人教版高中数学选修4-6 第一讲 整数的整除 （二）最大公因数与最小公倍数 上课课件(共32张PPT)

(共32张PPT)

知识回顾
12的因数
18的因数


12和18的公因数
12和18的最大公因数是：_____
1、
3、 9
6


2
4
3
6
12
1
2
3
6
18
1


列举法、短除法求最大公因数，想起来了吗?
125与150的最大公因数是什么?
125 150


5
25
30


5
5
6
得到最大公因数是25

导入新课
初中我们已经学习了求公因数的方法列举法、短除法.

想一想列举法和短除法是否适用于所有情况？
1、列举5个可以被3整除的数 .
2、列举5个可以被4整除的数 .
3
6
9
12
15
4
8
12
14
18
通过观察我们发现可以同时整除3、4的数是12，也就是说12是3和4共同的倍数即公倍数.
想一想是否3和4是否还有其它的公倍数，它们的最小公倍数是什么？

用长4厘米、宽3厘米的长方形，照下图的样子拼成正方形.拼成正方形的边长最小是多少厘米？
……






……
……
……






分析：正方形的边长既是3的倍数，又是4的倍数，边长要最小.
思考
第一讲整数的整除
第二节 最大公因数与最小公倍数

教学目标
知识与能力
1.掌握最大公因数的概念及性质，特别是两个整数互素的有关性质.
2.掌握最小公倍数和最大公因数的关系，并能利用这些关系求最小公倍数.
3.能够准确熟练求最大公因数，并将其表示为原整数的倍数和，掌握辗转相除法.
过程与方法
1.通过复习以前的知识，引导学生自己思考求最大公因数的必要性.
2.列举生活实例引出最大公因数与最小公倍数在生活中的应用，引发学生学习的兴趣并让学生自由讨论它们之间的关系及求它们的方法.
3.实例解析，总结概念使学生对最大公约数及最小公倍数有深刻的理解和认识.
情感态度与价值观
3.能应用最大公因数解决现实生活中的相关问题，学以致用.
1.了解最大公因数与最小公倍数的不同与使用时机.
2.能运用最大公因数与最小公倍数来解题.

教学重难点
1.掌握最大公因数性质、求法.
2.理解互素、素数的简单性质.
2.最大公因数与最小公倍数的意义及找法 .
重点
难点
1.整除、最大公因数性质、互素有关的证明.









找出 12 的因数

找出 18 的因数
12 = 1 × 12
= 2 × 6
= 3 × 4
18 = 1 × 18
= 2 × 9
= 3 × 6
12 的因数︰
18 的因数︰
1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18
同时是 12 和 18 的因数︰
1,
2,
3,
6


1、2、3 、 6 是 12 和 18 的公有的因数，也就是它们的公因数,其中最大的一个数是 6，叫做12 和 18 的最大公因数.


分析

最小公倍数定义
最大公因数定义
给定两个整数a，b，必要公共的因数，叫做它们的公因数.当a，b不全为零时，在有限个公因数中最大的一个叫做a，b的最大公因数，记作（a，b）.如果a，b的最大公因数为1，那么称a，b是互素的.
1、2、4
1、2、3、4、6、12
1、2、3、6
如果两个数是倍数关系时,较小数是这两个数的最大公因数.
由以上可知，4和12的最大公约数为4，3和6的最大公因数为6.
4的公因数 .
12的公因数 .
3的公因数 .
1、3
6的公因数 .

小结

实例分析
5的因数： .
7的因数： .
5和7的最大公因数是： .
1、5
1、7
1
两个不相等的素数,最大的公因数是1.
小结
由以上可知，5和7的最大公约数为1，且5和7为不相等的素数.


实例分析
8和9的最大公因数是： .
1
相邻两个自然数(0除外)的最大公因数是1.
8的因数有: .
9的因数有: .
1、8、
2、4
1、9、
3
8和9的公因数只有： .
1
由以上可知，8和9的最大公约数为1，且8和9为相邻的自然数.

