人教版高中数学选修4-6 第三讲 一次不定方程 一 二元一次不定方程 上课课件(共28张PPT)

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知识回顾
回顾一下我们学过的方程，一元一次方程，如：x+2=5，满足方程的解x=3.
一元一次方程的特征是只含有一个未知数x，含有未知数的个数与方程的个数一样多，x有整数解，而且仅有一个解.

导入新课
当方程的个数少于未知数的个数时怎样解？如方程：x+y=3，想一想这样的方程该怎样解呢？它的解是否只有一组?类似这样的方程是否一定有解呢？
鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何.
你能算出有多少只鸡吗？
上面的问题即是著名的“百钱买百鸡”，百钱能买到百鸡吗？若能买到，能买到鸡翁、鸡母和鸡雏各多少只？
生活中类似的问题还有很多，要怎样顺利的解决这些问题，就需要学习新的知识——二元一次不定方程.
第三讲 一次不定方程
第一节 二元一下不定方程

教学目标
知识与能力
1、掌握二元一次不定方才有整数解的判别准则.
2、理解掌握二元一次不定方程有整数解时整数通解的表示.
3、学会求解简单的二元一次不定方程及“百钱买百鸡”问题.
情感态度与价值观
了解我过古代数学家在不定方程的研究方面取得的一些成就.
过程与方法
1、联系生活对比一元一次方程，引出二元一次不定方程.
2、通过实例介绍不定方程有解的条件，及其特解、通解.

教学重难点
重点
1、理解二元一次不定方程有整数解的判别准则及其探究过程.
2、二元一次不定方程有整数解时整数通解的表示方法并能求解简单一次不定方程.
难点
探究二元一次不定方程有整数解的判定准则和整数通解的表示.
学过的一元一次方程，如x+7=9.这样的方程含有一个未知数，并且未知数的个数与方程的个数是相等的，
对于x+y=9这样的方程来说，即未知数的个数多于方程的过个数的方程或方程组我们叫做不定方程.
二元一次不定方程一般式：ax+by=c，其中a，b，c为整数，且a，b不等于零.
不定方程
例一、 解不定方程4x+6y=1.
解：原式可以化为2（2x+3y）=1由于左边必是2的倍数，而右边是1，所以不可能有整数解.
所以，不定方程不一定有整数解.
下面我们就来讨论什么情况下不定方程有整数解.
分析（一）
分析（一）
设不定方程ax+by=c有整数解x=x0，y=y0. 因为（a，b）︱a，（a，b） ︱b 所以（a，b） ︱ax0+by0=c， 即若不定方程有整数解，则（a，b） ︱c
这是不定方程有解时系数之间的关系，下面我们来看验证，当系数满足 （a，b） ︱c 时是否一定有整数 解.
若d=（a，b） ︱c ，令a=a’d，b=b’d，c=c’d，则不定方程化简为a’x+b’x=c’ ，（a’，b’）=1.由最大公约数的性质，存在一对整数u，v，使得a’u+b’v=1.于是a’（uc’）+b’ (vc’) = c’，从而有a（uc’）+b (vc ’) = c.得x= uc’，y= vc ’就是不定方程的整数解.

如果不定方程ax+by=c有整数解，那么（a，b） ︱c .反过来，当（a，b） ︱c 时，不定方程ax+by=c一定有整数解.
分析（二）
对于一元一次方程x+7=9，我们容易得到x的整数解为x=2，知道一元一次方程的解是唯一的.
不定方程x+y=9的解却可以是x=1，y=8；x=-1，y=10……等情况.也就是说不定方程的解是不唯一的.
分析（三）
对于不定方程x+y=9，我们不可能将所有不定方程的解都写出来，但是却可以将所有解表示表示一组式子
x=1+t，
y=8-t，t是任意整数.

分析（三）
当ax+by=c有整数解，且（a，b）=1时设x=x0，y=y0为不定方程的整数解，对于任意的整数t， x=x0+bt
y=y0-at 注意： x=x0，y=y0为方程的一个特解， 为不定方程的通解.当不定方程 ax+by=c的（a，b）≠1可以化为a’x+b’x=c’其中（a’，b’）=1.

