人教版高中数学选修4-6 第二讲 同余与同余方程 二 剩余类及其运算 上课课件(共30张PPT)

(共30张PPT)

知识回顾
试写出1到20之间所以的偶数集，所以的奇数集.
偶数集
{2、4、6、8、10、12、14、16、18、20}
奇数集
{1、5、5、7、9、11、13、15、17、19}

集合定义记得吗
某些指定的对象集在一起就成为一个集合



导入新课
在前一节的学习中我们已经知道了同余的概念.
由同余的概念想一下，按模3是否同余，对1到10的数可以分成什么样的集合呢.
想一下模8的余数都可能是哪些？
模8的余数不能大于等于8，所以模8的余数可能是0、1、2、3、4、5、6、7.

想一想模n的余数有哪些情况呢

想一想模n的可能的余数有哪些？你能否将整数按模n同余，n的所有的可能的余数写成集合.
第二讲 同余与同余方程
第二节 剩余类及其运算

教学目标
知识与能力
1.掌握模m的剩余类及完全剩余系的概念.
2.理解模m的最小非负剩余系，完全剩余系的性质.
3.熟练运用判断剩余系的方法.
过程与方法
情感态度与价值观
1.通过对学习过的知识的复习引出剩余类的概念.
2.类比整数运算法则，推导出剩余类的运算性质.
培养学以致用的精神，将理论应用与现实生活.

教学重难点
重 点
难 点
1.理解剩余类的概念.
2.体会剩余类加法、乘法运算与整数的加法、乘法之间的联系与差别.
剩余类的概念及其运算.
我们知道若一个整数n做除数那么它的余数一定小于n，如5做除数，那么余数可能是0、1、2、3、4这五种情况.
这样按模n是否同余，可以对一组数，甚至是整数集进行分类.

议一议

实例
例一、按模4是否同余对1到20的整数进行分类.
解析：
因为 余数有0、1、2、3这四种情况
所以
0模4同余
{4、8、12、16、20}
1模4同余
{1、5、9、13、17}
2模4同余
{2、6、10、14、18}
3模4同余
{3、7、11、15、19}
以上的4个集合与模4的关系就是我们这节要讲的剩余类.
定义总结


我们把所有与整数a模n同余的整数构成的集合叫做模n的一个剩余类，记作[a],并把a叫做剩余类[a]的一个代表元.

分析
依定义，在例一中模4的不同剩余类共有4个，它们分别表示为[0]、 [1]、 [2]、 [3]；
注意：在定义中剩余类可以用不同的代表元来表示.
如例一:[0]=[4]=[8]=[12]=[16]=[20]



分析
在整数中有加法、乘法运算，剩余类是否有同样的运算呢？
思考
在例一中
[5]+[9]=[5+9]
[2]+[11]=[2+11]
[2]+[12]=[2+12]
[13]+[3]=[13+3]
[2][6]=[2·12]
[3][4]=[3·4]
[2][5]=[2·5]
[3][5]=[3·5]

从以上的分析中，我们可以总结出
剩余类加法：[a]+[b]=[a +b]
剩余类乘法：[a][b]=[a ·b]
把含有剩余类加法运算、乘法运算的模n的剩余类集合叫做模n的剩余环.

自己举例验证一下上面的性质.
观察例一分析得
[3]([2]+ [3]) ( ) [3][2]+[3][3]
[2]+[12] ( ) [12]+[2]
[3]+[11] ( ) [11]+[3]
=
=
=
结论：
剩余类遵循交换律、结合律、分配律.

由剩余类的运算性质我们得到：
[a]+ [0] = [0]+[a] = [a]
[a][0] = [0][a] = [0]
[a][1] = [1][a] = [a]

单位元

零元
[a]+ [b] = [b]+[a] = [0]
[b]是[a]的逆元.
若：[a][b] = [b][a] = [1]
[b]是[a]的负元.

