沪科版七下数学8.4因式分解——平方差公式教学课件（26张PPT）

(共26张PPT)
8.4 因式分解
公式法——平方差公式
第8章 整式的乘法与因式分解
1
课堂讲解
利用平方差公式分解因式
平方差公式在因式分解中的应用
2
课时流程
作业提升
逐点
导讲练
课堂小结
一座公园建筑
的示意图如图所示.
环形绿化带的外圆
半径为7.5m，内圆
半径为5.5m，这个
环形绿化带的面积
是多少？怎样计算比较简便？
1
知识点
利用平方差公式分解因式
由平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2可得：
a2－b2＝(a＋b)(a－b).
两个数的平方差，等于两个数的和与这两个数的差的积.
运用这个公式可以把具有平方差形式的多项式分解因式.
1. 乘法公式中的平方差指的是符合两数和与两数差的积条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解，这样在今后的学习中要加以区分，不能混淆．即
2. 用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
把下列各式分解因式：
(1)x2－81； (2)36a2－25b2.
例1
(1) x2－81
＝x2－92
＝(x＋9)(x－9).
解：
(2) 36a2－25b2
＝(6a)2－(5b)2
＝(6a＋5b)(6a－5b).
分解因式：
(1)9a2－4b2；(2)x2y－4y；(3)(a＋1)2－1；
(4)x4－1；(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
例2
对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平方差公式分解因式；对于(2)可先提取公因式，再利用平方差公式分解因式；对于(3)将(a＋1)视为一个整体运用平方差公式分解因式；对于(4)
导引：
分解因式要完全；对于(5)分别将(x＋y＋z)与(x－y＋z)视为整体，运用平方差公式进行分解因式．
(1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)．
(2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)．
(3)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)．
(4)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)．
解：
(5)原式＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－(x－y＋z)]
＝(x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z)
＝2y(2x＋2z)
＝4y(x＋z)．
(1)运用平方差公式分解因式的关键是确定公式中的a
和b，再运用公式进行因式分解；对于有公因式的
多项式需要先提取公因式后再用平方差公式分解 因式，同时分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
(2)注意：运用平方差公式分解因式，最后的结果除了要求不能再分解因式外，还要注意使每个因式最简．

2　下列各式不能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．－x2＋y2 B．x2－(－y)2
C．－m2－n2 D．4m2－ n2
C
3　下列各式中，可用平方差公式分解因式的个数有(　　)
①－a2－b2； ②16x2－9y2；
③(－a)2－(－b)2； ④－121m2＋225n2；
⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
B
2
知识点
平方差公式在因式分解中的应用
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
分解因式：
(1)a4－9a2b2；　　　　(2)m2x4－16m2y4；
(3)2x4－ ； (4)3(m＋n)2－27n2.
例3
解：
(1) a4－9a2b2
＝a2(a2－9b2)
＝a2(a＋3b)(a－3b)．
(2) m2x4－16m2y4
＝m2(x4－16y4)
＝m2(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝m2(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)．
(3)
(4) 3(m＋n)2－27n2
＝3[(m＋n)2－9n2]
＝3(m＋n＋3n)(m＋n－3n)
＝3(m＋4n)(m－2n)．
本题的思路是有公因式的先提公因式，再用平方差公式分解因式，结果一定要分解彻底．
因式分解：x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1)．
例4
先提取公因式(y2－1)，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，对公因式利用平方差公式分解因式．
导引：
x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1)
＝(y2－1)(x2＋2x＋1)
＝(y2－1)(x＋1)2
＝(y＋1)(y－1)(x＋1)2.
解：
本题考查了提公因式法、公式法分解因式，难点在于提取公因式后需要对公因式和剩余项进行二次分解，分解因式一定要彻底．
1　(中考·广东)把x3－9x分解因式，结果正确的是(　　)
A．x(x2－9) B．x(x－3)2
C．x(x＋3)2 D．x(x＋3)(x－3)
D
2　一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是(　　)
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
A
平方差公式的应用的三种类型：
(1)已知两个数(或式)的和与差，求这两个数(或式)的平方差；
(2)已知两个数(或式)的平方差及这两个数(或式)的和或差，求这两个数(或式)的差或和；
(3)已知两个数(或式)的平方差，确定能被哪两个整数(或式)整除.
1. 必做: 完成教材P76练习T2(2)(4)(6)，
下边练习(1)(2)(4)，
习题8.4T4(2)(4)，T5(1)(2)