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2020年高中数学必修五第一章解三角形
单元达标测评(A卷)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1.已知，，是海面上的三座岛屿，测得，，从岛屿到岛屿需要分钟，按照同样的速度，从岛屿到岛屿需要（取，）（ ）
A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟
2.在中，内角为钝角，，，，则（ ）
A. B. C. D.
3．已知△中，，则此三角形的最大内角的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．135°
4．设是单位向量，，，,则是（ ）
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
5．若，，与的夹角为，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，，，分别为角，，的对边，若的面积为，且，
则（ ）
A．1 B．
C． D．
7.在中,若=,则角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8．在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，
,则( )
A． B．或 C． D．或
9．在中，角，，所对的边分别为，，.若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
10.锐角中, 为角所对的边,点为的重心,若,则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11．在中，，，，则________
12．在中，内角所对的边分别为，已知，，则______.
13．向量，，则在上的正射影的数量为______．
14．若锐角的面积为，且，，则等于 .
15.在中，内角的对边分别为，已知， ，则的取值范围是__________．
三、解答题
16．在锐角中，角所对的边分别为，已知．
（1）若，求；
（2）设函数，求的取值范围.
17．已知分别为三个内角的对边，且．
（1）求的大小 ；
（2）若的面积为，求的值．
18．在中，三边a,b,c满足：.
⑴探求的最长边；
⑵求的最大角.
19．在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
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2020年高中数学必修五第一章解三角形
单元达标测评(A卷)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1.已知，，是海面上的三座岛屿，测得，，从岛屿到岛屿需要分钟，按照同样的速度，从岛屿到岛屿需要（取，）（ ）
A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟
【答案】B
【解析】设从从岛屿到岛屿速度为，从岛屿到岛屿需要分钟，由正弦定理，得，.故选B.
2.在中，内角为钝角，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】.A
【解析】因为为钝角，，所以由余弦定理得，即，解得（舍去）.故选A.
3．已知△中，，则此三角形的最大内角的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．135°
【答案】C
【解析】
试题分析：由题已知，可运用正弦定理得：，再由余弦定理可得；
， 得 .
考点：运用正弦和余弦定理解三角形．
4．设是单位向量，，，,则是（ ）
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
【答案】B
【解析】
试题分析：因为，，所以是平行四边形，又由于是单位向量，所以，从而是菱形，故选B.
5．若，，与的夹角为，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由向量的数量积可得：
，故选C.
6．在中，，，分别为角，，的对边，若的面积为，且，
则（ ）
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
∵，∴，
即，即，则，
∵，∴，∴，即，
则，故选D．
【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．解答本题时，根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和的正弦公式进行求解即可．
7.在中,若=,则角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【名师点睛】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosC的最小值，根据C为三角形的内角，求出C的最大值．
8．在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，
,则( )
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】
由正弦定理得,或.
【名师点晴】：本题考查的是应用正弦定理解三角形.解决这类题的关键是一方面三角形中的正弦定理对应有两个角，锐角或者是钝角，不能丢掉其中一种情况;另一方面要借助三角形中大边对大角，进行取舍，本题中,又，所以角可以取两种情况，所以或.
9．在中，角，，所对的边分别为，，.若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为 ，又由余弦定理得 所以
解得，所以 故选：A．
10.锐角中, 为角所对的边,点为的重心,若,则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图,连接CG,延长交AB于D,由于G为重心,故D为中点,
∵AG⊥BG,c=1,∴DG= ,由重心的性质得,CD=3DG,即CD= ,由余弦定理得,AC2=AD2+CD2-2AD?CD?cos∠ADC,BC2=BD2+CD2-2BD?CD?cos∠BDC．
∵∠ADC+∠BDC=π,AD=BD,∴AC2+BC2=a2+b2=2AD2+2CD2 = ,则 又因为为锐角三角形,则应该满足 将 代入可得 则 由对勾函数性质可得的取值范围为
故选B
二、填空题
11．在中，，，，则________
【答案】
【分析】由余弦定理求出cosC,再利用同角三角函数的基本关系求出sinC.
【解答】
解:由余弦定理,有,
所以在中,.
故答案为:.
【名师点睛】
本题考查了余弦定理和同角三角函数的基本关系,属基础题.
12．在中，内角所对的边分别为，已知，，则______.
【答案】
【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理即可求解.
【解答】
因为，
由正弦定理可得，即，
因为，
所以，，
由余弦定理可得，．
故答案为：
13．向量，，则在上的正射影的数量为______．
【答案】
【解析】
试题分析：在上的正射影为；
考点：在上投影的定义；
14．若锐角的面积为，且，，则等于 .
【答案】
【解析】
试题分析：，解得为锐角.
解得
15.在中，内角的对边分别为，已知， ，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，
得， ， ，
则，得，
解得，又，aaa
的范围是。
三、解答题
16．在锐角中，角所对的边分别为，已知．
（1）若，求；
（2）设函数，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）用正弦定理化简得，再由余弦定理求得；（2）化简，由于三角形为锐角三角形，所以，由此求得.
试题解析：
(1)；
(2)
……10分
又为锐角三角形，.
考点：解三角形，三角恒等变换.
17．已知分别为三个内角的对边，且．
（1）求的大小 ；
（2）若的面积为，求的值．
【答案】（1），（2）
【解析】
试题分析：（1）由，由正弦定理把边化成角，利用两角和或两角差的公式得，
可得
（2）由三角形的面积公式和余弦定理即可求得的值．
试题解析：（1）∵，∴由正弦定理得，
即，∴
（2）∵，∴，即，
∴
考点：正余弦定理的应用．
【指点迷津】1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角兴中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式．
18．在中，三边a,b,c满足：.
⑴探求的最长边；
⑵求的最大角.
【答案】（1）最大边长为c．（2）C＝120°
【分析】（1）通过已知关系式求出b与a，c与a的关系式，判断c与a的大小，c与b的大小，判定最大边．
（2）通过已知关系式，求出关于C的余弦定理的关系式，然后求出C的大小．
【解答】
解：（1）即，
∴即
由①，
∴a＞3，，
，
所以最大边长为c．
（2）由已知
，等式两边对应相乘得（a+2b）2﹣4c2＝﹣3a2，
∴a2+b2﹣c2+ab＝0，
由余弦定理可知cosC，
∴∠C＝120°
【名师点睛】
本题考查解三角形，判断三条边长的大小关系，余弦定理的应用，考查计算能力．
19．在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）先化切为弦，通分化简可得，即得角的大小；（2）由余弦定理得，再根据基本不等式求最小值，最后根据两边之和大于第三边得，综合可得的取值范围.
试题解析：解：（1）
∴
∴
∴
∴
∵∴
（2）∵
∵
【名师点睛】三角形中最值或范围问题，一般转化为条件最值或范围问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）B=60°；（2）.
【解析】（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，故0°
因此，△ABC面积的取值范围是．
【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.
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