆锥摆运动的小球在水平面内做匀速圆周运动的向心力是由其受到的重力和悬线拉力T的合力F合提供，即F合＝mgtan_α.
2．动力学方程：mgtan α＝mω2lsin_α.
3．圆锥摆的周期T＝＝2π.
三、火车转弯
1．向心力来源：在铁路转弯处，内、外铁轨有高度差，火车在此处依据规定的速度行驶，转弯时，向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力提供，即F＝mgtan_α.
2．规定速度：若火车转弯时，火车轮缘不受轨道压力，则mgtan α＝，故v0＝，其中R为弯道半径，α为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为弯道规定的速度．
(1)当v＝v0时，F＝F合，即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨均无侧压力，这就是设计的限速状态．
(2)当v>v0时，F>F合，即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时外轨对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分．
(3)当v
例题精讲：
例1 一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m的一段凸形桥面，g＝10 m/s2，求：
(1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
(2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？
【答案】(1)1.78×104N (2)21.2m/s
【解析】
试题分析：在桥顶，轿车靠重力和支持力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出轿车对桥面的压力；在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，靠重力和支持力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出最高点的速度．
(1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示：
由牛顿第二定律得mg－FN＝m
代入数据解得桥面的支持力为：FN≈1.78×104N
根据牛顿第三定律，轿车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×104N．
(2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力Fn′＝mg－FN＝0.5mg
而，
代入数据解得此时轿车的速度大小：v′≈21.2 m/s.
例2 如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( )
A．速度vA＞vB
B．角速度ωA＞ωB
C．向心力FA＞FB
D．向心加速度aA＞aB
【答案】A
【解析】
【详解】
物体受力如图：
将FN沿水平和竖直方向分解得：FNcosθ=ma?，FNsinθ=mg?。根据牛顿第二定律，合外力提供向心力，合外力相等，则向心力相等。可得：mgcotθ=ma=m=mω2R．可知半径大的线速度大，角速度小。则A的线速度大于B的线速度，A的角速度小于B的角速度，A、B的向心加速度相等。故A正确，BCD错误。故选A。
例3铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图7所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
【答案】C
【解析】
【详解】
CD.火车在水平面内运动，所以在竖直方向上受力平衡，所以铁轨对火车的支持力FN的竖直分量与重力平衡，即FNcosθ=mg，所以，FN＝，故C正确，D错误；
AB.铁轨对火车的支持力FN的水平分量为FNsinθ=mgtanθ，火车在弯道半径为R的转弯处的速度，所以火车转弯时需要的向心力；支持力的水平分量正好等于向心力，故火车轮缘对内外轨道无挤压，故A B错误；
例4 如图所示，高速公路转弯处弯道圆半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.23.最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率vm为多大？当超过vm时，将会出现什么现象？(g＝9.8 m/s2)
【答案】（1）15m/s（2）当超过时，所需向心力超过最大静摩擦力，汽车将离心运动，发生径向滑动，容易造成交通事故
【解析】
【详解】
（1）当刚要发生径向滑动时，摩擦力达到最大静摩擦力，根据向心力方程：，代入数据解得：Vm≈15m/s
（2）当超过时，所需向心力超过最大静摩擦力，汽车将离心运动，发生径向滑动，容易造成交通事故
课堂练习
1．汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( )
A．减为原来的 B．减为原来的
C．增为原来的2倍 D．增为原来的4倍
【答案】D
【解析】
【详解】
一辆汽车在水平地面上转弯时，地面的侧向摩擦力已达到最大，则
当这辆汽车速率增为原来的2倍时，为避免发生事故，临界情况仍为侧向最大摩擦力提供向心力，即
联立解得：．故D项正确，ABC三项错误．
2．两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图9所示，A运动的半径比B的大，则( )
A．A所需的向心力比B的大
B．B所需的向心力比A的大
C．A的角速度比B的大
D．B的角速度比A的大
【答案】A
【解析】
试题分析：两个小球均做匀速圆周运动，对它们受力分析，找出向心力来源，可先求出角速度，再由角速度与线速度、向心加速度的关系公式求解．
绳子的拉力和重力充当向心力，故，为绳子与竖直方向的夹角，因为夹角不同，所以向心力不同，夹角越大，向心力越大，故A受到的向心力比B大，A正确B错误；根据公式，而，故有，故，两者的角速度相等，CD错误．
3．如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是( )
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动
【答案】BC
【解析】
【详解】
在水平面上，细绳的拉力提供m所需的向心力，若拉力突然变大，小球可能沿轨迹Pc做“近心”运动，故A错误；当拉力消失，物体受力合为零，将沿切线方向做匀速直线运动，故C正确．当向心力减小时，将沿pb做离心运动，故B正确，D错误．
4．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关．还与火车在弯道上的行驶速度v有关．下列说法正确的是( )．
A．速率v一定时，r越小，要求h越大
B．速率v一定时，r越大，要求h越大
C．半径r一定时，v越小，要求h越大
D．半径r一定时，v越大，要求h越大
【答案】AD
【解析】
【详解】
火车转弯轨道与轮缘间无挤压时，向心力由重力与轨道支持力的合力提供。设轨道平面与水平面的夹角为，则有
