人教版高中数学选修4-6 第三讲 一次不定方程 三 多元一次不定方程 上课课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
知识回顾
下列方程各举一例：
1、一元一次方程：
2、一元二次方程：
3、二元一次不定方程：
4、三元一次不定方程：
x + 3=5 x2 - 7=1 x + y=3 4x - 5y + 2z=8
导入新课
我们已经学习了二元一次不定方程 ax+by=c(a,b为非零整数，c为整数.)的求解方法——辗转相除法.
对于多元一次方程ax+by+cz=d（a，b，c为非零整数，d为整数.）又该怎样求解呢？
对“百钱买百鸡”的问题，我们可以列出以下的不定方程组.
①

②
在以往的解法中我们是用①×3- ②消去未知数z，转化为二元一次不定式来求解的.

上面的求解方法是——消元法求解.还有其它办法可以求出来吗？下面我们就来学习怎样判断多元一次不定方程是否有解，并找它的求解方法.
第三讲 一次不定方程
第三节 多元一次不定方程
教学目标














知识与能力
1、了解多元一次不定方程组的一般解法过程.
2、弄清方程的解满足的条件以及通解表达式中参数应满足的条件.
3、理解通解表达式的证明过程中的几个关键步骤.














情感态度与价值观
过程与方法














1、通过探讨引人多元一次不定方程有解的充要条件.
2、通过实例应用使学生更透彻的理解多元一次不定方程求解过程.
培养学生对立思考的态度，逻辑推理，能够举一反三的能力.
教学重难点
重 点

难 点

多元一次不定方程有解的条件及求解的过程.
多元一次不定方程求解的推导过程.
探讨一
多元一次不定方程在什么情况下有解.
以三元一次不定方程ax+by+cz=d （1） 其中 a，b，c为非零整数，d为整数.为例来讨论. 情况一、设三元一次不定方程有整数解,
解为 x=x0
y=y0
z=z0，因为（a，b，c）︱a ，

（a，b，c）︱ b ， （a，b，c）︱ c ，
所以（a，b，c）︱ ax0+by0+cz0=d .
即若有解，则（a，b，c）︱d . 情况二、 设（a，b）=m，
则（m，c）= （a，b，c）︱d
故 mt+cz=d 有整数解 ，
设 t=t0，z=z0 得 ax+by=mt0
由于 （a，b）=m ︱mt0
所以 ax+by=mt0有整数解x=x0，y=y0
所以 x=x0，y=y0，z=z0是不定方程的解.
总结
通过上面论证我们得到了三元一次不定式有解的充要条件.
不定方程（1）有整数解的充要条件为（a，b，c）︱d .
应用一
例一、求不定方程x ? 2y ? 3z = 41 .
解：因为(1,2)=1,(1,2,3)=(1,3)=1︱41
所以 不定方程有解
设 x?2y=t,t ?3z =41
得 x=t?2u，y=u，u?Z， t=41?3v，z=v，v?Z，
消去t得x = 41 ? 3v ? 2u，y = u，z = v，u，v?Z.
得正整数解为(x, y, z)=(41?3v?2u, u, v)，u ，v ?Z.
探讨二
上面的本质是将三元一次不定方程化为二元一次不定方程求解.对于四元一次不定方程，n元一次不定方程可进行类似转化.
举一反三吆
不定方程ax+by+cz+dw=e,其中a，b，c，d为非零整数，e为整数,有整数解的充要条件为（a，b，c，d）︱e.
自己试一下推导过程吧！！
应用二
例二、求不定方程x ? 2y ? 3z +w= 3 .
解： 因为（1，2）=1，（1，3）=1,
(1,2,3,1)=(1,1)=1︱1,
所以 不定方程存在整数解.
设 x+2y=u，u+3z=v，v+w=3，
求得 x=-u+2t1 u=-2v+3t2 ， v=1+t3 ，
y=u-t1 ， z=v-t2 ， w=2-t3，



其中t1，t2，t3为任意整数.联合上述三个通式，消去u，v得
x=2+2t3-3t2 ,
y=-2-2t3+3t2-t1 ,
z=1+t3-t2 ,
w=2-t3 , 其中t1，t2，t3为任意整数.

