人教版八年级下册数学 18．2．2菱形课件（2课时共37张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册数学 18．2．2菱形课件（2课时共37张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-14 07:33:22 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
18.2.2
引入情境
菱形的定义
图一
图二
平行四边形
菱形
定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
联系生活
生活中常见的菱形
实践探究
菱形的得到——剪纸实验
如图，将一张矩形的纸对折两次，沿图中的虚线剪下，再打开就得到一个菱形．
探索发现
菱形性质的发现与验证
体验菱形得到的过程，观察所得到的菱形,探究下列问题：
1．图中有哪些相等的线段？
A
D
C
B
O
AB=BC=CD=DA，
OA=OC，OB=OD．
探索发现
菱形性质的发现与验证
体验菱形得到的过程，观察所得到的菱形,探究下列问题：
2 ．图中有哪些相等的角？
A
D
C
B
O
∠ACD=∠ACB=∠CAD=∠CAB，∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB，
∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠BCD，
∠AOD=∠AOB=∠COB=∠COD=90°．
菱形性质的发现与验证
体验菱形得到的过程，观察所得到的菱形,探究下列问题：
3．图中有哪些等腰三角形，会全等吗？
A
D
C
B
O
等腰△ABD≌等腰△CBD，
等腰△DAC≌等腰△BAC ；
探索发现
菱形性质的发现与验证
体验菱形得到的过程，观察所得到的菱形,探究下列问题：
4．图中有哪些直角三角形，会全等吗？
A
D
C
B
O
Rt△AOB≌Rt△COB≌Rt△DOC≌Rt△AOD．
探索发现
菱形性质的发现与验证
体验菱形得到的过程，观察所得到的菱形,探究下列问题：
5．菱形是轴对称图形吗？
它有几条对称轴，分别是什么？
对称轴之间有什么位置关系？
A
D
C
B
O
菱形是轴对称图形，有2条对称轴，
分别是菱形的两条对角线，
两条对称轴互相垂直．
探索发现
规律总结
菱形性质的归纳
A
D
C
B
O
1．菱形的四条边相等；
2．菱形的对角线互相垂直,
并且每一条对角线平分一组对角．
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质．并还具有以下特殊性质：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD ，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB= ∠CDB，∠ABD=∠CBD．
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
A
D
C
B
O
菱形的性质
【菱形的面积公式】
菱
形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC·AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积吗?
= S△ABD+S△BCD = AC×BD
S菱形ABCD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
规律应用
菱形性质的应用
1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
A
B
C
D
O
①若已知AC=12cm，BD=16cm，
则AO=_______cm；
BO=_______cm；
AB=_______cm；
菱形ABCD的周长是_______cm。
6
8
10
40
菱形性质的应用
A
B
C
D
O
30°
60°
6
②若已知∠BAD=120°，AB=6cm，
则∠ACB=______；
∠CBO=______；
AC=_______cm；
BD=_______cm．
规律应用
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
菱形性质的应用
A
B
C
D
O
③若已知AO=3cm，BO=4cm，则
菱形ABCD的面积是=_______cm2．
24
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
实战演练
菱形性质的应用
2．如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积
实战演练
菱形性质的应用
3．如图，已知两个菱形ABCD，CEFG，其中点
A，C，F在同一直线上，连接BE，DG．
（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；
（2）证明：BE=DG．
解（1） ：△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC；
证明（2） ：∵四边形ABCD，CEFG是菱形，
∴DC=BC，CG=CE，
∠DCA=∠BCA，∠GCF=∠ECF．
∵∠ACF=180°，
∴∠DCG=∠BCE．
则在△DCG和△BCE中有DC=BC，∠DCG=∠BCE，CG=CE，
∴△DCG≌△BCE，
∴BE=DG．
4
小结反思
本课小结
平行四边形
菱形
1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形的四条边相等；
菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对
角线平分一组对角．
2.性质：
3.菱形的面积= 底×高=两对角线乘积的一半．
第2课时 菱形的判定
菱形
类比引入
复习与回顾
1．你知道矩形的判定有哪些方法吗？
2. 你知道菱形的定义吗？
3．想一想，菱形的判定会有哪些方法呢
①有一角是直角的平行四边形是矩形
②对角线相等的平行四边形是矩形
③三个角都是直角的四边形是矩形
你知道菱形的特殊的性质吗？
矩形的定义
矩形的对角线相等
矩形的四个角都是直角
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直
联想验证
菱形的判定1
有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
判定方法一(定义法) ：
AB=BC
A
B
C
D
□ABCD
A
B
C
D
菱形ABCD
∵ 在□ABCD中， AB=BC，
∴ □ABCD是菱形．
菱形的判定2
判定方法二：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
