八年级数学下册 第 16章 二次根式 单元测试卷
一、选择题
1．下列根式中，不是最简二次根式的是 ( )
A． 5 B． 3
3
C． 12 D． 10
2．下列根式 9 ， 10， 7 ， 8， 0.2 ， 1
3
中，最简二次根式有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列计算中正确的是 ( )
A． 18 2 3? ? B． 3 2 5? ? C． 2( 3) 3? ? ? D． 2 2 2 2? ?
4．化简 20的结果是 ( )
A． 2 10 B． 4 5 C． 2 5 D． 5 2
5．若两个最简二次根式 2 2n n? 和 4n ? 是同类二次根式，则 n的值是 ( )
A． 1? B．4或 1? C．1或 4? D．4
6．式子 1
2
x
x
? ?
?
有意义的条件是 ( )
A． 0x? B． 0x? C． 2x ? ? D． 0x? 且 2x ? ?
7．已知 7a ? ，化简式子 2| 2 | ( 3)a a? ? ? 的结果是 ( )
A． 2 7 5? B．5 2 7? C．1 D． 1?
8．若 6 13? 的整数部分为 x，小数部分为 y，则 (2 13)x y? 的值是 ( )
A． 5 3 13? B．3 C． 3 13 5? D． 3?
9．设 1( )aM ab
ab b
? ? ? ，其中 3a ? ， 2b ? ，则M 的值为 ( )
A．2 B． 2? C．1 D． 1?
10．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越
广．电视塔高 h（单位： )km 与电视节目信号的传播半径 r（单位： )km 之间存在近似关系
2r Rh? ，其中 R是地球半径，如果两个电视塔的高分别是 1h km， 2h km，那么它们的传播
半径之比是 1
2
2
2
Rh
Rh
，则 1
2
2
2
Rh
Rh
式子化简为 ( )
A． 1 2h h B．
1 2
1 2
h h
h h
C． 1 2
1
h h
h
D． 1 2
2
h h
h
二．填空题（共 8小题）
11．化简： 18 8? ? ．
12．代数式 1 1 2x
x
? ? 有意义时， x的取值范围是 ．
13．若最简二次根式 3 5a ? 与 3a ? 是同类二次根式，则a ? ．
14．已知 0xy ? ，化简 2x y ? ．
15．已知 n是一个正整数， 12n 是整数，则 n的最小值是 ．
16．若一个长方体的长为 2 6cm，宽为 3cm，高为 2cm，则它的体积为 3cm ．
17．对于任意两个正数m、 n，定义运算*为：
( )
*
( )
m n m n
m n
m n m n
? ??? ?
? ???
?
计算 (8※ 3) (18? ※ 27)的结果为 ．
18．有下面四个等式：
（1） 2 22 2
3 3
? ? ；
（2） 3 33 3
8 8
? ? ；
（3） 4 44 4
15 15
? ? ；
（4） 5 45 5
24 25
? ?
观察上面四个等式，发现了什么规律，请用含有 (n n是正整数，且 1)n ? 的代数式将规律表
示出来 ．
三．解答题（共 8小题）
19．计算： 2 1216 24
3 6
? ? ．
20．计算：
（1） 12 12 6 3 48
3
? ?
（2） 2(3 2 1) ( 3 2)( 3 2)? ? ? ?
21．已知数 a满足 | 2004 | 2005a a a? ? ? ? ，求 22004a ? 的值．
22．已知 3 1a ? ? ，求代数式： 2(4 2 3) (1 3)a a? ? ? 的值．
23．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
1 2 1
2 1
? ?
?
，
1 3 2
3 2
? ?
?
，
1 4 3
4 3
? ?
?
，
1 5 4
5 4
? ? ?
?
（1）含 (n n为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律．并验证你的结论．
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：
1 1 1 1( ) ( 2008 1)
2 1 3 2 4 3 2008 2007
? ? ??? ?
? ? ? ?
? ．
24．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 5
3
，
2
3
，
2
3 1?
一样的式子，其实我们
还可以将其进一步化简：
5 5 3 5 3
33 3 3
?
? ?
?
2 2 3 6
3 3 3 3
?
