2020届三轮冲刺 上海高考数学基础知识回顾辅导讲义：第四讲三角比与三角函数（教师版）

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2020上海高考数学基础知识回顾：
第四讲三角比与三角函数



一、任意角与弧度制
★1、任意角：正角：按逆时针方向旋转所成的角；负角：按顺时针方向旋转所成的角。
★2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．
第一象限角： 第二象限角：
第三象限角： 第四象限角：
终边在轴上的角： 终边在轴上的角：
终边在坐标轴上的角的集合为
★3、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度，弧度制与角度制的换算公式：，，．
★4、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．
二、任意角的三角比
★1、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．
★2、三角函数线：，，．

三、三角公式
★1、同角三角比：；
．
★2、诱导公式：，，．
，，．
，，．
，，．
，．
，．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
★3、两角和差：（1）（2）
（3）
★4、二倍角和升降幂：（1）．
（2）
（，）．
（3）．
★★5、辅助角公式：，其中，
四、解斜三角形
★1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
★★2、正弦定理的变形公式：①，，；
②，，；
③；
④．
★★3、三角形面积公式：．
★★4、余弦定理：在中，有，，
．
★★5、余弦定理的推论：，，．
五、三角函数
★1、正弦函数：奇函数，定义域为，值域为，周期为，在递增，在递减；
★2、余弦函数：偶函数，定义域为，值域为，周期为，在递增，在递减；
★3、正切函数：奇函数，定义域为，值域为，周期为，在递增；
★★4、函数（，）：①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，．
★★5、函数到到函数的图象：①向左（右）平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），再将所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变）．②将所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向左（右）平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变）．
反三角函数及最简三角方程
★★1、：奇函数，增函数，定义域为，值域为；

★★2、：非奇非偶函数，减函数，定义域为，值域；

★★3、：奇函数，增函数，定义域，值域

★★4、最简三角方程：①，解集为
②，解集为
③，解集为


一、三角及三角函数有关概念
对角度制与弧度制、三角比以及三角函数的基本定义和公式，主要利用公式代入即可。
【例1】如果一个扇形的圆心角为，半径等于，则扇形的面积为
【难度】★
【答案】
【例2】已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值为
【难度】★
【答案】

【例3】函数的值域是
【难度】★
【答案】

【例4】函数的定义域为
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，设该圆的半径为，则其圆心角所对圆弧长为
【难度】★
【答案】
2．若角的终边经过点，则的值为
【难度】★
【答案】
3．点在第一象限，则在内，的取值范围是
【难度】★★
【答案】

4．函数的定义域为
【难度】★★
【答案】

二、三角恒等变换
在进行三角恒等化简的题型中，常用的方法有：切弦互化、变角、变名、“1”的代入、整体代换等。
【例5】已知，，，则的取值集合为
【难度】★
【答案】

【例6】已知，且，则=___________.
【难度】★
【答案】

【例7】已知，则
【难度】★
【答案】

【例8】如果，是方程的两根，则
【难度】★
【答案】

【巩固训练】
1．已知，，且是第二象限角，则应满足的条件是
【难度】★
【答案】

2．若且，则 .
【难度】★
【答案】

3．若，则的值为
【难度】★
【答案】

4．已知，，且，是方程的两个根，求的值
【难度】★
【答案】

三、三角函数图像及性质
理解三角函数的图像的：单调性、奇偶性、周期性、最值以及对称轴、对称点和图像变换。
【例9】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：）的最大值为
【难度】★
【答案】8

【例10】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是
【难度】★★
【答案】

【例11】函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图像重合，则
【难度】★★
【答案】

【例12】函数的单调递增区间是
【难度】★
【答案】

【巩固训练】
1．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像向左平移 个单位长度
【难度】★★
【答案】

2．设，函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是
【难度】★★
【答案】




3．已知函数的图像如图所示，则
【难度】★★
【答案】

4．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】

四、三角函数的值域或最值
运用升降幂公式、辅助角公式、同角三角比的关系将所求三角函数转化为形如或是二次型、耐克函数型、几何意义等相关的类型来计算。
【例13】已知函数，则函数在上的最小值是
【难度】★★
【答案】

【例14】设当时，函数取得最大值，则
【难度】★★
【答案】

【例15】已知，设，则实数的取值范围是
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．函数的值域为
【难度】★★
【答案】

