2020届三轮冲刺 上海高考数学基础知识回顾辅导讲义：第二讲函数（一）教师版

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2020上海高考数学基础知识回顾：
第二讲函数一


一、函数的有关概念
★1、函数的定义：在某个变化过程中有两个变量，如果对于在某个实数集合内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，那么就是的函数，记作（）.
2、函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则．
★（1）函数的定义域的常用求法：
①分式的分母不等于零；②偶次方根的被开方数大于等于零；③对数的真数大于零；④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；⑤三角函数正切函数中；⑥如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围.
★（2）函数的解析式的常用求法：
①定义法；②换元法；③待定系数法；④函数方程法；⑤参数法；⑥配方法.
★★（3）函数的值域的常用求法：
①换元法；②配方法；③判别式法；④几何法；⑤不等式法；⑥单调性法；⑦直接法.
★★（4）函数的最值的常用求法：
①配方法；②换元法；③不等式法；④几何法；⑤单调性法.
二、二次函数、幂指对函数
1、二次函数：
★（1）二次函数的解析式的三种形式:
① 一般式 ；
② 顶点式 ；
③ 零点式、两根式 .
★（2）二次函数的图像是抛物线，顶点坐标.
2、幂函数：
★（1）定义：形如的函数；
★★（2）幂函数的图像和性质：
①时，幂函数的图像通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图像下凸；当时，幂函数的图像上凸；
②时，幂函数的图像在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图像在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图像在轴上方无限地逼近轴正半轴．
3、指数函数：
★（1）定义：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
★（2）指数函数的图像和性质：定义域为，值域为．当时，单调递减；当时单调递增．
4、对数和对数函数：
★（1）对数的定义：如果（，），那么叫做以为底的对数，记作．读作“以为底的对数”，其中叫做底数，叫做真数．必须注意真数，即零与负数没有对数．由对数定义可知 （，，）．
★★（2）对数的性质：
① 中，零和负数没有对数，即；
② 底数的对数等于1，即，，
③ 的对数，即．
★★（3）对数的运算性质：
① （，，，）；
② （，，，）
③ ；（，，，）
④ 对数换底公式：（，，，，）
★★（4）对数函数：
①定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
②对数函数的图像和性质：定义域为，值域为．当时，单调递减；当时单调递增．
5、反函数：
★（1）反函数的概念：一般地，对于函数，设它的定义域为，值域为．如果对于
中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应（即一一对应），且满足，
这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作．在习惯上，自变量常
用表示，而函数用表示，所以把它改写为．
★★（2）反函数的性质：
① 互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图像关于对称；
② 定义域上的单调函数必有反函数；
③ 奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数；
④ 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；
⑤ 周期函数在整个定义域内不存在反函数；
⑥ 原函数图像过点，则它的反函数图像过点.
★（3）求反函数的一般步骤：
① 求原函数的值域；
② 反解，由解出；
③ 写出反函数的解析式（互换），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）.
6、指对方程：
★（1）简单的指数方程：
①(且)，解法是；
② (且)， 解法是；
③(且)，解法是转化成关于的二次方程．
★★（2）简单的对数方程：
① (且)，解法是；
② (且)，解法是；
③(且)，解法是转化成关于的二次方程，
要特别注意真数大于0．
三、函数零点
★1、定义：一般地，对于函数，如果存在实数，当时，，那么就把叫做函数的零点．
★★2、二分法:
一般地，对于函数，如果存在实数，当时，，那么就把叫做函数 的零点；将“通过每次把的零点所在的小区间收缩一半，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值”的这种方法称作二分法．
★★★3、零点存在定理：一般地，如果函数在定义区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，那么在区间内至少存在一个实数，使得，也就是在内，函数至少有一个零点；若函数在单调，则存在唯一一个零点．
四、一元二次方程根的分步
设，则
★★1、方程在区间内有根的充要条件为或；
★★2、方程在区间内有根的充要条件为或或或；
★★3、方程在区间内有根的充要条件为或 .
五、常见的抽象函数模型
★★★1、正比例函数模型：┄┄┄ .
★★★2、幂函数模型：┄┄┄； .
★★★3、指数函数模型：┄┄┄； .
★★★4、对数函数模型：┄┄； .
★★★5、三角函数模型：┄┄┄ .