? ?
?
2 2
2 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 3 1
3 1 ( 3 1)( 3 1) ( 3) 1
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
以 上 这 种 化 简 的 步 骤 叫 做 分 母 有 理 化 ．
2
3 1?
还 可 以 用 以 下 方 法 化 简 ：
2 22 3 1 ( 3) 1 ( 3 1)( 3 1) 3 1
3 1 3 1 3 1 3 1
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
（1）请用不同的方法化简 2
5 3?
；
（2）化简： 1 1 1 1
3 1 5 3 7 5 2 1 2 1n n
? ? ???
? ? ? ? ? ?
．
25．阅读理解题：
学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
23 2 2 (1 2)? ? ? ，我们来进行以下的探索：
设 22 ( 2)a b m n? ? ? （其中 a，b，m，n都是正整数），则有 2 22 2 2 2a b m n mn? ? ? ? ，
22a m n? ? ? ， 2b mn?
，这样就得出了把类似 2a b? 的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当 a， b，m， n都为正整数时，若 25 ( 5)a b m n? ? ? ，用含 m， n的式子分别表
示 a， b，得 a ? ， b ? ；
（2）利用上述方法，找一组正整数 a，b，m，n填空： ? 5 (? ? 25)
（3） 24 5 ( 5)a m n? ? ? 且 a，m， n都为正整数，求 a的值．
26．阅读材料，并回答问题：
形如
1
3
，
1
2 3?
的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如
1 3 3
33 3 3
? ?
?
，
1 2 1 2 1
2 1 ( 2 1) ( 2 1)
?
? ? ?
? ? ? ?
，这样的化简过程叫做分母有理化．
我们把 3叫做 3的有理化因式， ( 2 1)? 叫做 ( 2 1)? 的有理化因式．
（1）问题： 10的有理化因式是 ， 7 2? 的有理化因式是 ．
（2）应用：分母有理化 2
3 5?
．
（3）拓展：比较大小 3 2? 与 2 3? ．
参考答案
一．选择题（共 10小题）
1．下列根式中，不是最简二次根式的是 ( )
A． 5 B． 3
3
C． 12 D． 10
解： A、 5 是最简二次根式，故此选项不合题意；
B、 3
3
是最简二次根式，故此选项不合题意；
C、 12 2 3? ，则 12 不是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、 10是最简二次根式，故此选项不合题意；
故选：C．
2．下列根式 9 ， 10， 7 ， 8， 0.2 ， 1
3
中，最简二次根式有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：在所列二次根式中，最简二次根式有 10 ， 7 这 2个，
故选： B．
3．下列计算中正确的是 ( )
A． 18 2 3? ? B． 3 2 5? ? C． 2( 3) 3? ? ? D． 2 2 2 2? ?
解： A、原式 18 2 3? ? ? ，所以 A选项正确；
B、 3与 2 不能合并，所以 B选项错误；
C、原式 | 3 | 3? ? ? ，所以C选项错误；
D、原式 2? ，所以D选项错误．
故选： A．
4．化简 20的结果是 ( )
A． 2 10 B． 4 5 C． 2 5 D． 5 2
解： 20 4 5 2 5? ? ? ．
故选：C．
5．若两个最简二次根式 2 2n n? 和 4n ? 是同类二次根式，则 n的值是 ( )
A． 1? B．4或 1? C．1或 4? D．4
解：由题意可知： 2 2 4n n n? ? ? ，
?解得： 4n ? 或 1n ? ? ，
当 4n ? 时，
4 8 0n ? ? ? ，
此时 8不是最简二次根式，不符合题意，
当 1n ? ? 时，
4 3 0n ? ? ? ，
综上所述， 1n ? ?
故选： A．
6．式子 1
2
x
x
? ?
?
有意义的条件是 ( )
A． 0x? B． 0x? C． 2x ? ? D． 0x? 且 2x ? ?
解：根据题意得 0x? ? 且 2 0x ? ? ，
解得 0x? 且 2x ? ? ．
故选：D．
7．已知 7a ? ，化简式子 2| 2 | ( 3)a a? ? ? 的结果是 ( )
A． 2 7 5? B．5 2 7? C．1 D． 1?
