沪科版七下数学8.4 因式分解—— 完全平方公式教学课件（26张PPT）

(共26张PPT)
8.4 因式分解
公式法——完全平方公式
第8章 整式的乘法与因式分解
1
课堂讲解
利用完全平方式因式分解
完全平方公式在分解因式中的应用
提公因式法与公式法的综合应用
2
课时流程
作业提升
逐点
导讲练
课堂小结
利用完全平方公式分解因式时，应注意些什么？
先把多项式写成a2＋2ab＋b2，判断符号再分解.
1
知识点
利用完全平方式因式分解
由完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2，可得：
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方．
完全平方式：形如a2±2ab＋b2的式子叫做完全平方式．
即：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍的式子是完全平方式．
要点精析：完全平方式的条件：
(1)多项式是二次三项式．
(2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项 是这两个数(或式子)的积的2倍．
拓展：完全平方式中的a，b可以是一个数、一个式子(一个单项式或一个多项式)
把下列各式分解因式：
(1)x2＋14x＋49； (2)9a2－30ab＋25b2.
例1
(1)x2＋14x＋49
＝x2＋2·x·7＋72
＝(x＋7)2.
解：
(2) 9a2－30ab＋25b2
＝(3a)2－2×3a×5b＋(5b)2
＝(3a－5b)2.
完全平方公式的特点：
(1)公式的左边是三项式，首、尾两项分别是两个数(或式子)的平方，符号相同，中间项是加上(或减去)这两个数(或式子)的积的2倍；
(2)右边是这两个数(或式子)的和(或差)的平方．
1　(中考·龙岩)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋9
D
2　已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于(　　)
A．64 B．48
C．32 D．16
A
2
知识点
完全平方公式在分解因式中的应用
我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫做完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式. 例如:
9x2－6x＋1＝(3x)2－2·(3x)·1＋12＝(3x－1)2.
a2 － 2 a b＋b2＝( a－ b)2
完全平方公式法
两个数的平方和加上(或减去)这两个数积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
要点精析：
(1)完全平方公式的结构：等式的左边是一个完全平方式，右边是这两个数和(或差)的平方．
(2)是整式乘法中的完全平方公式的逆用，在整式乘法中能写成两个数的和(或差)的平方，结果一定是完全平方式，而在因式分解中，每一个完全平方式都能因式分解．
(3)结果是加还是减由乘积项的符号确定，即乘积项的符号可以是“＋”也可以是“－”，而两个平方项的符号相同，否则就不是完全平方式，即也不能用完全平方公式进行因式分解．
(4)用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
分解因式：
(1)a2＋ab＋ b2； (2)－2x3y＋4x2y－2xy；
(3)(a－b)2－6(b－a)＋9；(4)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
例2
导引：
对于(1)可直接运用完全平方公式因式分解；
对于(2)先提取公因式－2xy后，再运用完全平方公式进行因式分解；对于(3)可将(b－a)化为－(a－b)后，再运用完全平方公式进行因式分解；对于(4)可视(x2－2x)为一个整体，再运用完全平方公式进行因式分解．
解：
(1)原式＝a2＋2×a×
(2)原式＝－2xy(x2－2x＋1)＝－2xy(x－1)2.
(3)原式＝(a－b)2＋2(a－b)×3＋32＝(a－b＋3)2.
(4)原式＝(x2－2x)2＋2(x2－2x)×1＋12
＝(x2－2x＋1)2＝[(x－1)2]2
＝(x－1)4.
本题(3)、(4)运用了整体思想分解因式．解题的关键是判断该多项式是否符合完全平方公式的结构特点，若符合公式特点再确定公式中的a、b在本题中所代表的是什么式子，分解因式的结果要分解到每一个因式都不能再分解为止．
1　因式分解4－4a＋a2，正确的结果是(　　)
A．4(1－a)＋a2 B．(2－a)2
C．(2－a)(2＋a) D．(2＋a)2
2　把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是(　　)
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
C
B
分解因式：3ax2＋24axy＋48ay2.
例3
解：
3ax2＋24axy＋48ay2
＝3a(x2＋8xy＋16y2)(提取公因式)
＝3a(x＋4y)2.(用完全平方公式)
3
知识点
提公因式法与公式法的综合应用
因式分解时，要注意综合运用所学的分解方法，常用的分析思路是： (1)提公因式法；(2)公式法．
有时，需要反复利用公式法因式分解，直至每一个因式都不能分解为止．注意综合利用乘法公式，既用到平方差公式又用到完全平方公式．
1　(中考·毕节)下列因式分解正确的是(　　)
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)
B．x2－x＋
C．x2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
B
知识总结
知识方法要点 关键总结 注意事项
平方差公式 a2－b2＝(a＋b)(a－b). 左边是两个数的平方的差；右边是两个数的和与这两个数的差的乘积
知识总结
知识方法要点 关键总结 注意事项
完全平方公式 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2　
a2－2ab＋b2＝(a－b)2 首平方，尾平方，积的二倍加(或减)在中央．
方法规律总结
1. 能提公因式的应先提公因式
2. 能运用公式的再运用平方差、完全平方公式将 多项式分解彻底
3. 分解因式的方法步骤：一提、二套、三查
1. 必做: 完成教材P76练习T1,T2(1)(3)(5)，
下边练习(3)(5)(6)，
习题8.4T4(1)(3)，T5(3)(4)