人教版高中数学选修4-6 第三讲 一次不定方程（二） 二元一次不定方程的特解 上课课件
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选修4-6 第三讲 一次不定方程（二） 二元一次不定方程的特解 上课课件 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-25 10:40:08 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
知识回顾
对满足 其中a为正整数， a设k1=1，r1=a，
对n，a用带余除法： n=aq2+r2，记k2=-q2k1； 对a，r2用带余除法： a=r2q3+r3，记k3=k1-q3k2；对r3，r2用带余除法：r2=r3q4+r4，记k4=k2-q4k3； 重复直到rn=1，最后的kn=kn-2-qnkn-1，
回顾一下前面学过的大衍求一术
导入新课
前面已经学过了二元一次不定方程. ax+by=c,其中（a，b）=1.并知道了它的一个特解的表示x=x0，y=y0 .通解的表示
x=x0+bt，
y=y0+bt t为任意整数.
在上一讲中我们求不定方程的一个特解和通解的时候，都是通过观察法得到的一个特解，但是在生活中遇到的问题并不是总是这么简单容易看出来的，相反很多情况下，不定方程是很复杂的,但是又要求结果.
你能求出546x+134y=7的一个特解吗？
思考
学习一种求二元一次不定方程特解的方法——辗转相除法.
第三讲 一次不定方程
第二节 二元一次不定方程的特解
教学目标
知识与能力
1、掌握用辗转相除法计算二元一次不定方程的一个特解.
2、理解辗转相除法求二元一次不定方程一个特解的证明过程.
过程与方法
情感态度与价值观
1、通过讨论法介绍学习辗转相除法的必要性.
2、通过实例解析让学生更透彻的理解辗转相除法.
培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
教学重难点
重点
会用辗转相除法计算二元一次不定方程的一个特解.
难点
辗转相除法求二元一次不定方程的一个特解的推导过程.
在求二元一次不定方程ax+by=c,且(a,b)=1的一个特解时，很多情况不能用观察法、或穷举法求出不定方程的特解，现在我们就学习一种新的方法——辗转相除法. 辗转相除法推导过程： 对二元一次不定方程ax+by=c,且(a,b)=1. 情况一：当b=1时，容易得到不定方程ax+by=c,的一个特解x0=1，y0=c-a.
讨论
讨论
情况二、当b>1时，用辗转相除法 a=bq1+r1， b=r1q2+r2， r2=r3q4+r4， ………… rn-2=rn-1qn+rn（rn=1）. 规定k0=0，k1=1.
讨论
然后由递推关系式ki=ki-2-qiki-1（i=2，…，n）.依次计算出k2，…，kn.根据大衍求一术的算法原理知,ri≡aki（modb），于是b︱ri-aki . 当i=n时，b ︱1-akn .得到通解
应用一
例一、求二元一次不定方程11x+61y=3
的通解.
解析：
因为（11，61）=1，且1︱3，
所以 不定方程有解.
由 11=61×0+11
61=11×5+6
11=6×1+5
6=5×1+1
因此 q2=5，q3=1，q4=1.再由递推关系式依次计算得： k2=-5×1+0= -5
k3=-1×（-5）+1 =6
k4=-1 ×(6)+(-5)=-11
x0=-33，
y0=6， 通解： x=-33+61t
y=6-11t
应用二
例一、求二元一次不定方程13x+37y=4
的一个特解.
解析：
因为（13，37）=1，且1︱4，
所以 不定方程有解.
由 13=37×0+13
37=13×2+11
13=11×1+2
11=2×5+1
因此 q2=2，q3=1，q4=5. 再由递推关系式依次计算得：
k2=-2×1+0= -2
k3=-1×（-2）+1 =3
k4=-5 ×(3)+(-2)=-17
x0=-68，
y0=24，
课堂小结
一、二元一次不定方程ax+by=c有解条件:
（a,b）=1 二、二元一次不定方程求解方法：
辗转相除法. 三、辗转相除法原理：大衍求一术.
针对性练习
1、求方程63x+8y=－23的整数解．
解：（1）63=8×7+7．
（2）8=7×1+1
（3）重复第二步，直到余数为1为此．
（4）逆序写出1的分解式．
1=8－7×1=8－（63－8×7）×1
=8－63+8×7=8×8－63
（5）写出原方程的特解和通解．
所以方程63x+8y=1有一组特解 ，
方程63x+8y=－23有一组特解 ，
所以原方程的所有整数解为
2、求方程12x+8y=100的所有整数解．
解：原方程可化为3x+2y=25 ①
①的一组解为 所以①的所有整数解为
解：将方程化简为 37x-256y=3 即37x+256（-y）=3
∵256=6×37+34 37=1×34+3 34=11×3+1
∴1=34-11×3
=（256-6×37）-11×[37-（256-6×37）]
=256-6×37-11×37+11×256-66×37
=37×（-6-11-66）+256×（1+11）
3、求方程407x-2816y=33的一个整数解，并写出它的通解.
