人教版高中数学选修4-6 第二讲 同余与同余方程（一）同余 上课课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
知识回顾
16÷5＝
5 16

）
3
15

1
3 ……1
除数
商
余数
被除数
导入新课
今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？
因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15=7×2＋1，所以“六·一”儿童节是星期一.
解析：
2020年的元旦是星期三，2021年的元旦是星期几？
因为，2020年有366天，而366=7×52＋2，所以，2021年的元旦应该是星期五.
解析：
下一节我们将学习利用余数来解决生活中的问题.
以上问题的实质是求用7去除以总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.
第二讲 同余与同余方程
第一节 同余
教学目标
知识与能力

1.理解同余概念与整除概念的联系，掌握同余的性质及应用.
2.并能灵活应用同余的基本性质解决具体问题.
3.灵活运用同余的性质解决现实生活中的实际问题.
过程与方法

情感态度与价值观

2.观察同余与整数之间的关系，并通过实例深化理解.
1.通过举例，引出同余的概念和记号.
培养学生结合以前所学知识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
教学重难点
重 点

1.准确理解同余的概念，正确的使用同余的符号.
难 点

2.类比等式的性质，探究证明同余的一些重要性质.
灵活运用同余的性质解决生活、理论中的实际问题.
12÷5=2…2

17÷5=3…2

22÷5=4…2

27÷5=5…2

32÷5=6…2

37÷5=7…2

……
被除数 除数 商 余数
12 5 2 2
17 5 3 2
22 5 4 2
27 5 5 2
32 5 6 2
37 5 7 2
… 5 … 2
观察上表有什么规律

通过观察，我们发现这些数被5整除后，得到的余数是相同的，这种情况我们成为模7同余.


一般地，设n为正整数，a和b为整数.如果a和b被n除后余数相同，那么称a和b模n同余，记作a ? b (mod n) .若a和b被n除后余数不同，则称a和b模n不同余，记作a b (mod n)
1）26和-14同时被4除判断他们的同余性，并用符号表示. 2）-14和22同时被4除判断他们的同余性，并用符号表示. 3）26和22同时被4除判断他们的同余性，并用符号表示. 4）26减去-14能否被4整除？
26÷4=4…2,

解析：

1)

-14÷4=-3…2

由定义知26和-14同余，故可写成

26 ? -14 (mod 4)
-14÷4=-3…2,

2)

22÷4=5…2

由定义知-14和22同余，故可写成

-14 ? 22 (mod 4)
-14 ? -26 (mod 4)
或
22 ? -14 (mod 4)
或
26÷4=4…2,

3)

22÷4=5…2

由定义知26和4同余，故可写成

26 ? 22 (mod 4)
26 ? 22 (mod 4)
或
解析：

4)

26-(-14) =40


4︱40
总结：

我们假设在上例中的a=26，b=-14，c=22，n=4.
-14 ? 22 (mod 4)
26 ? 22 (mod 4)
表示为：
1）

26 ? -14 (mod 4)
a ? b (mod n)

b ? c (mod n)
2）
3）

a ? c (mod n)
或
b ? a (mod n)
或
c ? b (mod n)
或
c ? a (mod n)
由以上实例可以总结出如下性质:
①自反性: a?a (mod n).
②对称性: 若a?b(mod n), 则b?a(mod n).
③传递性: 若a?b(mod n), b?c(mod n),
则: a?c(mod n).
④与整数的关系： a?b(mod n)
总结：

n︱a-b
若a?b(mod m), c?d(mod m), 则:
① ax+cy ? bx+dy(mod m), 其中x和y为任给整数.
② ac ? bd(mod m).
③ an ? bn(mod m), 其中 n＞0.
④ f(a) ?f(b)(mod m), f(x)为任给的整系数多项式.
⑤ xa ?xb(mod m)，x为任意整数.