AC⊥BD
∵在□ABCD中，AC⊥BD，
∴ □ABCD是菱形．
你能证明吗？
联想验证
菱形的判定2
命题
已知：在□ABCD 中，对角线AC，BD交于点O，
且AC ⊥ BD于点O．
求证： □ABCD 是菱形．
A
B
C
D
O
∟
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC．
又∵AC⊥BD于点O，
∴BA=BC．
∴ □ABCD是菱形．
∴BD是AC的垂直平分线 ．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理
联想验证
菱形的判定3
判定方法三：
四边相等的四边形是菱形．
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
∴ □ABCD是菱形．
AB=BC=CD=DA
∵在四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA，
你能证明吗？
联想验证
菱形的判定3
命题
已知：在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA．
求证： □ABCD 是菱形．
证明：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB=AD，
∴ □ABCD是菱形．
四边相等的四边形是菱形．
定理
D
A
B
C
联想验证
小结归纳
菱形的判定方法小结
菱形的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
③四边相等的四边形是菱形
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形何时候变成菱形？
体验
一
当两根木条互相垂直时，这个四边形变成菱形．
小结归纳
菱形的判定方法小结
菱形的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
③四边相等的四边形是菱形
体验
二
先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC，DC．
你能用尺规作图画菱形吗？
A
B
D
C
所得四边形ABCD
即为菱形 ．
尝试应用
菱形的判定例题
例1：如图，□ABCD 的对角线AC，BD交于点O，
且AB=5，AO=4，BO=3．求证: □ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
5
4
3
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴
∴△OAB是直角三角形，
即AC⊥BD
∴□ABCD是菱形．
（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
尝试应用
菱形的判定例题
例2：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于
点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
A
B
C
D
O
E
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OC= AC，OD= BD．
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
证明：∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE．
又AB=AD，AE=AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE=DE．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB．∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
∴AD=AB=BE=DE．
∴四边形ABED是菱形．（四边相等的四边形是菱形）
尝试应用
菱形的判定例题
例3：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．求证：四边形ABED是菱形．
D
A
B
C
E
1
2
3
尝试应用
菱形的判定例题
例4：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
F
C
D
E
O
独立思考
可以用哪个判定方法呢？
尝试应用
菱形的判定例题
方法1：
证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
AO=CO，∠AOE=∠COF=90°．
又∵□ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴EA=FC．
∴EC=EA=FC=FA．
∴四边形AFCE是菱形．（四边相等的四边形是菱形）
例4：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
F
C
D
E
O
尝试应用
菱形的判定例题
方法2：
证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，AO=CO，
∠AOE=∠COF=90°．
又∵□ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO．
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF．∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵EA=EC，∴□AFCE是菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
例4：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
F
C
D
E
O
尝试应用
菱形的判定例题
方法3：
证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AC⊥EF，AO=CO，
∠AOE=∠COF=90°．
又∵□ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO．
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF．∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵AC⊥EF，
∴□AFCE是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