即37×（-83）+256×12=1
上式各项乘以3得37×（-249）+256×36=3
x0=-249
∴原方程的一个整数解是
y0=-36
x=-249+256t
通解为 （t为任意整数）①
y=-36-37t
1、判断不定方程2x+4y=5是否有整数解（ ）.
A、有 B、没有 2、不定式方程ax+by=c有解的条件（ ）.
A、c不为零 B、a，b非负
C、a，b一个为负数 D、a，b公约数为1 3、ax+by=c，其中a，b，c为整数则这个方程为
（ ）.
课堂练习
B
二元一次不定方程
D
5、求方程37x+107y=25的整数解．
解：因为（37，107）=1，且1︱25
107=2×37+33 37=1×33+4 33=4×8+1
所以逆序分解式为 33-4×8=33-（37-1×33） ×8=37×（-8）+33×9=37×（-8）+（107-2×37）×9=107×9+37×（-26）
4、辗转相除法求不定式方程解的原理是（ ）.
大衍求一术
所以方程37x+107y=1有一组整数解为 ， 原方程的所有整数解为 ， t为任意整数.
6、一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3．小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21，则小明摸出的球中红球个数最多为几个？
解：设红、黄、蓝球各摸出x、y、z个，则
(1)
(2)
（2）-（1）消去x得y+2z=11 （3）
（3）的通解为 ,t为任意整数
所以x=10-y-z=4-k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5．
所以小明摸出的球中红球个数最多为4个．
7、求不定式方程4x+5y=1的通解.
解：
因为（4，5）=1,
所以不定式方程4x+5y=1有解
观察得
所以通解为
解:首先求不定方程71x+12y=2004的整数解. 因为(71,12)=1,且1|2004, 所以不定方程有整数解. 对71,12用辗转相除法, 得71=12×5+11,12=11×1+1. 因此q1=5,q2=1.再由递推关系式计算得
k2=(-1) ×1+0=-1. 那么 x0=(-1) ×2004=-2004,
,
再见
知识回顾
对满足 其中a为正整数， a
对n，a用带余除法： n=aq2+r2，记k2=-q2k1； 对a，r2用带余除法： a=r2q3+r3，记k3=k1-q3k2；对r3，r2用带余除法：r2=r3q4+r4，记k4=k2-q4k3； 重复直到rn=1，最后的kn=kn-2-qnkn-1，
回顾一下前面学过的大衍求一术
导入新课
前面已经学过了二元一次不定方程. ax+by=c,其中（a，b）=1.并知道了它的一个特解的表示x=x0，y=y0 .通解的表示
x=x0+bt，
y=y0+bt t为任意整数.
在上一讲中我们求不定方程的一个特解和通解的时候，都是通过观察法得到的一个特解，但是在生活中遇到的问题并不是总是这么简单容易看出来的，相反很多情况下，不定方程是很复杂的,但是又要求结果.
你能求出546x+134y=7的一个特解吗？
思考
学习一种求二元一次不定方程特解的方法——辗转相除法.
第三讲 一次不定方程
第二节 二元一次不定方程的特解
教学目标
知识与能力
1、掌握用辗转相除法计算二元一次不定方程的一个特解.
2、理解辗转相除法求二元一次不定方程一个特解的证明过程.
过程与方法
情感态度与价值观
1、通过讨论法介绍学习辗转相除法的必要性.
2、通过实例解析让学生更透彻的理解辗转相除法.
培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
教学重难点
重点
会用辗转相除法计算二元一次不定方程的一个特解.
难点
辗转相除法求二元一次不定方程的一个特解的推导过程.
在求二元一次不定方程ax+by=c,且(a,b)=1的一个特解时，很多情况不能用观察法、或穷举法求出不定方程的特解，现在我们就学习一种新的方法——辗转相除法. 辗转相除法推导过程： 对二元一次不定方程ax+by=c,且(a,b)=1. 情况一：当b=1时，容易得到不定方程ax+by=c,的一个特解x0=1，y0=c-a.
讨论
讨论
情况二、当b>1时，用辗转相除法 a=bq1+r1， b=r1q2+r2， r2=r3q4+r4， ………… rn-2=rn-1qn+rn（rn=1）. 规定k0=0，k1=1.