推论

议一议
是不是整数的加法、乘法运算法则都适用于剩余类环呢.
在整数乘法中若 a≠0，b ≠0，那么ab ≠0
在剩余类环乘法中，对模6的剩余类乘法[2]≠0， [3] ≠0，但是[3] [2]=0.

并非所有整数的运算法则都适用于剩余环.

课堂小结
1、剩余类的概念：模n同余的所有整数集合.
2、剩余类的表示：剩余类的任何代表元均可代表.
3、剩余类的实质：剩余类实质是一个集合.
4、剩余类的运算法则：
剩余类加法：[a]+[b]=[a +b]
剩余类乘法：[a][b]=[a ·b]
5、剩余类的定义：剩余类集合中定义了加法和剩余类乘法运算.
{[0],[1],,…… ,[n-1],+, ·}

6、剩余类环的特殊元素：
零元：[0],单位元[1]
7、剩余类间的相互关系：
[a]+ [b] = [b]+[a] = [0]
[b]是[a]的逆元.
[a][b] = [b][a] = [1]
[b]是[a]的负元.
则展开式的常数项为（　 　）

针对性练习
2、设实数a≠0，{an}是以a为首项，-a为公比的等比数列，且bn=anlg|an|（nN），问当0
展开式的二项式系数之和为64，
1、
20
思考和分析 初看题目似乎很难下手，但只要我们冷静想一想，不妨假设存在m0 N，使对任意n N，都有bn bm0，也就是说bm0应该是数列{bn}的最大项，这样我们将问题化归为数列{bn}的最大项的存在性问题，从而就容易入手了.

3、???????????????????????????????????????????? 则Ａ、Ｂ、Ｃ的关系是？ 　
【解析】要判断集合Ａ、Ｂ、Ｃ之间的关系，可以对每个集合中元素所满足的条件进行变形整理，然后找出条件式子结构的差异，最后只需比较这些“差异”就可以了.本试题中，

据整数剩余类知识知，3（n-1）+1（n∈Z）和3p+1都表示被３除余１的整数， 因而知Ｂ＝Ｃ.又p∈Z，则令 知 ?????????? 　
故 【点评】因为6m+1（m∈Z）表示被６除余１的整数，且为奇数；而3p+1（p∈Z）表示被
A ??B=C
３整除余１的整数，它可能是偶数，也可能是奇数，为了寻找集合A与C的关系，必须明确3p+1（p∈Z）何时为奇数以及奇数的类型，为此只需把p分类奇数和偶数即可.
辛苦~\(≧▽≦)/~啦啦啦

课堂练习
2、一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是（ ）
3、一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，满足条件的最小的自然数( ).
1、一年级同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，至少有多少人（ ）
302
53
A.302 B.299 C.201 D.401
B
解：〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60.为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36.然后，40×1＋45×2＋36×4=274，因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数.
5、被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是？
4、9人一排多6人，7人一排多2人，5人一排多3人，至少( )人 .
A.303 B.299 C.202 D.405
A
6、模m=10,根据余数可以将所有整数分成10个类别
[0]即 C0={c| c mod m=0 mod m}
={c| c mod 10=0 mod 10}
={c| c mod 10=0}={c|c=t?10}
={0,10,20,30,40,50,…,-10,-20,…}
[1]即 C1={c| c mod m=1 mod m}
={c| c mod m=1}={c| c=s?10+1}
={1,11,21,31,41,…,-11,-21,-31,…}
[a]即Ca={c| c mod m=a mod m} (a<10)
={c| c mod 10=a }
={c| c=k?10+a}
7、证明：不存在整数a、b、c，满足a2+b2-8c=6
证明 由于每个整数都具有下列形式之一4n，4n1，4n+2，
它们的平方数分别是：16n2,16n28n+1,16n2+16n+4,
它们被8除的余数分别是：0，1，4.而这三个余数的任意两数（可以相同）的和都不等于6，所以对任意整数a、b、c，a2+b2-8c=6.
再见