例4：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
F
C
D
E
O
小结反思
本课小结
1.如何判定一个四边形为菱形？
2.解决判定菱形的问题最关键的是什么？
3.谈一谈你的收获与体会？
18.2.2
引入情境
菱形的定义
图一
图二
平行四边形
菱形
定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
联系生活
生活中常见的菱形
实践探究
菱形的得到——剪纸实验
如图，将一张矩形的纸对折两次，沿图中的虚线剪下，再打开就得到一个菱形．
探索发现
菱形性质的发现与验证
体验菱形得到的过程，观察所得到的菱形,探究下列问题：
1．图中有哪些相等的线段？
A
D
C
B
O
AB=BC=CD=DA，
OA=OC，OB=OD．
探索发现
菱形性质的发现与验证
体验菱形得到的过程，观察所得到的菱形,探究下列问题：
2 ．图中有哪些相等的角？
A
D
C
B
O
∠ACD=∠ACB=∠CAD=∠CAB，∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB，
∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠BCD，
∠AOD=∠AOB=∠COB=∠COD=90°．
菱形性质的发现与验证
体验菱形得到的过程，观察所得到的菱形,探究下列问题：
3．图中有哪些等腰三角形，会全等吗？
A
D
C
B
O
等腰△ABD≌等腰△CBD，
等腰△DAC≌等腰△BAC ；
探索发现
菱形性质的发现与验证
体验菱形得到的过程，观察所得到的菱形,探究下列问题：
4．图中有哪些直角三角形，会全等吗？
A
D
C
B
O
Rt△AOB≌Rt△COB≌Rt△DOC≌Rt△AOD．
探索发现
菱形性质的发现与验证
体验菱形得到的过程，观察所得到的菱形,探究下列问题：
5．菱形是轴对称图形吗？
它有几条对称轴，分别是什么？
对称轴之间有什么位置关系？
A
D
C
B
O
菱形是轴对称图形，有2条对称轴，
分别是菱形的两条对角线，
两条对称轴互相垂直．
探索发现
规律总结
菱形性质的归纳
A
D
C
B
O
1．菱形的四条边相等；
2．菱形的对角线互相垂直,
并且每一条对角线平分一组对角．
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质．并还具有以下特殊性质：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD ，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB= ∠CDB，∠ABD=∠CBD．
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
A
D
C
B
O
菱形的性质
【菱形的面积公式】
菱
形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC·AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积吗?
= S△ABD+S△BCD = AC×BD
S菱形ABCD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
规律应用
菱形性质的应用
1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
A
B
C
D
O
①若已知AC=12cm，BD=16cm，
则AO=_______cm；
BO=_______cm；
AB=_______cm；
菱形ABCD的周长是_______cm。
6
8
10
40
菱形性质的应用
A
B
C
D
O
30°
60°
6
②若已知∠BAD=120°，AB=6cm，
则∠ACB=______；
∠CBO=______；
AC=_______cm；
BD=_______cm．
规律应用
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
菱形性质的应用
A
B
C
D
O
③若已知AO=3cm，BO=4cm，则
菱形ABCD的面积是=_______cm2．
24
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
实战演练
菱形性质的应用
2．如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积
实战演练
菱形性质的应用
3．如图，已知两个菱形ABCD，CEFG，其中点
A，C，F在同一直线上，连接BE，DG．
（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；
（2）证明：BE=DG．
解（1） ：△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC；
证明（2） ：∵四边形ABCD，CEFG是菱形，
∴DC=BC，CG=CE，
∠DCA=∠BCA，∠GCF=∠ECF．
∵∠ACF=180°，
∴∠DCG=∠BCE．
则在△DCG和△BCE中有DC=BC，∠DCG=∠BCE，CG=CE，
∴△DCG≌△BCE，
∴BE=DG．
4
小结反思
本课小结
平行四边形
菱形
1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形的四条边相等；
菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对
角线平分一组对角．
2.性质：
3.菱形的面积= 底×高=两对角线乘积的一半．
第2课时 菱形的判定
菱形
类比引入
复习与回顾
1．你知道矩形的判定有哪些方法吗？
2. 你知道菱形的定义吗？
3．想一想，菱形的判定会有哪些方法呢
①有一角是直角的平行四边形是矩形
②对角线相等的平行四边形是矩形
③三个角都是直角的四边形是矩形
你知道菱形的特殊的性质吗？
矩形的定义
矩形的对角线相等
矩形的四个角都是直角
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直
联想验证
菱形的判定1
有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
判定方法一(定义法) ：
AB=BC
A
B
C
D
□ABCD
A
B
C
D
菱形ABCD
∵ 在□ABCD中， AB=BC，
∴ □ABCD是菱形．
菱形的判定2
判定方法二：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
AC⊥BD
∵在□ABCD中，AC⊥BD，
∴ □ABCD是菱形．
你能证明吗？
联想验证
菱形的判定2
命题
已知：在□ABCD 中，对角线AC，BD交于点O，
且AC ⊥ BD于点O．
