人教版高中数学选修4-6 第二讲 同余与同余方程 五 拉格朗日插值和孙子定理 上课课件(共27张PPT)

(共27张PPT)

知识回顾
学过的函数：
一次函数 f（x）=ax+b+c
二次函数 f（x）=ax2+bx+c

f（1）= a+b+c
f（-1）= a-b+c
f（2）= 4a+2b+c
方程组：

导入新课
今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

你能算出来吗？

今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 这四句话的意思是：有若干 只鸡兔同在一个笼子里，从 上面数，有35个头；从下面 数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔 .
你知道有多少只鸡吗？


你能够解决以上的问题，求出数值吗？要解决以上的问题穷举法显然是不可能的，这就涉及到我们今天要学习的知识，拉格朗日插值法、孙子定理.
第五节 拉格朗日插值和孙子定理
第二讲 同余与同余方程

教学目标
知识与能力
1.理解一次同余式组的概念. 2.理解拉格朗日插值公式的建立过程及推导孙子定理的过程.
3.掌握用孙子定理法求一次同余式组的解.
过程与方法
情感态度与价值观
1.通过算法案例的学习，了解中国古代数学家对世界数学发展的伟大贡献，增强民自豪感和自信心. 2.在学习的同时，学会做有爱国心，品格高尚的人，树立远大理想和目标.
1.先阅读案例，探究解决问题的算法.
2.研读算法，体会算法思想，能解决具体问题.

教学重难点
重点
1.理解拉格朗日插值公式的建立过程. 2.孙子定理的推导过程. 3.用孙子定理解一次同余方程.
难点
建立拉格朗日插值公式和推导孙子定理.
孙子算经翻译：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，问这个数是几?
m=3x+2 x≡2（mod3）
相当于解方程组 m=5y+3 即 x≡3（mod5）
m=7z+2 x≡2（mod3）





同余方程组
为了能更方便的求解方程组我们将学习拉格朗日插值法.
我们知道，在二次函数f（x）=ax2+bx+c中只要我们知道其上的三个值如（x1，f（x1））， （x2，f（x2））， （x2，f（x2）），就能得到要求的多项事.一种更一般的拉格朗日插值法. 1）求多项式p（x）,使p（x1）=1,p(x2)=0,p(x3)=0 2）求多项式q（x）,使q（x1）=0,q(x2)=1,q(x3)=0 3）求多项式r（x）,使r（x1）=0,r(x2)=0,r(x3)=1 若选取p（x）=c（x-x2）（x-x3），其中c为常数.
显然p(x2)=0,p(x3)=0 再代入p（x1）=1,可求得c为 (x1 - x2)（ x1 – x3）的倒数. 求得
同理得
设a，b，c两两不同那么满足f(a)=e，f(b)=f ， f（c）=g的一个多项式可用
f(x)=e· p(x)+f · q(x)+ g · r(x) (Ⅰ) 其中 （Ⅱ）
上面的公式（Ⅰ）和（Ⅱ）叫做拉格朗日公式.用类似方法解决孙子算经的物不知其数问题. 1）求整数p,使p≡1（mod3）, p ≡0（mod5）, p≡0（mod7）.
求整数q,使q≡0（mod3）, q ≡1（mod5）, q≡0（mod7）.
求整数r,使r≡0（mod3）, r ≡0（mod5）, r≡1（mod7）.
2）作整数k=2×p+3×q+2×r，这个k使同余式都成了.此时x≡k（mod3×5×7）现在的焦点就是如何求p、q、r. 由于p≡0（mod5），p ≡1（mod7） 故 5︱p，7︱p，于是p=5×7×c，c为整数再由p≡1（mod3）即5×7×c ≡1（mod3） 若c=2，则p=70.同理求得q=21，r=15. 所以k=233，x ≡233≡23（mod105）.
此求同余方程组的方法即孙子定理.