解：原式 | 2 | | 3 |a a? ? ? ? ，
由于 2 7 3? ? ，
?原式 2 3a a? ? ? ?
2 5a? ?
2 7 5? ?
故选： A．
8．若 6 13? 的整数部分为 x，小数部分为 y，则 (2 13)x y? 的值是 ( )
A． 5 3 13? B．3 C． 3 13 5? D． 3?
解： 3 13 4? ?? ，
? 6 13? 的整数部分 2x ? ，
则小数部分是： 6 13 2 4 13? ? ? ? ，
则 (2 13) (4 13)(4 13)x y? ? ? ?
16 13 3? ? ? ．
故选： B．
9．设 1( )aM ab
ab b
? ? ? ，其中 3a ? ， 2b ? ，则M 的值为 ( )
A．2 B． 2? C．1 D． 1?
解：原式
1 aab ab
ab b
? ? ? ?
21 a? ? ，
1 | |a? ? ，
3a ?? ， 2b ? ，
?原式 1 3 2? ? ? ? ．
故选： B．
10．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越
广．电视塔高 h（单位： )km 与电视节目信号的传播半径 r（单位： )km 之间存在近似关系
2r Rh? ，其中 R是地球半径，如果两个电视塔的高分别是 1h km， 2h km，那么它们的传播
半径之比是 1
2
2
2
Rh
Rh
，则 1
2
2
2
Rh
Rh
式子化简为 ( )
A． 1 2h h B．
1 2
1 2
h h
h h
C． 1 2
1
h h
h
D． 1 2
2
h h
h
解： 1 1 2 1 2
22 2 2
2 2 2
2 2 2
Rh Rh Rh h h
hRh Rh Rh
? ?
?
?
，
故选：D．
二．填空题（共 8小题）
11．化简： 18 8? ? 2 ．
解：原式 3 2 2 2 2? ? ? ．
故答案为： 2 ．
12．代数式 1 1 2x
x
? ? 有意义时， x的取值范围是 1
2
x ?? 且 0x ? ．
解：由题意得，1 2 0x? ? ， 0x ? ，
解得，
1
2
x ?? 且 0x ? ，
故答案为：
1
2
x ?? 且 0x ? ．
13．若最简二次根式 3 5a ? 与 3a ? 是同类二次根式，则a ? 4 ．
解：?最简二次根式 3 5a ? 与 3a ? 是同类二次根式，
3 5 3a a? ? ? ? ，解得 4a ? ．
14．已知 0xy ? ，化简 2x y ? x y? ．
解： 0xy ?? ， 2 0x y? ，
0y? ? ， 0x ? ，
? 2x y x y? ? ．
故答案是： x y? ．
15．已知 n是一个正整数， 12n 是整数，则 n的最小值是 3 ．
解： 12 2 3n n? ．
n? 是一个正整数， 12n 是整数，
n? 的最小值是 3．
故答案为：3．
16．若一个长方体的长为 2 6cm，宽为 3cm，高为 2cm，则它的体积为 12 3cm ．
解：依题意得，正方体的体积为：
32 6 3 2 12cm? ? ? ．
故答案为：12．
17．对于任意两个正数m、 n，定义运算*为：
( )
*
( )
m n m n
m n
m n m n
? ??? ?
? ???
?
计算 (8※ 3) (18? ※ 27)的结果为 3 3 6? ．
解： (8※ 3) (18? ※ 27) ( 8 3)( 18 27)? ? ?
(2 2 3)(3 2 3 3)? ? ?
12 6 6 3 6 9? ? ? ?
3 3 6? ? ．
故答案为3 3 6? ．
18．有下面四个等式：
（1） 2 22 2
3 3
? ? ；
（2） 3 33 3
8 8
? ? ；
（3） 4 44 4
15 15
? ? ；
（4） 5 45 5
24 25
? ?
观察上面四个等式，发现了什么规律，请用含有 (n n是正整数，且 1)n ? 的代数式将规律表
示出来 2 21 1
a aa a
a a
? ?
? ?
