人教版高中数学选修4-6 第二讲 同余与同余方程 六 弃九验算法 上课课件(共28张PPT)

(共28张PPT)

知识回顾
若a?b(mod m), c?d(mod m), 则:
① ax+cy ? bx+dy(mod m), 其中x和y为任给整数.
② ac ? bd(mod m).
③ an ? bn(mod m), 其中 n＞0.
④ f(a) ?f(b)(mod m), f(x)为任给的整系数多项式.
⑤ xa ?xb(mod m)，x为任意整数.
1、
若ab?ac(mod m), 且（a，n）=1，则b?c(mod m)
2、

导入新课
我们以前已经学过了验证运算结果的正确性，对于加法我们用减法来检验，乘法我们用除法来检验.如：25-3=22，正确与否我们用加法验证，因为：22+3=25，所以结果正确.对于很大的数值运用此方法就有局限性了.
对于运算量很大的式子，怎样很快的判断其正确性呢？ 如：1234567×147895=456789415
你能很快的判断其正确行吗？
当数目很大时，对运算结果正确性的判断就变的比较麻烦了. 如：1234567×147895=456789415
5789461-159634=4789657
78561238+75894=123456752 等. 要想很快的判断其正确性，就要学一种新的方法——弃九验算法.
第二讲 同余与同余方程
第六节 弃九验算法

教学目标
知识与能力
1、会用弃九验算法验算正整数的计算结果是否正确. 2、知道弃九验算法只能“检错”，不能“判正”.
过程与方法
情感态度与价值观
1、通过以前知识的引用，循序渐进的推导出弃九验算法. 2、通过实例解析对所学的知识进行巩固.
培养学生勇于探究、研究的精神和兴趣.能够举一反三将所学的知识应用的减法、加法、除法中.

教学重难点

重点
用弃九验算法验算正整数的计算结果是否正确. 知道弃九验算法只能“检错”，不能“判正”.

难点
弃九验算法的推导过程.

探究
我们知道一个正整数可以写成各个位数与十的幂的乘积的和的形式. 如：35=3×10+5；
789=7×102+8×10+9
4236=4×103+2×102+3×10+6 对于任意的自然数 应该怎样表示呢？
按以上的形式类推可表示成 N=an×10n+…+a2×102+a1×10+a0
=an×（99…9+1）+…+a2×（99+1）+a1（99+1）+a0 =9（11…1 an +..+11 a2 + a1 ）+（a0+a1+…+an） 可以看出9︱N- （a0+a1+…+an） ， 所以N≡ a0+a1+…+an（mod9） 我们得到这个整数和它的各位数字之和模9同余.
设有整数x1，x2，x3，它们的各位数字之和分别为x1’，x2 ’ ，x3 ’由上面的推论我们可以得到x1≡ x1’ （mod9），x2≡ x2’ （mod9），
x3≡ x3’ （mod9）， 由同余的性质若 a?b(mod m), c?d(mod m),
则 ac ? bd(mod m). 得到x1 x2 ≡ x1’ x2’ （mod9），若x3=x1x2，则
x1’ x2’ ≡ x3’ （mod9），

实例
1、判断2164×7895=45680的正确与否. 解析2164≡2+1+6+4=13≡4（mod9）
7896≡7+8+9+6=30≡3（mod9）
45680≡4+5+6+8+0=23≡5（mod9） 因为 所以式子不正确.
学以致用吆！

拓展一
已经学会了在乘法中运用弃九验算法，由于乘法和除法是互逆，我们将弃九验算法应用到除法当中.如：A÷B=C,我们可转化成B×C=A,来用弃九验算法.

应用
2、判断12345÷47=4567的正确与否. 解析：由乘法与除法互为逆运算，
则 47×4567=12345， 于是 47≡4+7=11≡2（mod9）
4567≡4+5+6+7=22≡4（mod9）
12345≡1+2+3+4+5=15≡6（mod9） 由于 故式子不正确.

拓展二
对于加法、减法结合同余性质 若： a?b(mod m), c?d(mod m), 则: a+c ? b+d(mod m), 一样可以运用弃九验算法，由于加法和减法是互逆，我们只要学会了加法的弃九运算，就会应用到减法中了.

应用
3、判断45318+4518=45416的正确与否. 解析：
45318≡4+5+3+1+8=21≡3（mod9）
4518≡4+5+1+8=18≡0（mod9）
45416≡4+5+4+1+6=20≡2（mod9） 由于 故式子不正确.

课堂小结
一、弃九验算法则 ： 若做运算的正整数的各位数字之和模9的余数做相应运算不等于运算结果的正整数的各位数字之和，模9的余数则一定不正确.
二、弃九验算局限性：只能验证错误，不能验证正确. 三、弃九验算应用：可以用来快速的判断乘法、除法、加法、减法运算结果的正确与否.切记只能判错，不能判对.

针对性练习
1、将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，所得的数除以9的余数是多少？
分析与解：因为这个数太大，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，
因为1＋2＋3＋…＋9＝45，而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，…，9都可以划掉. 而1～99这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，…，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，…，9，也都划掉. 最后只剩下的100中的数字1. 所以这个数除以9余1.
2、检验下面的乘法算式是否正确：
　　46876×9537＝4476652.
解析：利用弃九验算法
46876≡4+6+8+7+6=31≡4（mod9）
9537≡9+5+3+7 =24≡6（mod9）
4476652≡4+4+7+6+6+5+2=34≡7（mod9）
由于 所以 式子不成立了
3、验证是否正确 5558÷ 46= 123
解析：利用弃九验算法 只需验证 123 × 46=5558
123≡1+2+3=3≡6（mod9）
46≡4+6 =9≡0（mod9）
5558≡5+5+5+8=23≡5（mod9） 由于 所以 123 × 46=5558式子不成立即原式不成立.

课堂练习
1、多位数521983除以9的余数是（ ）.
2、多位数215938343与多位数593867的余数 是否相同（ ）.
1
相同
3、多位数2638457除以9的余数是（ ）.
A.7 B.8 C.9 D.5
B
4、多位数12907225除以9的余数是（ ）.
A.1 B.4 C.2 D.7
A
5、求多位数7645821除以9的余数.
解析：利用弃九验算法 由于 7645821≡7+6+4+5+8+2+1=33
≡6（mod9） 所以 7645821除以9的余数是6
6、检验下面的减法算式是否正确：　　
7832145-2167953＝5664192.
解析：利用弃九验算法
7832145≡7+9+3+2+1+4+5=31≡4（mod9）
2167953≡2+1+6+7+9+5+3=33≡6（mod9）
5664192≡5+6+6+4+1+9+2=33≡6（mod9） 由于 所以 式子不成立
7、检验下面的加法算式是否正确：
2638457＋3521983＋6745785＝12907225.
解析：利用弃九验算法
2638457≡2+6+3+8+4+5+7≡8（mod9）
3521983≡3+5+2+1+9+8+3≡4（mod9）
6745785≡6+7+4+5+7+8+5≡6（mod9）
12907225≡1+2+9+0+7+2+2+5≡1（mod9） 由于 所以 式子不成立.
再见