人教版高中数学选修4-6 第二讲 同余与同余方程 四 一次同余方程 上课课件(共30张PPT)

(共30张PPT)

知识回顾
简单的说是含有一个未知数的方程，如 3x+5=14.
剩余类定义：
所有与整数a模n同余的整数构成的集合叫做模n的一个剩余类，记作[a].
什么是一元一次方程组

导入新课
已经学习了剩余类、剩余类环的知识，知道了关于剩余类的相关运算.
剩余类环：模n的剩余类集合中定义了剩余类加法和剩余类乘法的运算，记作{[0]，[1]，…，[n-1],+,- }.
剩余类环的运算法则:
[a]+[b]=[a+b]
[a][b]=[ab]
例一:模5的剩余类环是？
{ [0]，[1]，[2]，[3]，[4]；+，· }
[0] [1]=[1]，[2] [3]= [6] ；
[0] +[3]=[3]，[1]+ [4]= [5] ；
这就涉及到下面要讲的同余方程.

想一想，若在模5的剩余类环中我们只知道[3][x]=[2] 那么x 的值是什么？
第二讲 同余与同于方程
第四讲 一次同余方程

教学目标
知识与能力
1.掌握同余式的定义.
2.熟练掌握一次同余式解的存在性及解的个数.
3.熟练运用一次同余式的解法.
情感态度与价值观
过程与方法
1.类比一元一次方程引入同余方程的概念.
2.通过实例介绍同余方程解的判别方法及求解方法.
提高学生学习数学的兴趣，能够运用同余方程解决生活中的问题.

教学重难点
1.同余式方程解存在的条件.
重点
难点
2.一次同余式方程的解法.
掌握一次同余式方程的一、二种解法（穷举法、辗转相除法、分数法(用同余的性质求解)、公式法、大衍求一术）.
我们已经知道了一元一次方程，并熟悉了它的求法.如：ax + b = c
在剩余类环中含有未知数，如模5剩余类环中[2][x]=[3]，这样的式子我们叫做同余方程.有剩余类环的性质，我们可做出如下推导.

议一议
定 义

含有未知数的同余式叫做同余方程.
含有一次未知数的同余方程叫做一次同余方程，一般形式为 其中n为正整数，a，b为整数，且a不等于零. 若存在整数c， 使得同余式 成立，则把 叫做同余方程的解.
实 例
例二、在模7的剩余类环中解方程[2][x]=[3].
解：
因为 [2][x]=[3] 所以 [2x]=[3] 即 7∣2x-3 推出 2x≡3[mod 7] 解得 x≡？[mod 7]
一次同余方程
同余方程的解
解 析
在例二中我们解得x≡？[mod 7] ？是多少什么情况下x有解，有多少解，解是什么.下面我们将具体讨论这些问题.
例二中我们用穷举法得到x≡15[mod 7] ，此过程比较繁琐，而且我们不知道到底有没有解，不可能试尽所有整数.我们介绍另一种求法.
解 法
1、什么情况下有解：
若（a，n）︱b，则有解 .
2、若有解，解有几个：
解的个数为（a，n）个.

定 义
有解， 则（a，n）︱b.反过来，当（a，n）︱b时， 恰有（a，n）个解.
实 例
例三、解一次同余方程
解：
因为 （3，11）=1，且 1︱5 所以 有一个解 因为 所以
概 括
类似于例三这样的同余方程 解的过程如下：
若 （a，n）=c，且 c︱b 则 有c个解 找使左边成立的b 则 （e取0，1，2，…，c-1）

另 解
我们已经学过了用辗转相除法求最大公因数，现在我们用类似的方法来求同余方程的解.
对于特殊的一次同余方程如： 其中a为正整数， a另 解
对满足 其中a为正整数， a设k1=1，r1=a，
对n，a用带余除法： n=aq2+r2，记k2=-q2k1； 对a，r2用带余除法： a=r2q3+r3，记k3=k1-q3k2；对r3，r2用带余除法：r2=r3q4+r4，记k4=k2-q4k3； 重复直到rn=1，最后的kn=kn-2-qnkn-1，
应 用
例四、解同余方程
解：
因为 （11，47）=1 且 11<47
由于 47=11×4+3 ；11=3×3+2 ；3=2×1+1 所以 q2=4，q3=3， q4=1，r4=1
所以 k2=-4×1， k3 =1-3×（-4）=13
k4 =-4-1×13=-17
得

课堂小结
一、一次同余方程一般式：
二、同余方程解的形式：
三、同余方程有解的条件： （a，n）︱b
四、同余方程有个数： （a，n）
五、求同余方程解的方法：公式法、大衍求一术.

针对性练习
1、若（a，m）=1，则同余式ax ? b (mod m)有唯一解x ? a φ（m-1）b (mod m)
因为（a，m）=1，所以ax ? b (mod m)有唯一解 再由欧拉定理知a φ（m） ? 1 (mod n) ， a a φ（m-1）b (mod m) ? a φ（m） b (mod m) ? b (mod m)所以x? a φ（m） b (mod m) 是ax ? b (mod m) 唯一解 推论若p是素数0证明：因为 p是素数且0 因为 ax ? b (mod m)有唯一解，
因为
所以 a！︱p(p-1)…(p-a+1)
因为 p是素数且0所以唯一解
2、解同余式3x ? 7 (mod 13)
因为（13，3）=1 所以 3x ? 7 (mod 13)有唯一解
此题利用了1题的结论.1题的结论是求解的一种方法需牢记.

3、解同余式11x ? 15 (mod 24)
因为（11，24）=1 所以11x ? 15 (mod 24)有唯一解 又φ（24）= φ（3×23） = φ（3）= φ（23）=8 x ? a φ（m-1）b (mod m) ?15×11 φ（24）-1（mod24）
? 15×11 8-1 （mod24）?15×11 6 ×11（mod24）
? 15×（11 2）3 ×11（mod24）
? 15×11（mod24） ? -3 （mod24）

课堂练习
1. 大衍求一术适用的同余方程，ax ? 1 (mod n)，其中（ ）为正整数，a（ ）n，且（a，n）=（ ）.
a
<
1
2. 一次同余方程ax ? b (mod n)，若有解则（ ），解的个数为（ ）.
（a，n）︱b
（a，n）
3. 试确定同余方程3215x ? 160 (mod 235)是否有解，若有解有几个解（ ）.
A.有 B.无解 C.1个解 D.5个解
D
4. 下面对同余方程3x ? 7 (mod 13)的解描述正确的（ ）.
A. x ? 7 (mod 13) B. x ? 7
C. x = 7 D.都不对
A
解:
因为 (6,23)=1,且1|7
故 同余方程仅有以一个解
而 6×4=24 ≡ 1(mod 23)
故 x ≡ 4 ×7=28 ≡ 5(mod 23).
所以 解为x ≡ 5(mod 23).
5. 解同余方程 6x ≡ 7 (mod 23).
6. 解同余方程31x ? 5 (mod 17).
解 ：
因为 (31,17)=1,且1|5
故 同余方程仅有以一个解
而 31×11=341 ≡ 1(mod 17)
故 x ≡ 5×11=55 ≡ 4(mod 17).
所以 解为x ≡ 4(mod 17).
7. 解析同余方程58x ? 87(mod 47)是否解，若有解有几个.
解 ： 原式化为
47x+ 11x ? （47+40）(mod 47).
即 11x ? 40(mod 47).
因为 (11,47)=1,且1|40
故 同余方程仅有以一个解.
再见