．
解：?（1） 2 22 2
3 3
? ? ；
（2） 3 33 3
8 8
? ? ；
（3） 4 44 4
15 15
? ? ；
（4） 5 45 5
24 25
? ?
?用含有 (n n是正整数，且 1)n ? 的代数式将规律表示出来为： 2 21 1
a aa a
a a
? ?
? ?
．
故答案为： 2 21 1
a aa a
a a
? ?
? ?
．
三．解答题（共 8小题）
19．计算： 2 1216 24
3 6
? ? ．
解：
2 1216 24
3 6
? ?
6 6 6 4 6
3
? ? ?
5 6
3
? ? ．
20．计算：
（1） 12 12 6 3 48
3
? ?
（2） 2(3 2 1) ( 3 2)( 3 2)? ? ? ?
解：（1）原式 4 3 2 3 12 3? ? ?
14 3? ；
（2）原式 2 2 2 2(3 2) 2 3 2 1 1 ( 3) ( 2)? ? ? ? ? ? ?
18 6 2 1 3 2? ? ? ? ?
20 6 2? ? ．
21．已知数 a满足 | 2004 | 2005a a a? ? ? ? ，求 22004a ? 的值．
解：根据二次根式的性质可得， 2005 0a ? ? ，即 2005a? ，
由原式可得， 2004 2005a a a? ? ? ?
? 2005 2004a ? ?
22005 2004a? ? ?
22004 2005a? ? ? ．
22．已知 3 1a ? ? ，求代数式： 2(4 2 3) (1 3)a a? ? ? 的值．
解： 3 1a ? ?? ，
2(4 2 3) (1 3)a a? ? ? ?
2 2( 3 1) ( 3 1)a a? ? ? ?
2[( 3 1) ] ( 3 1)a a? ? ? ?
2[( 3 1)( 3 1] ( 3 1)( 3 1)? ? ? ? ? ?
2(3 1) (3 1)? ? ? ?
4 2? ?
2? ．
23．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
1 2 1
2 1
? ?
?
，
1 3 2
3 2
? ?
?
，
1 4 3
4 3
? ?
?
，
1 5 4
5 4
? ? ?
?
（1）含 (n n为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律．并验证你的结论．
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：
1 1 1 1( ) ( 2008 1)
2 1 3 2 4 3 2008 2007
? ? ??? ?
? ? ? ?
? ．
解：（1）根据题意得： 1 1
1
n n
n n
? ? ?
? ?
，
验证：左边
2 2
1 1 1
( 1 )( 1 ) ( 1) ( )
n n n n n n
n n n n n n
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
右边；
（2）原式 2 1 3 2 4 3 2008 2007)( 2008 1)? ? ? ? ? ? ??? ? ?
( 2008 1)( 2008 1)? ? ?
2008 1? ?
2007? ．
24．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 5
3
，
2
3
，
2
3 1?
一样的式子，其实我们
还可以将其进一步化简：
5 5 3 5 3
33 3 3
?
? ?
?
2 2 3 6
3 3 3 3
?
? ?
?
2 2
2 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 3 1
3 1 ( 3 1)( 3 1) ( 3) 1
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
以 上 这 种 化 简 的 步 骤 叫 做 分 母 有 理 化 ．
2
3 1?
还 可 以 用 以 下 方 法 化 简 ：
2 22 3 1 ( 3) 1 ( 3 1)( 3 1) 3 1
3 1 3 1 3 1 3 1
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
（1）请用不同的方法化简 2
5 3?
；
（2）化简： 1 1 1 1
3 1 5 3 7 5 2 1 2 1n n
? ? ???
? ? ? ? ? ?
．
解：（1）
? ?
? ?? ?
2 5 32 5 3
5 3 5 3 5 3
?
? ? ?
? ? ?
①
? ?? ?
? ?
5 3 5 32 5 3 5 3
5 3 5 3 5 3
? ??
? ? ? ?
? ? ?
② ．
（2）原式 3 1 5 3 7 5 2 1 2 1
2
n n? ? ? ? ? ??? ? ? ?
?
2 1 1
2
n ? ?