2．当时，函数的最大值与最小值的和为
【难度】★★
【答案】1

3．已知，则的最大值和最小值分别为
【难度】★★
【答案】

五、解斜三角形
运用正余弦定理来进行边角的互换，注意解三角形中的多解的可能，注意讨论和检验。
【例16】在中，若，则的形状是 三角形
【难度】★★
【答案】钝角

【例17】在中，若，则满足此条件的三角形有 个
【难度】★★
【答案】2

【例18】若的面积为，且，，则
【难度】★★
【答案】或


【巩固训练】
1．在中，若，则的形状是 三角形
【难度】★★
【答案】等腰

2．若满足条件的有两个，则边长的取值范围是
【难度】★★
【答案】

3．在中，，，则角
【难度】★★
【答案】




【例1】集合的子集个数为
【难度】★★
【答案】2

【解析】通过三角函数线（如图），我们可以看出在时，，所以在，与仅有唯一的交点，也就是原点。
【易错点】对于函数与，由于曲线的弯折，很多学生很认为它们会有三个交点，但是如果精确来比较，交点仅有一个。
【变式训练】
1．“”是“”的 条件
【难度】★★
【答案】充要
【例2】如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为
【难度】★★
【答案】
【解析】因为函数的图像关于点中心对称，所以，所以，由此可得
【易错点】在讨论三角函数的对称性时，可以直接利用三角函数在对称轴取到最值，在对称中心取到零点来进行计算，从而跳过利用函数的奇偶性来平移的方法，适当简化计算。

【变式训练】
1．若把函数的图像向右平移个单位长度，使点为其对称中心，则的最小值是
【难度】★★
【答案】

【例3】若函数的图像关于直线对称，则
【难度】★★
【答案】
【解析】（取特殊值）取点及其对称点代入原函数式可得到
【易错点】形如的函数结构和辅助角公式一样，但用辅助角公式计算较为麻烦，容易出错。
【变式训练】
1．设函数图像的一条对称轴方程为，则直线的倾斜角为
【难度】★★
【答案】

【例4】已知，，则角的大小为
【难度】★★
【答案】
【解析】由和角的正切公式得，由差角的正切公式得，通过观察其结构的改变即可求解。
【易错点】在所给方程的变形中，找到其与正切的和差角公式的关系。

【变式训练】
1．若，则
【难度】★★
【答案】

【例5】设为锐角，若，则
【难度】★★
【答案】
【解析】对题中的角度进行整体换元和拆分，即，变成和题中一样的结构即可。
【易错点】在有的三角求值中，配凑角时已知角和目标角之间的关系不容易发现，不利于转化，这时采用整体换元后会简单很多。

【变式训练】
1．已知，则的值为
【难度】★★
【答案】

【例6】设常数使方程在闭区间上恰有三个解，，，则
【难度】★★
【答案】
【解析】原方程可变为，如图，作出函数，的图像，再作直线，从图像可知函数，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，只有当时，直线与函数，的图像有且只有三个交点，，，，所以
【易错点】找到恰有三个公共点的位置是解题的关键，在处理方程你给的根的个数问题时，注意往往是将方程转化为两个函数图像的交点的个数。

【变式训练】
1．方程的解的个数是
【难度】★★
【答案】9

【例7】已知函数，，在上有最小值，无最大值，则
【难度】★★
【答案】
【解析】易知为函数的 半个周期的子区间，且知的图像关于对称，所以，且，，，且，，取取
【易错点】在上有最小值，无最大值，即在上先减后增（不单调），即为函数的半个周期的子区间。

【变式训练】
1．若是正实数，函数在上是增函数，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】

【例8】已知函数的最大值为，最小值为，则
【难度】★★
【答案】2
【解析】，易知函数为奇函数，由函数的奇偶性可知，即
【易错点】将函数解析式进行分解，尽量分离出一个奇函数和常数或者具有单调性的部分。

【变式训练】
1．设函数的最大值为，最小值为，则
【难度】★★
【答案】2

【例9】已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为
【难度】★★
【答案】
【解析】只需要保证区间能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，也就是一个周期长度，因为，则，解得
【易错点】如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，即是锁在区间必须要包含最大值和最小值，也就是一个单调区间即可。

【变式训练】
1．为了使函数在区间上至少出现50次最大值，则的最小值为
【难度】★★
【答案】

【例10】在中，，，若最大边的边长为，则最小边的边长为
【难度】★★
【答案】
【解析】在中，，所以，所以边最大，又因为，所以角最小，为最小边，由得，而，解得
【易错点】在三角形中，大边对大角，小边对小角，以及三角函数的单调性是确定最大边和最小边的关键。

【变式训练】
1．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则最长边的边长等于
【难度】★★
【答案】14






基础知识

题型与方法

易错题型






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