沪科版七下数学8.4 因式分解和利用提公因式法因式分解 教学课件（27张PPT）

(共27张PPT)
8.4 因式分解
因式分解的意义　
第8章 整式的乘法与因式分解
1
课堂讲解
因式分解及其定义和公因式
用提公因式法因式分解
2
课时流程
作业提升
逐点
导讲练
课堂小结
在小学时我们学过怎样把一个整数转化为几个整数的积.在代数中，我们也常常需要把一个多项式转化为几个整式的积.
1
知识点
因式分解及其定义和公因式
在小学，我们学过整数的因数分解，例如，
6＝2×3，30＝2×3×5.
类似地，在整式中，也可以把一个多项式化成几个因式乘积的形式，例如，
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2，
a2－b2＝(a＋b)(a－b)，na＋nb＋nc＝n(a＋b＋c).
像这样，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解(factorization)，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因
式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

要点精析：
(1)因式分解研究的对象是多项式，结果是整式的积．
(2)因式分解是等式变形，形式改变但值不改变．
(3)因式分解必须分解到每个多项式的因式不能分解为止．
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A．a2＋1＝　　　　　
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
例1
D
紧扣因式分解的定义进行判断，因为 不是整式，
所以a2＋1＝ 不是因式分解，故A错误；
因为(x＋1)(x－1)＝x2－1不是和差化积，
因此不是因式分解，而是整式乘法，B错误；
因为a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1结果不是积的形式，
因此不是因式分解，C错误；
导引：
x2y＋xy2＝xy(x＋y)符合因式分解的概念，因此是因
式分解，D正确．
因式分解的结果应该是整式的积，否则就不是因式分解．
1　 (中考·海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是(　　)
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
B
2　下列等式从左到右的变形是因式分解的是(　　)
A．6a2b2＝3ab·2ab
B． a－ ay＝ a(1－y)
C．2x2＋8x－1＝2x(x＋4)－1
D．(x＋1)(x－1)＝x2－1
B
2
知识点
用提公因式法因式分解
下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？
(1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c) ；
(2)(a－7)2＝a2－14a＋49，
a2－14a＋49＝(a－7)2；
(3)(x＋3)(x－3)＝x2－9，
x2－9＝ (x＋3)(x－3).
整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式 整式乘积．
计算下列各式：
(1)(a＋b)(a－b)＝________；(2)(a＋b)2＝___________；
(3)8y(y＋1)＝________；(4)a(x＋y＋1)＝__________；
例2
a2－b2　
a2＋2ab＋b2
8y2＋8y　
ax＋ay＋a
根据上面的算式将下列多项式进行因式分解：
(5)ax＋ay＋a； (6)a2－b2；

(7)a2＋2ab＋b2； (8)8y2＋8y.
(5)ax＋ay＋a＝a(x＋y＋1)．
(6)a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(7)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
(8)8y2＋8y＝8y(y＋1)．
若42x2－31x＋2能分解成两个因式的乘积且有一个因式为6x－4，设另一个因式为mx－n，其中m，n为常数．请你求m，n的值．
例3
(6x－4)(mx－n)＝6mx2－4mx－6nx＋4n
＝6mx2－(4m＋6n)x＋4n，
由题意可得42x2－31x＋2＝6mx2－(4m＋6n)x＋4n，
解：
1　因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解为____________．
2　(中考·株洲)把多项式x2＋mx＋因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝________，n＝________.
(a－2)2
6
1
3　一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么这个多项式是(　　)
A．b6－4　　 B．4－b6　　
C．b6＋4　　 D．－b6－4
B
4　(中考·常德)下列因式分解正确的是(　　)
A．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
B．(x2－4)x＝x3－4x
C．ax＋bx＝(a＋b)x
D．m2－2mn＋n2＝(m＋n)2
C
5　(中考·甘肃)已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，则b，c的值为(　　)
A．b＝3，c＝－1
B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝－4
D．b＝－4，c＝－6
D
1. 因式分解与整式乘法是一个互逆过程，即：
几个整式相乘 一个多项式
2. 因式分解必须做到两点：
(1)结果必须是因式的积的形式；
(2)每个因式是整式且不能再分解．
对应习题