一、函数的相关概念
函数的定义中涉及两个非空数集和一个对应法则.在处理问题时，讨论函数的定义域、函数值的取值集合、对应的解析式是尤为重要和关键，要求掌握求相关的方法如（直接法、换元法、数形结合法等）.
【例1】函数的定义域为　 　 　 　．
【难度】★
【答案】

【例2】设，，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是　 　 　．（只填写正确图形的序号）

【难度】★
【答案】②③

【例3】将函数的图像绕坐标原点逆时针选择转（为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图像，则的最大值为 　 　．
【难度】★★
【答案】
【解析】如图，当圆弧所表示的函数图像旋转到与圆相切时，是极限状态．

【例4】下列各组函数中表示相同函数的是 （ ）
、， 、，
、， 、，
【难度】★★
【答案】

【例5】若一次函数满足，则 　 　．
【难度】★★
【答案】5


【例6】记为不超过实数的最大整数，设，，则函数的值域是 　 　．
【难度】★★
【答案】

【例7】函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域是_______．
【难度】★
【答案】

2．若函数：满足，则这样的函数共有_____个．
【难度】★★
【答案】1
3．将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则的最大值为_____．
【难度】★★
【答案】
4．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
、， 、，
、， 、，
【难度】★★
【答案】

5．若函数，分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则，，的大小关系是 ．
【难度】★★
【答案】

6．已知函数的值域为，则 ．
【难度】★★
【答案】2

7．函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】

二、二次函数、幂指对函数
一元二次方程根的分步、一元二次不等式的解、二次曲线交点都可以利用二次函数作为突破点来解决；幂指对函数是高中的基本函数，从定义图像性质应用的分析是解决这类题型的基本方法．
【例8】已知二次函数，若的定义域为，值域也是，符合上述条件的函数的解析式为 ．
【难度】★★
【答案】或

【例9】方程在内有两个不同的实数根，则的取值范围为 ．
【难度】★★
【答案】


【例10】幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为 ．
【难度】★★
【答案】或

【例11】若，则函数的值域是 ．
【难度】★★
【答案】

【例12】若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于 ．
【难度】★★
【答案】1

【例13】已知函数（且）的图像过点，点关于直线的对称点在的图像上，则 ．
【难度】★★
【答案】
【巩固训练】
1．已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 ．
【难度】★★
【答案】
2．若函数在内有零点，则实数的取值范围为 ．
【难度】★★
【答案】

3．幂函数是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 ．
【难度】★★
【答案】-1，1，3，5
4．已知，若在上恒成立，则的取值范围为 ．
【难度】★★
【答案】
5．已知函数为偶函数且，又，函数，若恰好有4个零点，则的取值范围是 ．
【难度】★★★
【答案】
6．函数（且）的图像恒过定点，若点在一次函数的图像上，其中，，则的最小值为 ．
【难度】★★
【答案】8

三、指对方程
指数方程的常见解法是利用换元思想变成一次或二次方程的模型来进行计算，有时也可以利用两边取对数来降低次数化为对数方程来解决；对数方程可以利用换元或是利用对数与指数的互逆运算来计算．
【例14】解下列指数方程：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）2或；（2）0（令）．

【例15】解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【例16】若关于的方程有解，求实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．解下列指数方程：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．

2．解下列对数方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）或或；（3）．

3．有且只有一解，求的取值范围．
【难度】★★★
【答案】或

四、复合函数
解决复合函数问题一般是将其拆解成内外两个函数，根据内函数和外函数的图像和性质来进行求解．
【例17】已知函数（），给出下列四个命题：
① 当且仅当时，是偶函数；
② 函数一定存在零点；
③ 函数在区间上单调递减；
④ 当时，函数的最小值为。
那么所有真命题的序号是 ．
【难度】★★
【答案】①④

【例18】定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为 .
【难度】★★★
【答案】

【例19】已知函数，关于的方程
（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是 .
【难度】★★★
【答案】
【巩固训练】
1．设定义域为的函数，若关于的方程
有三个不同的实数解，则____________．
【难度】★★
【答案】5

2．已知函数，关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中真命题的序号为 .
【难度】★★
【答案】①③④

3．记函数的最大值为，则的最小值为___________．
【难度】★★★
【答案】




【例1】已知函数，，那么集合中所含元素共有（ ）
、0个 、1个 、0或1个 、0或1或无数个
【难度】★
【答案】
【解析】垂直于轴的直线与函数的图像的交点个数可能为任意整数个或无数个或没有；垂直于轴的直线与函数的图像的交点个数至多有1个．
【易错点】理解集合中表示的是函数概念以及函数图像中一个只能对应唯一一个，可以多个对应一个．