? ．
25．阅读理解题：
学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
23 2 2 (1 2)? ? ? ，我们来进行以下的探索：
设 22 ( 2)a b m n? ? ? （其中 a，b，m，n都是正整数），则有 2 22 2 2 2a b m n mn? ? ? ? ，
22a m n? ? ? ， 2b mn?
，这样就得出了把类似 2a b? 的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当 a， b，m， n都为正整数时，若 25 ( 5)a b m n? ? ? ，用含 m， n的式子分别表
示 a， b，得 a ? 2 25m n? ， b ? ；
（2）利用上述方法，找一组正整数 a，b，m，n填空： ? 5 (? ? 25)
（3） 24 5 ( 5)a m n? ? ? 且 a，m， n都为正整数，求 a的值．
解：（1） 25 ( 5)a b m n? ? ?? ，
2 25 2 5 5a b m mn n? ? ? ? ? ，
2 25a m n? ? ? ， 2n mn? ；
（2）取 2m ? ， 1n ? ，
则 4 5 9a ? ? ? ， 4b ? ；
（3） 2 4mn ?? ，
2mn? ? ，
而m， n都为正整数，
2m? ? ， 1n ? 或 1m ? ， 2n ? ，
当 2m ? ， 1n ? 时， 9a ? ；
当 1m ? ， 2n ? 时， 21a ? ．
即 a的值为 9或 21．
故答案为 2 25m n? ， 2mn；9，4，2，1．
26．阅读材料，并回答问题：
形如
1
3
，
1
2 3?
的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如
1 3 3
33 3 3
? ?
?
，
1 2 1 2 1
2 1 ( 2 1) ( 2 1)
?
? ? ?
? ? ? ?
，这样的化简过程叫做分母有理化．
我们把 3叫做 3的有理化因式， ( 2 1)? 叫做 ( 2 1)? 的有理化因式．
（1）问题： 10的有理化因式是 10 ， 7 2? 的有理化因式是 ．
（2）应用：分母有理化 2
3 5?
．
（3）拓展：比较大小 3 2? 与 2 3? ．
解：（1） 10 的有理化因式是 10 ， 7 2? 的有理化因式为 7 2? ；
故答案为 10 ， 7 2? ；
（2） 2 2(3 5) 3 5
23 5 (3 5)(3 5)
? ?
? ?
? ? ?
；
（3）? 1 3 2 3 2
3 2 ( 3 2)( 3 2)
?
? ? ?
? ? ?
，
1 2 3 2 3
2 3 (2 3)(2 3)
?
? ? ?
? ? ?
，
而 2 3 2 3? ? ?
?
1 1
3 2 2 3
?
? ?
，
? 3 2 0? ? ， 2 3 0? ? ，
? 3 2 2 3? ? ? ．
八年级数学下册 第16章 二次根式 单元测试卷
一、选择题
1．下列根式中，不是最简二次根式的是
A． B． C． D．
2．下列根式，，，，，中，最简二次根式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列计算中正确的是
A． B． C． D．
4．化简的结果是
A． B． C． D．
5．若两个最简二次根式和是同类二次根式，则的值是
A． B．4或 C．1或 D．4
6．式子有意义的条件是
A． B． C． D．且
7．已知，化简式子的结果是
A． B． C．1 D．
8．若的整数部分为，小数部分为，则的值是
A． B．3 C． D．
9．设，其中，，则的值为
A．2 B． C．1 D．
10．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广．电视塔高（单位：与电视节目信号的传播半径（单位：之间存在近似关系，其中是地球半径，如果两个电视塔的高分别是，，那么它们的传播半径之比是，则式子化简为
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．化简： ．
12．代数式有意义时，的取值范围是 ．
13．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
14．已知，化简 ．
15．已知是一个正整数，是整数，则的最小值是 ．
16．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为 ．
17．对于任意两个正数、，定义运算为：
计算※※的结果为 ．
18．有下面四个等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
观察上面四个等式，发现了什么规律，请用含有是正整数，且的代数式将规律表示出来 ．
三．解答题（共8小题）
19．计算：．
20．计算：
（1）
（2）
21．已知数满足，求的值．
22．已知，求代数式：的值．
23．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
，，，
（1）含为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律．并验证你的结论．
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：
．
24．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
25．阅读理解题：
学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，我们来进行以下的探索：
设（其中，，，都是正整数），则有，，
，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当，，，都为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