孙子定理 设a，b，c为两两互素的正整数，e，f，g为任意整数，则同余方程组
x≡e（moda），
x≡f（modb），仅有一解：
x≡g（modc） x≡ebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中c1，c2，c3分别满足同余式：bcc1≡1（moda） acc2 ≡1（modb）,abc3 ≡1（moda）的整数.


课堂小结
一、一次同余式组：
x≡e（moda）
x≡f（modb）
x≡g（modc）

二、拉格朗日插值公式：
f(x)=e· p(x)+f · q(x)+ g · r(x)
三、孙子定理：
设a，b，c为两两互素的正整数，e，f，g为任意整数，则同余方程组
x≡e（moda）
x≡f（modb），仅有一解：
x≡g（modc） x≡ebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中c1，c2，c3分别满足同余式：bcc1≡1（moda） acc2 ≡1（modb）,abc3 ≡1（moda）的整数.


针对性练习
1、已知函数f（x）=x2+2x+alnx当t≥1时, 不等式f(2t－1) ≥2f(t)－3恒成立, 求实数a的取值范围.
证明:当t≥1时，f(2t－1)≥2f(t)－3 恒成立. 即（2t-1）2+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t2+4t+2alnt-3当t≥1恒成立. 即a[lnt2-ln（2t-1）] ≤2（t-1）2



h(x)=lnx,由拉格朗日定理知, 使得 成立 故 所以 即实数取值范围（-∞,2]
当t=1时，不等式恒成立,此时a∈R. 当t>1时，由于t2-（2t-1）=（t-1）2>0， 所以 lnt2>ln（2t-1） 故 当t≥1时恒成立.
2、已知函数 ， f（x）的导数是f’（x），任意两个不等正数x1，x2证：若a≤4，︳ f’（x1）- f’（x2） ︳> ︱x1- x2 ︳ ，



证明：要证︱f’（x1）- f’（x2） ︳> ︱x1- x2 ︳ 只要证 由拉格朗日定理，总存在
使 故只要证明 只要证
令 ，则 令 故当a≤4时︱f’（x1）- f’（x2） ︳> ︱x1- x2 ︳

3、已知函数 且存在x0∈(0, ) ,使f(x0)=x0. 证明：
证明： 因为 由拉格朗日中值定理知: 总存在 使得
由于 又
当 故得证
1、求整数n，它被3，5，7除的余数分别是1，2，3,则该整数最小为（ ）.
2、解同余方程组

则x为( ).

课堂练习
52
21531056

4、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是（ ）.
3、有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余（ ）.
A.5 B. 7 C.8 D.9
A
A.274 B. 40 C.34 D.36
C
解析：若4人一组多1人，6人一组少3人,则加3人为4和6的公约数=12K，12K-3能被5整除,根据5和2的倍数特征规律:12×4-3=45，所以至少有45人.
5、若4人一组多1人，5人一组正好分完，6人一组少3人，最少有几人？
6、每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问至少有多少人 ？
解：由于9,7,5互素,故同样可用孙子定理.
解1 7×5c1 =35c1≡1(mod9) 得 c1 ≡ 8(mod9),
解2 9×5c2 =45c2≡1(mod7) 得 c2 ≡ 5(mod7),
解3 9×7c3 =63c3≡1(mod5) 得 c3 ≡ 2(mod5),
于是,选取c1=2， c2=3， c3=11 得x≡6×7×5×8+2×9×5×5+3×9×7×2 ≡303(mod305) 是同余方程的解.所以至少303人.
解：由于3,7,11互素,故同样可用孙子定理.
解1 7×11c1 =77c1≡1(mod3) 得 c1 ≡ 2(mod2),
解2 3×11c2 =33c2≡1(mod7) 得 c2 ≡ 3(mod7), 解3 3×7c3 =21c3≡1(mod11) 得 c3 ≡ 10(mod11),
于是,选取c1=2， c2=3， c3=11 得x≡2×7×11×2+1×3×11×3+2×3×7×10=727
≡24(mod231) 是同余方程的解.
7、3除余2，被7除余1，被11除余2，求同余方程的解.
再见