讨论
然后由递推关系式ki=ki-2-qiki-1（i=2，…，n）.依次计算出k2，…，kn.根据大衍求一术的算法原理知,ri≡aki（modb），于是b︱ri-aki . 当i=n时，b ︱1-akn .得到通解
应用一
例一、求二元一次不定方程11x+61y=3
的通解.
解析：
因为（11，61）=1，且1︱3，
所以 不定方程有解.
由 11=61×0+11
61=11×5+6
11=6×1+5
6=5×1+1
因此 q2=5，q3=1，q4=1.再由递推关系式依次计算得： k2=-5×1+0= -5
k3=-1×（-5）+1 =6
k4=-1 ×(6)+(-5)=-11
x0=-33，
y0=6， 通解： x=-33+61t
y=6-11t
应用二
例一、求二元一次不定方程13x+37y=4
的一个特解.
解析：
因为（13，37）=1，且1︱4，
所以 不定方程有解.
由 13=37×0+13
37=13×2+11
13=11×1+2
11=2×5+1
因此 q2=2，q3=1，q4=5. 再由递推关系式依次计算得：
k2=-2×1+0= -2
k3=-1×（-2）+1 =3
k4=-5 ×(3)+(-2)=-17
x0=-68，
y0=24，
课堂小结
一、二元一次不定方程ax+by=c有解条件:
（a,b）=1 二、二元一次不定方程求解方法：
辗转相除法. 三、辗转相除法原理：大衍求一术.
针对性练习
1、求方程63x+8y=－23的整数解．
解：（1）63=8×7+7．
（2）8=7×1+1
（3）重复第二步，直到余数为1为此．
（4）逆序写出1的分解式．
1=8－7×1=8－（63－8×7）×1
=8－63+8×7=8×8－63
（5）写出原方程的特解和通解．
所以方程63x+8y=1有一组特解 ，
方程63x+8y=－23有一组特解 ，
所以原方程的所有整数解为
2、求方程12x+8y=100的所有整数解．
解：原方程可化为3x+2y=25 ①
①的一组解为 所以①的所有整数解为
解：将方程化简为 37x-256y=3 即37x+256（-y）=3
∵256=6×37+34 37=1×34+3 34=11×3+1
∴1=34-11×3
=（256-6×37）-11×[37-（256-6×37）]
=256-6×37-11×37+11×256-66×37
=37×（-6-11-66）+256×（1+11）
3、求方程407x-2816y=33的一个整数解，并写出它的通解.
即37×（-83）+256×12=1
上式各项乘以3得37×（-249）+256×36=3
x0=-249
∴原方程的一个整数解是
y0=-36
x=-249+256t
通解为 （t为任意整数）①
y=-36-37t
1、判断不定方程2x+4y=5是否有整数解（ ）.
A、有 B、没有 2、不定式方程ax+by=c有解的条件（ ）.
A、c不为零 B、a，b非负
C、a，b一个为负数 D、a，b公约数为1 3、ax+by=c，其中a，b，c为整数则这个方程为
（ ）.
课堂练习
B
二元一次不定方程
D
5、求方程37x+107y=25的整数解．
解：因为（37，107）=1，且1︱25
107=2×37+33 37=1×33+4 33=4×8+1
所以逆序分解式为 33-4×8=33-（37-1×33） ×8=37×（-8）+33×9=37×（-8）+（107-2×37）×9=107×9+37×（-26）
4、辗转相除法求不定式方程解的原理是（ ）.
大衍求一术
所以方程37x+107y=1有一组整数解为 ， 原方程的所有整数解为 ， t为任意整数.
6、一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3．小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21，则小明摸出的球中红球个数最多为几个？
解：设红、黄、蓝球各摸出x、y、z个，则
(1)
(2)
（2）-（1）消去x得y+2z=11 （3）
（3）的通解为 ,t为任意整数
所以x=10-y-z=4-k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5．
所以小明摸出的球中红球个数最多为4个．
7、求不定式方程4x+5y=1的通解.
解：
因为（4，5）=1,
所以不定式方程4x+5y=1有解
观察得
所以通解为
解:首先求不定方程71x+12y=2004的整数解. 因为(71,12)=1,且1|2004, 所以不定方程有整数解. 对71,12用辗转相除法, 得71=12×5+11,12=11×1+1. 因此q1=5,q2=1.再由递推关系式计算得
k2=(-1) ×1+0=-1. 那么 x0=(-1) ×2004=-2004,
,
再见