【变式训练】
1．函数的图象关于任意直线对称后仍为某函数的图象，则实数、、应满足的充要条件是___________．
【难度】★★
【答案】且

【例2】已知函数，则函数的值域为_________．
【难度】★★
【答案】
【解析】由得，则函数的定义域为，
，令，则
，易知在上为增函数，当，，当时，，故函数的值域为
【易错点】复合函数在求解之前应先注意整体函数的定义域的限制条件．

【变式训练】
1．已知，则函数的值域为_________．
【难度】★★
【答案】



【例3】已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值为_______．
【难度】★★
【答案】
【解析】依题意有，令得，则．
【易错点】抽象函数的赋值法在于找到所求函数自变量如何从已知恒等式中变形得到．

【变式训练】
1．定义在上的函数满足，，则______．
【难度】★★
【答案】

【例4】已知函数的值域为，则______．
【难度】★★
【答案】4
【解析】由函数的值域为，且，可知，即，在上是增函数，所以，即、为方程的两根，且，可得，，所以．
【易错点】能够将看成韦达定理的逆运用是关键．
【变式训练】
1．已知函数在时有最大值1，且满足当（其中）时，的取值范围为，则______．
【难度】★★
【答案】

【例5】若关于的方程的两个实根、满足且，则实数的取值范围是______．
【难度】★★
【答案】
【解析】设，则，解得
【易错点】一元二次方程的根的分步可以利用二次函数的图像或者韦达定理来解决，但要注意两者方法的限制性和特点．

【变式训练】
1．若方程在内恰有一解，则实数的取值范围为___________．
【难度】★★
【答案】

【例6】手机产业的发展催生了网络新字“孖”．某学生准备在计算机上作出其对应的图象，其中，，如图所示．在作曲线段时，该学生想把函数的图象作适当变换，得到该段函数的曲线．请写出曲线段在上对应的函数解析式为___________．
【难度】★★
【答案】
【解析】单调递增，图象的两端点为，，变换后的端点变为，变为，则需要纵向拉升和向上平移．所以设时，对应的函数解析式为，将代入可求得，所以
【易错点】在幂函数的变换中涉及到有函数的图像变换，这是三角函数的一个常考点，但在一般函数中涉及较少，也需要注意其应用方式．

【变式训练】
1．已知幂函数，当取不同的正数时，在上它们的图象是一簇美丽的曲线，如图所示．设点，，连接，线段恰好被其中两个幂函数，图象三等分，即有，那么___________．
【难度】★★
【答案】1

【例7】下列命题正确的是_______．
（1）函数的图象是一条直线；
（2）函数的图象可以通过指数函数的图象平移若干个单位得到；
（3）已知集合，，则的元素个数是3；
（4）函数的定义域是．
【难度】★★
【答案】（2）（3）（4）
【解析】（1）中，其图象不是一条直线；（2）因为，所以可以通过指数函数平移得到；（3）作出两个函数图象，它们在轴的左边有一个交点，在轴的右边有和两个交点；（4）由可得．综上所述，正确命题是（2）（3）（4）．
【易错点】由可得，可见对于函数总是可以由指数函数用过平移变换得到．

【变式训练】
1．函数的零点的个数是_____．
【难度】★★
【答案】1

【例8】设，则___．
【难度】★★
【答案】
【解析】因为，所以原式
【易错点】找到整体形式的特征，合并分组求和．

【变式训练】
1．函数，则的值为_____，函数的图象的对称中心为 ．
【难度】★★
【答案】，

【例9】已知，，则满足不等式的实数的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】由题意可得，根据对数函数的单调性即可求解．
【易错点】对于指对不等式，利用函数单调性或是利用两边同时取对数的方式是常见思路．

【变式训练】
1．已知，且，则、、之间满足的关系式是 ．
【难度】★★
【答案】

【例10】已知函数，的最大值和最小值分别是和，则 ．
【难度】★★
【答案】4
【解析】，为增函数，，是奇函数且为增函数，代入求解即可．
【易错点】分解函数，找到常见的两种对数函数与的性质．

【变式训练】
1．设函数，，若函数的最大值是，最小值是，则 ．
【难度】★★
【答案】6

【例11】已知函数是定义域为的偶函数．当时，，若关于的方程，，有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【难度】★★★
【答案】
【解析】利用函数图象，结合内外层函数和一元二次方程根的分步即可求解．
【易错点】利用换元后一元二次方程的根是，，再转化为原方程的解的个数问题．

【变式训练】
1．已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【难度】★★★
【答案】











基础知识

题型与方法

易错题型






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