沪科版七下数学8.4提公因式法 教学课件（33张PPT）

(共33张PPT)
8.4 因式分解
提公因式法
第8章 整式的乘法与因式分解
1
课堂讲解
公因式互为相反数的多项式的变形
公因式互为相反数的因式分解
2
课时流程
作业提升
逐点
导讲练
课堂小结
由于教学需要，某中学决定购
买 m台电脑和 m套桌椅，现在知道
每台电脑价是a元，每套桌椅的单
价是b元，那么怎样表示该中学购
买电脑和桌椅共需要的资金呢？格格说：“m 台电脑的总价是ma元，m套桌椅的总价是mb元，所以共需要(ma＋mb)元．”点点却说：“购买一台电脑和一套
桌椅需要(a＋b)元，所以m台电脑和m套桌椅共需要的资金为m(a＋b)元.”同学们，你们觉得格格和点点算出的资金总额一样吗？
1
知识点
公因式互为相反数的多项式的变形
由m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，可得
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
我们来分析一下ma＋mb＋mc的特点：它的每一项都含有一个相同因式m，m叫做各项的公因式(common factor) .
公因式的定义：多项式中各项都含有的相同因式， 叫做各项的公因式．
要点精析：
(1)公因式必须是多项式中每一项都含有的因式．
(2)某个或某些项中含有而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分．
指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y； (2) xy3－ x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
例1
(1)3中系数3，－3，6的最大公因数为3，所以公因式的系数为3，有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式为3y.
(2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是27，分子的最大公因数是4，所以公因式的系数是 ；两项都有x，y，且x的最低次
解：
是1，y的最低次数是2，所以公因式是
(3)观察发现三项都含有(x－y)这个因式，且(x－y)的最低次数是2，所以公因式是(x－y)2.
(4)此多项式的第一项前面是“－”号，应将“－”号提取变为－(27a2b3－36a3b2－9a2b)，多项式27a2b3－36a3b2－9a2b各项系数的最大公因数是
9，且a的最低次数为2，b的最低次数是1，所以 这个多项式各项的公因式为－9a2b.
找准公因式要“五看”，即：一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项的系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的；四看整体：
如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项是“－”号，则公因式符号为负．
1　多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是(　　)
A．8xy B．2xy
C．4xy D．2y
2　式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是(　　)
A．5ab(b－a) B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a) D．以上均不正确
C
B
3　(中考·临沂)多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是(　　)
A．x－1 B．x＋1
C．x2－1 D．(x－1)2
A
2
知识点
公因式互为相反数的因式分解
1．提公因式法
如果一个多项式的各项有公因式，那么可把该公因式提到括号外面分解成两个因式的积，这种因式分解的方法叫做提公因式法．
用字母表示：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
要点精析：
(1)提公因式法实质上是逆用乘法的分配律．
(2)提取公因式就是把一个多项式分解成两个因式积
的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一
个因式是多项式除以这个公因式的商．
(3)提公因式法的一般步骤：第一步找出公因式；
第二步确定另一个因式；第三步写成积的形式．

2．易错警示：
(1) 找底数互为相反数的幂的公因式时符号出错；
(2) 提取公因式后，漏掉另一个因式中商是1的项；
(3) 提取公因式后，多项式中各项还含有公因式．
例2
判断下面用提公因式法分解因式是否正确，并说
明理由．若不正确，则写出正确的式子．
(1)3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)；
(2)4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；
(3)x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]．
(1)中括号内的多项式还有公因式，没有分解完；
(2)中漏掉了提公因式后商是“1”的项；
(3)中(a－b)3与(b－a)3是不同的，符号相反，另外中括号内没有化简．
导引：
(1)不正确．理由：公因式没有提完全，正确的是：
3x2y－9xy2＝3xy(x－3y)．
(2)不正确．理由：提取公因式后剩下的因式应有常
数项“1”，正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．
解：
(3)不正确．理由：(a－b)3与(b－a)3不一样，应先统
一，且因式是多项式时要最简，正确的是：
x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝x(a－b)3(a＋b)＋(a－b)3y
＝(a－b)3[x(a＋b)＋y]＝(a－b)3(ax＋bx＋y)．
提公因式法分解因式，要注意分解彻底；当某项
恰好是公因式时，提取公因式后要用“1”把守；出现
形如(b－a)3、(b－a)2等形式的问题，可化成－(a－b)3、
(a－b)2的形式，即指数是奇数时要改变符号，指数是
偶数时不改变符号，简言之：奇变偶不变．
(1) 4m2－8mn
＝4m·m－4m·2n
＝4m(m－2n).
例3
把下列各式分解因式:
(1)4m2－8mn； (2)3ax2－6axy＋3a.
解：
(2) 3ax2－6axy＋3a
＝3a·x2－3a·2xy＋3a·1
＝3a(x2－2xy＋1).
提取公因式法的一般步骤是：
1. 确定应提取的公因式.
2. 用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式.
3. 把多项式写成这两个因式的积的形式.
提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
(1) 2x(b＋c)－3y(b＋c)
＝(b＋c)(2x－3y).
例4
把下列各式分解因式:
(1)2x(b＋c)－3y(b＋c)； (2)3n(x－2)＋(2－x).
解：
(2) 3n(x－2)＋(2－x)
＝3n(x－2)－(x－2)
＝(x－2)(3n－1).
1　将3a(x－y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是(　　)
A．3a－b B．3(x－y)
C．x－y D．3a＋b
C
2　(中考·邵阳)把2a2－4a因式分解的最终结
果是(　　)
A．2a(a－2) B．2(a2－2a)
C．a(2a－4) D．(a－2)(a＋2)
A
3　如果多项式－ abc＋ ab2－a2bc的一个因式是
－ ab，那么另一个因式是(　　)
A．c－b＋5ac B．c＋b－5ac
C．c－b＋ ac D．c＋b－ ac
A
知识总结
知识方法要点 关键总结 注意事项
公因式 多项式中各项都含有的相同因式(公因式可以是单项式，也可以多项式). 公因式的系数应是各项系数的最大公约数，指数应是相同字母的最小指数.
知识总结
提公因式法 将多项式的公因式提取出来，从而将多项式写成因式乘积的形式，其实质是乘法分配律的逆运用. 多项式首项系数含“－”时，先提“－”；公因式和某项相同时，提取公因式后该项剩余的因式为 1.
提公因式法不仅是一种重要的因式分解的方法，也是把一个多项式进行因式分解时首要考虑的方法，在提公因式时应注意以下两点：
(1)当多项式的首项系数是负数时，这时可以把负号提出，提负号时应注意多项式的各项都要变号．
(2)当一个多项式中既含有系数，又含有字母时，应注意综合考虑多项式的公因式．做到三看：一看系数；二看字母；三看指数．因式分解完成后，剩下的因式必须不能再继续分解.
1. 必做: 完成教材P75练习T1-T3，习题8.4T1