小结

实例分析

想一想求很大的数如1027、5864的最大公因数怎么求
思考
对于大数列举法、短除法已经不适应了，这时就用到辗转相除法.

如果 a=bq+r（r≠0），
那么（a，b）=（b，r）


探究
关于最大公因数的性质
1、设整数a，b不同时为零，则存在一对整数m，n使得（a，b）=am+bm.
2、若a︱bc，且（a，b）=1，则a︱c.
3、设p为素数，若p︱ab，则p︱a，或p︱b.



横着看，每行（ ）个，共有（ ）个.每份数是（ ）.
竖着看，每列（ ）个，有（ ）列，共有（ ）个.每份数是（ ）.
15是3的倍数，也是5的倍数，是3和4的公倍数.
3
5
15
3
5
15
5

最小公倍数定义
任意的非零整数a，b，一定存在一个整数，它同时为a，b的倍数，这个倍数叫做a，b的公倍数，最小的正公倍数叫做a，b的最小公倍数，记作[a,b]

探究
(8，24) = .

(a,b)[a,b]=︱ab︱
8
[8，24] = .
8×24 = .
192
24
(2，14) = .
2
[2，14] = .
2×14 = .
28
14
想一想（a，b）[a,b]和ab有什么关系

课堂小结
1、如果两个数是倍数关系时,较小数是这两个数的最大公因数.
2、两个不相等的质数,最大的公因数是1.
3、相邻两个自然数(0除外)的最大公因数是1.
公因数性质

4、设整数a，b不同时为零，则存在一对整数m，n使得（a，b）=am+bm.
5、若a︱bc，且（a，b）=1，则a︱c.
6、设p为素数，若p︱ab，则p︱a，或p︱b.
最大公因数的求法

1、列举法、短除法、辗转相除法.
2、辗转相除法原理
如果 a=bq+r（r≠0），
那么（a，b）=（b，r）
最小公倍数的求法

(a,b)[a,b]=︱ab︱


针对性练习
1、已知

与其各项二项式系数的和之比为64,则n等于（ ）.
展开式中，各项系数的和
B.5
A. 4
D.7
C.6
C
认真想想吆.
知 d?22n?1，设 2k|n 并且2k+1不整除n，由
2k +1||
2、设n是正整数，求
的最大公约数。
解析： 设
得d = 2k + 1.
3、 设a，b，c?N，c无平方因子，a2?b2c，
证明：a?b.
设(a, b) = d，则a = da1，b = db1，(a1, b1) = 1，由a2?b2c得a12?b12c，a12?c，因为c无平方因子，所以a1 = 1，a = d，b = ab1，即a?b.
证明:

课堂练习
1、如果a=b-1（a、b为自然数），a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）
1
a(b-1)
2、甲、乙两数的最大公因数是12，最小公倍数是180，甲数是60，乙数是（ ）
36
3、有四个正因数的最小整数（ ）
B.12
A.5
C
D.6
C.4
4、若(a ,126 ) ＝ 18，[a , 126]＝378，a ＝ （ ）
B.62
A.54
D.126
C.378
A

5、两列客车，A车每45分钟发车一次，B车每60分钟发车一次，两辆客车由上午6点发车，下一次同时发车是什么时候？
解：
180÷60＝3（时）
6＋3＝9
45 60


15
3
4
15×3×4＝180
〔45，60〕＝180
答:上午9时

6、小明3天去一次图书馆，小刚4天去一次图书馆，小花6天去一次图书馆，6月1日一起去图书馆，则下次几月几日一起去图书馆？
解：

〔3，4，6〕＝12
答 : 6月13日


3 4 6
3 2 3
2


3
1 2 1
2×3×2＝12
12+1 ＝13
7、有一块长6公分，宽4公分的长布，将它剪成最大的正方形布而不浪费，此正方形布边长是几公分？
解：
6 4


2
3 2
(6，4) ＝2
答 : 2公分
6÷2 ＝3（长可剪成3个）
4÷2 ＝2（宽可剪成2个）






再见