因为很小，则
其中为轨间距，是定值，有
AB．一定时，越小，要求越大，选项A正确，B错误；
CD．一定时，越大，要求越大，选项C错误，D正确；
故选AD。
5.如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v，则此时每段线中张力大小为( )．
A.mg
B．2mg
C．3mg
D．4mg
【答案】A
【解析】
试题分析：当小球到达最高点速率为v时，有当小球到达最高点速率为2v时，应有，所以，此时最高点各力如图所示，所以，A正确．
考点：牛顿第二定律；向心力．
6.如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有( )．
A. N小于滑块重力
B．N大于滑块重力
C．N越大表明h越大
D．N越大表明h越小
【答案】BC
【解析】
【详解】
设滑块在B点的速度大小为v，选B处所在平面为零势能面，从开始下滑到B处，由机械能守恒定律得mgh＝mv2，在B处由牛顿第二定律得N′－mg＝，可得：，又根据牛顿第三定律FN＝FN′，故BC正确，AD错误．
7．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )．
A.
B．
C.
D．
【答案】C
【解析】
【详解】
在最高点竖直分速度为零，只有水平方向的分速度，且重力提供向心力：，解得：，ACD错误C正确。
8.如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
【答案】(1)1 m/s ；(2)0.2
【解析】
【详解】
(1)物块做平抛运动，在竖直方向有
解得
物块做平抛运动的初速度
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
联立解得
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知识要点
汽车过拱形桥
圆锥摆问题
火车转弯问题
章末总结
一、汽车过拱形桥
1．汽车过拱形桥
汽车在最高点满足关系：mg－N＝m，即N＝mg－m.
(1)当v＝时，N＝0.
(2)当0≤v<时，0(3)当v>时，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险．
2．汽车过凹形桥
汽车在最低点满足关系：N－mg＝，即N＝mg＋.
由此可知，汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥．
二、“旋转秋千”
1．向心力：做圆锥摆运动的小球在水平面内做匀速圆周运动的向心力是由其受到的重力和悬线拉力T的合力F合提供，即F合＝mgtan_α.
2．动力学方程：mgtan α＝mω2lsin_α.
3．圆锥摆的周期T＝＝2π.
三、火车转弯
1．向心力来源：在铁路转弯处，内、外铁轨有高度差，火车在此处依据规定的速度行驶，转弯时，向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力提供，即F＝mgtan_α.
2．规定速度：若火车转弯时，火车轮缘不受轨道压力，则mgtan α＝，故v0＝，其中R为弯道半径，α为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为弯道规定的速度．
(1)当v＝v0时，F＝F合，即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨均无侧压力，这就是设计的限速状态．
(2)当v>v0时，F>F合，即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时外轨对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分．
(3)当v
例题精讲：
例1 一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m的一段凸形桥面，g＝10 m/s2，求：
(1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
(2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？
例2 如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( )
A．速度vA＞vB
B．角速度ωA＞ωB
C．向心力FA＞FB
D．向心加速度aA＞aB
例3铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图7所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
例4 如图所示，高速公路转弯处弯道圆半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.23.最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率vm为多大？当超过vm时，将会出现什么现象？(g＝9.8 m/s2)
课堂练习
1．汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( )
A．减为原来的 B．减为原来的
C．增为原来的2倍 D．增为原来的4倍
2．两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图9所示，A运动的半径比B的大，则( )
A．A所需的向心力比B的大
B．B所需的向心力比A的大
C．A的角速度比B的大
D．B的角速度比A的大
3．如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是( )
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动
4．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关．还与火车在弯道上的行驶速度v有关．下列说法正确的是( )．
A．速率v一定时，r越小，要求h越大
B．速率v一定时，r越大，要求h越大
C．半径r一定时，v越小，要求h越大
D．半径r一定时，v越大，要求h越大
5.如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v，则此时每段线中张力大小为( )．
A.mg
B．2mg
C．3mg
D．4mg
6.如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有( )．
A.N小于滑块重力
B．N大于滑块重力
C．N越大表明h越大
D．N越大表明h越小
7．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )．
A.
B．
C.
D．
8.如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
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