课堂小结
一、多元一次不定方程求解的实质：
将多元一次不定方程转化为二元一次不定方程再求解. 二、多元一次不定方程：
a1x1+a2x2+…+anxn=c，其中a1，a2，…，
an为非零整数，c为整数,有解的充要条件为 （a1，a2，…，an）︱c

针对性练习
1、求不定方程的 正整数解.
解：原式变形为2x+2y=xy，
即（x－2）（y－2）=4
所以 或 或

解得 或 或
2、求不定方程9x+24y-5z=1000的一切整数解．
解：因为（9，24）=3，且（3，5）=1
所以（9，24，5）=1 ?????????
原不定方程有整数解，且原不定方程可化为9x+24y=3t,3t-5z=1000
由 9x+24y=3t 可得其解为 x=3t-8u,
y=-t+3u, t∈z 由 3t-5z=1000可得其解为 t=2000+5v
z=1000+3v, z∈z


消去 t 可得 x=6000+15v-8u,
y=-2000-5v+3u,
z=1000+3v , u,v∈z 不定方程 9x+24y-5z=1000,的一切整数 解为 x=6000+15v-8u ,
y=-2000-5v+3u ,
z=1000+3v, u,v∈z


3、求不定方程 6x+15y+21z+9t=30?的一切整数解.
解：因为（6，15，21，90）=3? 且3︱30
所以可化为2x+5y+7z+3t=10
又因为（2，5）=1，（1，7）=1，（1，3）=1
所以 2x+5y=u， u+7z=v， v+3t=10
分别解得 x=3u+5t1, u=-6v-2t2, v=1+3t3
y=-u-2t1 , z=v-t2, t=3-t3, t1,t2,t3∈z



消去 u，v得
x=-18-54t3+21t2+5t1
y=6+18t3-7t2-2t1
z=1+3t3-t2
t=3-t3 　 为6x+15y+21z+9t=30 ?的一切整数解．

明白了吗！！！
课堂练习
1、12x+21y=17的整数解是（ ）. 2、40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有（ ）只脚. 3、下面不定方程没有整数解的是（ ）.
A、15x+25y=-100 B、4x+5y=10
C、-2x+3y=1 D、2x+6y=5
7
没有整数解
D
5、求不定方程x ? 2y ? 3z = 7的所有正整数解.

解： 依次解方程 t ? 3z = 7，x ? 2y = t，
得到
消去t，得到
（19） u， v ?Z，
4、因为( ),所以12x+15y=7没有解. A、[12，15]不整除7 B、（12，15）不整除7
C、7不整除（12，15） D、7不整除[12，15]
B
要使x ? 1，y ? 1，z ? 1，则应有
3u ? 2v ? 0，?v ? 1，1 ? u ? 0 (20)
所以3u ? ?2v ? 2，u ? 1 ?? u ? 1，
即 u = 1.由此及式(20)，有
3 ? 2v ? 0，?v ? 1 ? ? ? v ? ?1，
所以v = ?1.将u = 1，v = ?1代入式(19)，得
到原方程的唯一一组正整数x = 2，y = 1，z = 1.
耐心点吆！！！



解 原方程等价于x ? 2y ? 4z = 5. 依次解方程 t ? 4z = 5，x ? 2y = t， 分别得到

最终解得 u， v ?Z，
6、求不定方程3x ? 6y ? 12z = 15的解.
7、求方程12x+8y+36z=100的所有整数解







解：原方程可化为3x+2y+9z=25 ①
将①分为 ② ，
③ ， ②的一组解为 所以②的所有整数解为 ④
⑤ k1为整数 ③的一组解为


所以③的所有整数解为 k2为整数将⑥代入④⑤，消去t得， k1，k2为整数.
快结束咯！！！
再见