人教版高中数学选修4-6 第一讲 整数的整除（三）算术基本定理 上课课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
知识回顾
在前面的章节中我们已经学习了素数的概念，并知道了大于1的整数可以表示成一些素因数的乘积.
12=2×2×3
60=2×2×3×5

回忆起来了吗
导入新课

自己举几个例子试一试整数分解成素因数的乘积时分解式是否是唯一的.


回忆判别素数的方法——埃拉托斯特尼筛法.
列举1—20之间所以的素数.
2、3、5、7
11、13、17、19

若有很大的整数，将它表示成素因数的乘积时是否要写成一个很长的式子？有没有其它的办法？
第一讲整数的整除
第三节 算术基本定理
教学目标
1.理解算术基本定理的概念.














知识与能力
2.掌握素数分解式的唯一性.
3.能够熟练运用素因数分解式求最大公约数与最小公倍数.
过程与方法














1.通过以前学过的知识引出素因数分解式的概念.
2.通过实例分析，让学生掌握用素因数分解式找最大公因数与最小公倍数的方法.
3.练习巩固，以求熟练的掌握素因数分解式的应用.
情感态度与价值观














1.培养学生的数学情感，激发学生学习数学的热情.
2.能运用学过数学的知识解决现实生活中遇到的问题.
3.培养学生学以致用，乐于实践的精神.
教学重难点
重点
1.算术基本定理.
2.素因数分解式的运用.
难点
算术基本定理的证明.
我们已经知道，任何大于1的整数总可以表示成一些素因数的乘积.
24 = 2×2×2×3
34 = 2×17

在不考虑因数性质的情况下，我们发现整数分解的素因式是唯一的.
算术基本定理

任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式，并且，如果不计分解式中素因数的次序，这种分解式是惟一的.
在分解素因数分解式时式子中经常有相同的素因数，而且分解的式子会很长.
实例
25920 = 2×2×2×2×2×2×3×3×3×3×5
类似于上面的分解的素因数分解式比较繁琐.为了便于书写我们将相同的几个素因数的乘积写成幂的形式.
25920 = 26×34×51

实例
例一
2）由求出的素因数分解式，求（ 51480 ，22345680 ）以及
[51480 ，22345680 ]
1）试将51480，22345680进行素因数分解

解析
= 2×25740 = 22×12870 = 23×6435
= 23×5×1287= 23×5×3×429
= 23×5×32×143
= 23×32×5×11×13
22345680 =
51480
求解过程如上，求得
24×3×5×7×47×283
1）
解：
2）

解析
51480
= 23×32×5×11×13
22345680
= 24×3×5×7×47×283
51480
= 23×32×5×70×11×13×470×2830
22345680
= 24×3×5×7×110×130×47×283

（ 51480 ，22345680 ）
= 23×3×5×70×110×130×470×2830
= 120

最小公倍数为每个素因数的幂指数为其中的最大者.
[51480 ，22345680 ]

解析
= 24×32×5×7×11×13×47×283
= 9586296720
最大公因数为每个素因数的幂指数为其中的最小者.


练习
将6936，1200进行素因数分解，并有素因数分解式，求（6936，1200），[6936，1200]
= 2×3468 = 22×1734 = 23×867 = 23×3×289= 23×3×172

解析
6936
= 2×600 = 22×300 = 23×150 = 24×75= 24×3×25=24×3×52
1200

6936
1200
= 23×3×50×172
= 24×3×52×170
解：
（6936，1200）

解析
[6936，1200]
= 23×3×50×170
= 24
= 24×3×52×172
= 346800
课堂小结
任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式，并且，如果不计分解式中素因数的次序，这种分解式是惟一的.
算术基本定理
素因数分解式中相同的素因数的乘积写成幂的形式.
用素因数分解式求最大公约数和最小公倍数.
最小公倍数为每个素因数的幂指数为其中的最大者.
最大公因数为每个素因数的幂指数为其中的最小者.
针对性练习
1、若
的二项展开式中
的系数为
，则
（ ）（用数字作答）
2
2、如果
的展开式中含有非零常数
的最小值为（　　）
项，则正整数
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
B
3、已知数列
的前
项和 ，
第
项满足
，则
A．9 B．8 C．7 D．6
（ ）
B
课堂练习
1、整数的素因数分解式是（ ）
唯一
2、26的素因数分解式是（ ）
A.4×8
3、32的素因数分解式是（ ）
B.2×16
C.25
D.1×32
C
2×13
A.4
4、素因数有多少个（ ）
B.20
C.一个
D.无数
D
5、
2）由求出的素因数分解式，求（ 360 ，76 ）以及 [360 ，72 ]
1）试将360，76进行素因数分解,要求写成幂的形式.
= 23×32×5
360
= 22×19
76
解：
（360，76）
[360，72]
= 4
= 6840
1）
2）

素因数分解式的求解过程掌握了吗
i = 1, 2, ?, n，令? = max{?1, ?2, ?,?n} = ?k，显然? ? 1，且由第一节例5知使? = ?k的k（1 ? k ? n）是唯一的，取T = 2? ? 1?1?2??n，若S是整数，则ST =

（n ? 2）不是整数
6、证明：
证明： 写i =
项外都是整数，矛盾.
7、证明：在1, 2, ?, 2n中任取n ? 1数，其中至少有一个能被另一个整除.
证明：写i =
i = 1, 2, ?, 2n，则?i为1, 2, ?, 2n中的奇数，即?i只能取n个数值，在n ? 1个这样的数中，必存在?i = ?j（i ? j），于是易知i与j成倍数关系.
再见