2020届三轮冲刺 上海高考数学基础知识回顾辅导讲义：第三讲函数（二）教师版

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2020上海高考数学基础知识回顾：
第三讲函数二


一、函数的图像的变换
★1、满足条件的函数的图像关于直线对称；
★2、点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
★3、点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
★4、点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为；
★5、是将的图像向左（右）平移个单位得到；
★★6、曲线关于点的对称曲线的方程为；
★★7、形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线
由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点；
★★8、的图像先保留原来在轴上方的图像，作出轴下方的图像关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；的图像先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后作出轴右方的图像关于轴的对称图形得到；
★★9、是将的图像横坐标扩大（缩小）个单位得到；
★10、函数+的图像是把函数助图像沿轴向上 (向下)平移个单位得到的.
二、函数的单调性
★★1、定义：设那么
上是增函数；
上是减函数.
★★2、如果函数和都是增（减）函数，则在公共定义域内，和函数也是增（减）函数；如果函数和在其对应的定义域上都是增（减）函数，则复合函数是增（减）函数（同增异减）.
★3、利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取，且；
② 作差 （偶有做商比较大小的）；
③ 变形（通常是通分、因式分解和配方）；
④ 定号（即判断差的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间上的单调性）.
三、函数的奇偶性
★1、偶函数的定义： 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就叫做偶函数；奇函数的定义：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就叫做奇函数（定义域是否是关于原点对称是判断前提）.
★2、图像：为奇函数图像关于原点对称；为偶函数图像关于轴对称．
★3、根据规律判断函数的奇偶性：偶函数+偶函数=偶函数； 奇函数+奇函数=奇函数；
偶函数×偶函数=偶函数； 奇函数×奇函数=偶函数； 偶函数×奇函数=奇函数．
★★4、函数奇偶性的性质：
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
② 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数；
③ 若为偶函数，则；
④ 若奇函数定义域中含有，则必有．故是为奇函数的既不充分也不必要条件；
⑤ 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”；
⑥ 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”；
⑦ 既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．
★★5、若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.
四、函数的周期性
★1、定义：设函数，，如果存在非零常数，使得对任意的，都有，则称为周期函数，为的一个周期，周期函数的周期往往不唯一．
★★★2、和周期函数有关的常见结论：
（1）若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
（2）若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
（3）若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a；
（4）函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；
（5）若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；
（6）若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，函数f(x)的周期是4|b－a|；
（7）若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；
（8）若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.
五、函数的对称性
★★★1、函数的图象的对称性：
（1）函数的图象关于直线对称.
（2）函数的图象关于直线对称
.
★★★2、两个函数图象的对称性：
（1）函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
（2）函数与函数的图象关于直线对称.
（3）函数和的图象关于直线对称.



一、函数图象的变换
对较为复杂的函数能够利用函数图象的平移、对称、旋转、翻折进行处理.
【例1】将函数的图像向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图像如果与原图像关于对称，那么（ ）
A. B. C. D.
【难度】★
【答案】C

【例2】函数的单调增区间为__________.
【难度】★
【答案】和

【例3】已知，且关于的方程有（）个根，则这个根的和可能是 .（请写出所有可能值）
【难度】★★
【答案】4、6、8、10、12、14、16

【巩固训练】
1．已知函数的反函数的图像的对称中心，则实数的值为_____________．
【难度】★★
【答案】2

2．将函数的图像沿轴向右平移1个单位，得到图像，图像与关于原点对称，图像与关于直线对称，则对应的函数解析式为______________.
【难度】★
【答案】

3．函数给出四个命题：
①当时，是奇函数；
②当时，方程只有一个实数根；
③的图像关于点对称；
④方程至多只有两个实数根.
上述命题中，所有正确命题的序号是_______.
【难度】★★
【答案】①②③

二、函数的单调性
掌握函数单调性的判断和证明，会求简单的复合函数的单调性，讨论单调函数与不等式的关系，以及利用函数的单调性求函数的最大值、最小值问题，同时也要注意复合函数单调性的判断“同增异减，内外兼顾”.
【例4】函数的单调递减区间是 ．
【难度】★
【答案】

【例5】已知是上的增函数，那么的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】

【例6】函数的单调递增区间为 ．
【难度】★★
【答案】，

【例7】已知在关于的不等式的解集中，有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．设，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
【难度】★★
【答案】C

2．已知函数，满足对定义域中任意的、成立，则实数的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】

3．函数的单调递减区间为 ．
【难度】★★
【答案】

4．问题“求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解.仿照此解法可得到不等式：的解是 ．
【难度】★★★
【答案】或

三、函数的奇偶性
对函数奇偶性的判断和证明主要利用定义或者一些特殊函数的奇偶性的复合来进行求解．
【例8】设，，若函数是奇函数，则的值为 ．
【难度】★
【答案】1

【例9】若定义在上的函数，均为奇函数，设，若，则的值为 ．
【难度】★★
【答案】

【例10】定义在上的奇函数，且当时，，则 ．
【难度】★★
【答案】

【例11】若定义在上的函数满足对任意、都有，则下列说法一定正确的是 （ ）
、为奇函数 、为偶函数 、为奇函数 、为偶函数
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．设是定义在上的函数，当时，，
当为奇函数时，函数的解析式是 ；
当为偶函数时，函数的解析式是 ．
【难度】★
【答案】，．

2．，若，则= ．
【难度】★★
【答案】3

3．已知函数为奇函数，则 ．
【难度】★★
【答案】0

4．设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ）
、为偶函数 、为奇函数
、为偶函数 、为奇函数
【难度】★★
【答案】