求证： □ABCD 是菱形．
A
B
C
D
O
∟
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC．
又∵AC⊥BD于点O，
∴BA=BC．
∴ □ABCD是菱形．
∴BD是AC的垂直平分线 ．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理
联想验证
菱形的判定3
判定方法三：
四边相等的四边形是菱形．
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
∴ □ABCD是菱形．
AB=BC=CD=DA
∵在四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA，
你能证明吗？
联想验证
菱形的判定3
命题
已知：在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA．
求证： □ABCD 是菱形．
证明：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB=AD，
∴ □ABCD是菱形．
四边相等的四边形是菱形．
定理
D
A
B
C
联想验证
小结归纳
菱形的判定方法小结
菱形的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
③四边相等的四边形是菱形
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形何时候变成菱形？
体验
一
当两根木条互相垂直时，这个四边形变成菱形．
小结归纳
菱形的判定方法小结
菱形的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
③四边相等的四边形是菱形
体验
二
先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC，DC．
你能用尺规作图画菱形吗？
A
B
D
C
所得四边形ABCD
即为菱形 ．
尝试应用
菱形的判定例题
例1：如图，□ABCD 的对角线AC，BD交于点O，
且AB=5，AO=4，BO=3．求证: □ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
5
4
3
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴
∴△OAB是直角三角形，
即AC⊥BD
∴□ABCD是菱形．
（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
尝试应用
菱形的判定例题
例2：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于
点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
A
B
C
D
O
E
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OC= AC，OD= BD．
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
证明：∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE．
又AB=AD，AE=AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE=DE．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB．∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
∴AD=AB=BE=DE．
∴四边形ABED是菱形．（四边相等的四边形是菱形）
尝试应用
菱形的判定例题
例3：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．求证：四边形ABED是菱形．
D
A
B
C
E
1
2
3
尝试应用
菱形的判定例题
例4：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
F
C
D
E
O
独立思考
可以用哪个判定方法呢？
尝试应用
菱形的判定例题
方法1：
证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
AO=CO，∠AOE=∠COF=90°．
又∵□ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴EA=FC．
∴EC=EA=FC=FA．
∴四边形AFCE是菱形．（四边相等的四边形是菱形）
例4：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
F
C
D
E
O
尝试应用
菱形的判定例题
方法2：
证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，AO=CO，
∠AOE=∠COF=90°．
又∵□ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO．
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF．∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵EA=EC，∴□AFCE是菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
例4：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
F
C
D
E
O
尝试应用
菱形的判定例题
方法3：
证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AC⊥EF，AO=CO，
∠AOE=∠COF=90°．
又∵□ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO．
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF．∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵AC⊥EF，
∴□AFCE是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
例4：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
F
C
D
E
O
小结反思
本课小结
1.如何判定一个四边形为菱形？
2.解决判定菱形的问题最关键的是什么？
3.谈一谈你的收获与体会？