探究
1、
若ab?ac(mod m), 且（a，n）=1，则b?c(mod m)
2、

性质应用
试求，17是否可以整除191000，若可以整除商是多少？余数是多少？
解：
因为
19 ? 2 (mod 17),
所以
191000 ? 21000 (mod 17) = 16250 (mod 17)
又因为
16 ? -1 (mod 17),
所以
16250 ? （- 1）250 (mod 17),
所以
17不能整除191000 ，余数为1

总结
在遇到很大的数时，我们很难直观判断余数是几，这时我们就要把被除数变小，降次，反复进行这个过程，直至求出结果.
如被除数为Ab （假设 Ab是一个很大的数）,除数为C, 若C除以A余数为D,则Ab? Db (mod C) ;反复进行此过程直到求出结果.
课堂小结
同余定义

一般地，设n为正整数，a和b为整数.如果a和b被n除后余数相同，那么称a和b模n同余，记作a ? b (mod n) .若a和b被n除后余数不同，则称a和b模n不同余，记作a b (mod n)
由以上实例可以总结出如下性质:
①自反性: a?a (mod n).
②对称性: 若a?b(mod n), 则b?a(mod n).
③传递性: 若a?b(mod n), b?c(mod n),
则: a?c(mod n).
④与整数的关系： a?b(mod n)

n︱a-b
同余性质

若a?b(mod m), c?d(mod m), 则:
① ax+cy ? bx+dy(mod m), 其中x和y为任给整数.
② ac ? bd(mod m).
③ an ? bn(mod m), 其中 n＞0.
④ f(a) ?f(b)(mod m), f(x)为任给的整系数多项式.
⑤ xa ?xb(mod m)，x为任意整数.
1、
若ab?ac(mod m), 且（a，n）=1，则b?c(mod m)
2、
b≡a(mod 10)，那么b的可能值是（ ）
针对性练习
1、设a、b、n(n>0)为整数，若a和b被n除的余数相同，则称a和b对模n同余，记作a≡b(mod n).已知
D
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
2、求使2n+1能被3整除的一切自然数n.
则

2?-1 (mod3).
2x?(-1) x(mod3).
2n +1? (-1) n+ 1 (mod3).
∴
∴当n为奇数时，2n+1能被3整除；
当n为偶数时，2n+1不能被3整除.
解∵
3、 求2999最后两位数码（1990泰安高考题）
∴
又
∴
∴
∴ 2999的最后两位数字为88.
212 =4096? -4 (mod100).
2999 = (212)83 23 ? (-4)83 23 (mod100).
46 = 212 =4096 ? -4 (mod100).
483 = (46)13 45 ? (-4)13 25 ? - (46 ) 3 ? - (-4 ) 3 ? 64 (mod100).
2999 ? (-4)83 23 ? (-646 ) 23 ? - 2 9 ? -512 ? 88 (mod100).
解 考虑用100除2999所得的余数.
∵
1.2020年“五一节”是星期五，同年“国庆节”是星期（ ）
课堂练习
四
2.有一个数能被5整除，但除以4余3，这个正整数最小是（ ）
15
4.一个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12，余数是（ ）.
5. 判定288和214对于模37是否同余?
　解：∵ 288-214=74=37×2.
　　 ∴ 288≡214（mod37）.
3.一个整数去除300，262，205，所得余数相同，这个整数是（ ）
A、19
B、9
C、15
D、12
A
A、1
B、2
C、3
D、5
D
分析 ：若将结果乘出，结果会很大不利于计算，工作量大繁琐，所以利用学习的同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量得出结果.
6. 求乘积418×814×1616除以13所得的余数.
解：∵418≡2（mod13），814≡8（mod13），
1616≡4（mod13），
∴ 根据同余的性质5可得：418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（ mod13）答：乘积418×814×1616除以13余数是12.
分析：求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题.
解：∵2100≡24×25≡625≡6(mod 10)，
3101≡34×25·31≡125·31≡3(mod 10)，
4102≡(22)100·42≡6·6≡6(mod 10)，
∴2100＋3101＋4102≡6＋3＋6≡5(mod 10)，
即自然数2100＋3101＋4102的个位数字是5.
7.求自然数2100＋3101＋4102的个位数字.
再见