（2）利用上述方法，找一组正整数，，，填空：
（3）且，，都为正整数，求的值．
26．阅读材料，并回答问题：
形如，的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化．
我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
（1）问题：的有理化因式是 ，的有理化因式是 ．
（2）应用：分母有理化．
（3）拓展：比较大小与．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列根式中，不是最简二次根式的是
A． B． C． D．
解：、是最简二次根式，故此选项不合题意；
、是最简二次根式，故此选项不合题意；
、，则不是最简二次根式，故此选项符合题意；
、是最简二次根式，故此选项不合题意；
故选：．
2．下列根式，，，，，中，最简二次根式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：在所列二次根式中，最简二次根式有，这2个，
故选：．
3．下列计算中正确的是
A． B． C． D．
解：、原式，所以选项正确；
、与不能合并，所以选项错误；
、原式，所以选项错误；
、原式，所以选项错误．
故选：．
4．化简的结果是
A． B． C． D．
解：．
故选：．
5．若两个最简二次根式和是同类二次根式，则的值是
A． B．4或 C．1或 D．4
解：由题意可知：，
解得：或，
当时，
，
此时不是最简二次根式，不符合题意，
当时，
，
综上所述，
故选：．
6．式子有意义的条件是
A． B． C． D．且
解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
7．已知，化简式子的结果是
A． B． C．1 D．
解：原式，
由于，
原式
故选：．
8．若的整数部分为，小数部分为，则的值是
A． B．3 C． D．
解：，
的整数部分，
则小数部分是：，
则
．
故选：．
9．设，其中，，则的值为
A．2 B． C．1 D．
解：原式
，
，
，，
原式．
故选：．
10．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广．电视塔高（单位：与电视节目信号的传播半径（单位：之间存在近似关系，其中是地球半径，如果两个电视塔的高分别是，，那么它们的传播半径之比是，则式子化简为
A． B． C． D．
解：，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．化简： ．
解：原式．
故答案为：．
12．代数式有意义时，的取值范围是 且 ．
解：由题意得，，，
解得，且，
故答案为：且．
13．若最简二次根式与是同类二次根式，则 4 ．
解：最简二次根式与是同类二次根式，
，解得．
14．已知，化简 ．
解：，，
，，
．
故答案是：．
15．已知是一个正整数，是整数，则的最小值是 3 ．
解：．
是一个正整数，是整数，
的最小值是3．
故答案为：3．
16．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为 12 ．
解：依题意得，正方体的体积为：
．
故答案为：12．
17．对于任意两个正数、，定义运算为：
计算※※的结果为 ．
解：※※
．
故答案为．
18．有下面四个等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
观察上面四个等式，发现了什么规律，请用含有是正整数，且的代数式将规律表示出来 ．
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
用含有是正整数，且的代数式将规律表示出来为：．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．计算：．
解：
．
20．计算：
（1）
（2）
解：（1）原式
；
（2）原式
．
21．已知数满足，求的值．
解：根据二次根式的性质可得，，即，
由原式可得，
．
22．已知，求代数式：的值．
解：，
．
23．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
，，，
（1）含为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律．并验证你的结论．
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：
．
解：（1）根据题意得：，
验证：左边右边；
（2）原式
．
24．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
解：（1）
．
（2）原式
．
25．阅读理解题：
学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，我们来进行以下的探索：
设（其中，，，都是正整数），则有，，
，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当，，，都为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
（2）利用上述方法，找一组正整数，，，填空：
（3）且，，都为正整数，求的值．
解：（1），
，
，；
（2）取，，
则，；
（3），
，
而，都为正整数，
，或，，
当，时，；
当，时，．
即的值为9或21．
故答案为，；9，4，2，1．
26．阅读材料，并回答问题：
形如，的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化．
我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
（1）问题：的有理化因式是 ，的有理化因式是 ．
（2）应用：分母有理化．
（3）拓展：比较大小与．
解：（1）的有理化因式是，的有理化因式为；
故答案为，；
（2）；
（3），
，
而
，
，，
．