四、函数的周期性
对函数周期性的判断和证明常利用一些公式模型来套用，或是利用赋值法恒等化简，找到即可，也可以利用特殊函数来进行简化计算．
【例12】已知奇函数满足条件，当时，，则＝_____．
【难度】★
【答案】

【例13】定义在上的函数满足，则的值为____．
【难度】★★
【答案】1

【例14】设函数是定义在上以为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★★
【答案】D

【巩固训练】
1．是定义在上的奇函数，且关于对称，则_____．
【难度】★★
【答案】0

2．已知函数的定义域为，且对任意，都有．若，则______．
【难度】★★★
【答案】

3．设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 ．
【难度】★★★
【答案】

五、函数性质与图像综合应用
对函数性质和图象的综合运用，可以利用函数与方程的方法、数形结合的方法、转化与划归的方法等来进行解决．
【例15】已知是单调减函数，若将方程与的解分别称为函数的不动点与稳定点．则“是的不动点”是“是的稳定点”的（　　）
A．充要条件　　　　　 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件　　 D．既不充分也不必要条件
【难度】★★
【答案】B

【例16】已知集合是满足下列两个条件的函数的全体：①在定义域上是单调函数；②在的定义域内存在闭区间，使在上的值域为．若函数，，则实数的取值范围是_________．
【难度】★★
【答案】

【例17】定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数()使得对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”．有下列关于“—伴随函数”的结论：①是常数函数中唯一一个“—伴随函数”；②“—伴随函数”至少有一个零点；③是一个“—伴随函数”；其中正确结论的个数是（ ）
．1个； ．2个； ．3个； ．0个；
【难度】★★★
【答案】A

【巩固训练】
1．若偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数为_____个．
【难度】★★
【答案】10

2．若是定义在上的奇函数，且对任意的实数，总有正常数，使得成立，则称具有“性质”，已知函数具有“性质”，且在上，；若当时，函数恰有8个零点，则实数__________．
【难度】★★★
【答案】

3．已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，若直线与函数的图象恰有11个不同的公共点，则实数的取值范围为____________．
【难度】★★★
【答案】（，）




【例1】设函数，，集合，则使成立的实数对有 个．
【难度】★★
【答案】0
【解析】函数，如图，从图形可以看出，函数单调递减，所以，解得，与矛盾，故只有0个．
【易错点】画出图象可以很容易判断函数的单调性，从而借助方程思想和数形结合思想，在函数值域一定的条件下去研究定义域就会变得简单了．

【变式训练】
1．设函数，区间（其中），集合，则使成立的实数对共有 对．
【难度】★★
【答案】3

【例2】若函数（常数、）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 ．
【难度】★
【答案】
【解析】函数可化为，由偶函数知，又因为值域为，所以，，解得，，所以．
【易错点】函数的奇偶性需要判断两点，一是定义域的对称性，而是解析式与的关系．

【变式训练】
1．若函数，为奇函数，其中，则 ．
【难度】★
【答案】0

【例3】设函数，则下列结论错误的是 （ ）
、的值域为 、是偶函数 、不是周期函数 、不是单调函数
【难度】★★
【答案】
【解析】任取非零有理数，若为有理数，则也为有理数；若当为无理数时，也为无理数，故有，则是周期函数，同理可证明为偶函数．
【易错点】分段函数的周期性和奇偶性按照定义证明即可．

【变式训练】
1．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域为，值域为；②函数的图象关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期为1；④函数在上是增函数．
其中正确的命题的序号是 ．
【难度】★★
【答案】①②③

【例4】设函数的最大值为，最小值为，则 ．
【难度】★★
【答案】2
【解析】原函数可化为，令，则为奇函数且，则，，因为为奇函数，所以，故．
【易错点】奇函数的图象关于原点对称，其最大值和最小值肯定也关于原点对称，即互为相反数．

【变式训练】
1．函数，项数为27项的等差数列，，公差，若，则 ．
【难度】★★
【答案】0

【例5】设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则 ．
【难度】★★
【答案】1
【解析】由题意可知
【易错点】根据函数的周期性将待求函数值的自变量转化为分段函数中定义域范围内求解是关键．

【变式训练】
1．定义在上的函数满足，则的值为 ．
【难度】★★
【答案】1

【例6】已知函数对任意实数、，均满足，且，则 ．
【难度】★★
【答案】1008
【解析】令，则，即，令，，得，令，得．所以，则，累加可得．
【易错点】抽象函数的常见解题方法是利用赋值法、换元法、具体化法来解决．

【变式训练】
1．已知为上的增函数，且对任意，都有，则 ．
【难度】★★
【答案】10

【例7】已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式的解集为 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】由题意得，令，则有，即，所以原不等式变为，再结合函数的定义域、单调性可得，解得．
【易错点】抽象函数不等式的解题问题都是利用题中的恒等式进行赋值合并再利用单调性求解．

【变式训练】
1．已知是定义在上的增函数，且，，则不等式的解集是 ．
【难度】★★
【答案】

【例8】已知函数，若、、互不相等，且，则的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】由，不妨设，由正弦函数图象的对称性，可得与关于直线对称，因此．当直线时，由得，可得，所以．
【易错点】利用函数图象的对称性找到等高线函数值对应的横坐标的取值范围．

【变式训练】
1．已知，若关于的方程有四个实根、、、，则这四根之和的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】

【例9】已知关于的方程有唯一解，则实数的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】方程可转化为，从而得且方程两边都是正数，正面讨论比较麻烦，可以将方程左右两边看成二次函数及一次函数，则只需要考虑这两个函数图象在轴上恒有唯一交点即可．
【易错点】利用方程和的结构等价转化为图象交点问题．

【变式训练】
1．设函数，，已知时恒有，则的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】







基础知识

题型与方法

易错题型






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