①
①

设（a，b）=1则不定方程ax+by=c的整数通解为， x=x0+bt
y=y0-at 其中t为任意的整数x=x0，y=y0为不定方程 ax+by=c的一个特解 .


课堂小结
一、二元一次不定方程一般式：ax+by=c . 其中 a，b，c为整数，且a，b不等于零. 二、 ax+by=c有整数解的条件：（a，b）︱ c三、 ax+by=c有整数解的时通解： x=x0+bt
y=y0-at 其中t是任意整数，x=x0，y=y0是一个特解.


针对性练习
1、某电台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告.15秒广告每播1次收费0.6万元，30秒广告每播1次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，问：
⑴ 两种广告的播放次数有几种安排方式？
⑵ 电视台选择哪种方式播放收益最大？
解：
答：电视台选择15 秒4 次，30 秒2 次收益最大.
解：设15秒广告播放x次，30 秒广告播放y次
得15x+30y=120，所以x=8-2y
因为 x、y 为不小于2 的正整数，
所以 x=4，y=2或 x=2，y=3所以两种方式，
即15秒广告播放4 次，30 秒广告播放2 次；
或 15 秒播放2 次，30 秒播放3 次
若x=4,y=2， 则 0.6×4+1×2=4.4（万元）
若x=2,y=3， 则 0.6×4+1×3=4.2（万元）
解：设买甲物x斤，乙物y斤，丙物z斤，
则 5x ? 3y ?z = 100，x ? y ? z = 100.
消去z，得到7x ? 4y = 100. (1)
显然x = 0，y = 25是方程(1)的解， 因此，方程(1)的一般解是 ， t?Z
2、甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤?
因为 x ? 0，y ? 0，所以0 ? t ? 3.
即 t可以取值t1 = 0，t2 = 1，t3 = 2，t4 = 3.
相应的x，y，z的值是
(x, y, z) = (0, 25, 75)，(4, 18, 78)，(8, 11, 81) ，
(12, 4, 84).
3、求不定方程15x+19y=1??的整数解．
解：因为（15，19）=1， 所以原不定方程有整数解比较x，y的系数， 用系数15除不定方程得 因为x，y∈z，所以 ∈z，令 则15s=1+11y，所以 因为y，s ∈z， 所以 ∈z，得到 所以 x=-5 x=-5+19t
y=4是方程的一个特解. 得解 y=4-15t t ∈z



课堂练习
1、二元一次方程3x+2y=11 ( ).
A、 任何一对有理数都是它的解
B、只有一个解 C、只有两个解 D、无穷多个解
D
2、x、y的方程ax2+bx+2y=3是一个二元一次方程，则a、b的值为（ ）.
A 、a=0且b=0 B、 a=0或b=0
C、 a=0且b≠0 D、a≠0且b≠0
C
3、已知方程⑴5x+3y=7 ⑵ 5x-7=2 ⑶ 2xy=1 ⑷ x2-y=1⑸ 5(x-y)+2(2x-3y)=4其中二元一次方程的个数是 （ ）.
3
4、下列方程组：（x、y 为未知数）
x+y=5 x+y=9 x=10 x=a
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
2xy=7 y+z=0 y=4 x-y=b

其中二元一次方程组的个数是 （ ）




3
解 ： (3, 6) = 3?15，所以方程有解.
由直接观察，可知x = ?1，y = 1是
3x ? 6y = 3的解，
所以 x0 = ?5，y0 = 5是原方程的一个解.
所以 所求方程的解是
5、求不定方程3x ? 6y = 15的解.
6、求不定方程13x ? 17y = 5 的解.
解：因为（13，17）=1， 所以原不定方程有整数解比较x，y的系数， 用系数13除不定方程得 因为x，y∈z，所以 ∈z，令 则13s=5+9y，所以 因为y，s ∈z， 所以 ∈z，得到 所以 x=3 x=3+17t
y=-2是方程的一个特解. 得解 y=-2-13t t ∈z


7、求不定方程126x-102y=18的整数解.
因为（126，102）=6，且6︱18 所以原不定方程有整数解. 原不定方程可化为 ?21x-17y=3?. 观察得x=5，y=6时成立， 所以原方程的解为 x=5+17t
y=6+21t

再见