【备战2020】中考数学二轮专题：函数综合复习（等腰）复习学案（上海地区专用）

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备战2020中考数学二轮专题复习学案
函数综合复习（等腰）


函数基础知识点梳理：
反比例函数 一次函数 二次函数
最高次系 数符号
图象
性质 图象经过一、三象限 在每一个象限内，随的增大而减小。 1.图象经过二、四象限 2.在每一象限内，随的增大而增大。 1.图象经过一、三象限 2.随的增大而增大。 1.图象经过二、四象限 2.随的增大而减小。 1.开口向上 2.对称轴：直 3.顶点坐标： 1.开口向下 2.对称轴：直 3.顶点坐标：


二、典型例题

【备注】本部分为2个例题，每题讲解时间大概为8分钟左右，讲解过程中注意边讲边练
例1.在直角坐标系中，把点（a为常数）向右平移4个单位得到点，经过点、的抛物线与轴的交点的纵坐标为2。（★★★★）
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为点P，点B的坐标为，且，若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：，，；
2.二次函数的图形经过，，三点；
二.求二次函数的解析式：将，，三点代入函数解析式，解方程组可得。
三.当△ABP是等腰三角形时，求点B的坐标：
1.点坐标表示表示为，；
2.分三个情况讨论：AP=P 、BAP=AB 、PB=AB ；
3.用两点间距离公司结算求解。
【满分解答】
（1）设抛物线的解析式为
点A（－1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到点 （3，a）
∵抛物线与轴的交点的纵坐标为2 ∴
∵ 图像经过点A（－1，a）、（3，a）
∴ 解得
∴
（2）由= 得P(1，3)
∵△ABP是等腰三角形,点B的坐标为,且
（Ⅰ）当AP=PB时，
，即
∴
（Ⅱ）当AP=AB时

解得
不合题意舍去，∴
（Ⅲ）当PB=AB时

解得
∴当或-5或时，△ABP是等腰三角形。
例2.如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是，顶点为点，联结，抛物线的对称轴与x轴相交于点E。
（1）求m的值；
（2）求∠CDE的度数；
（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。（★★★★）

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：，点坐标可求；
2.二次函数经过四点；
二.求m的值：将点坐标代入函数解析式，解方程可得。
三.求∠CDE的度数：过点C作CF⊥DE，垂足为点F ；通过计算可得△CDF是等腰直角三角形，则∠CDE = 45° 。
四.当△PDC是等腰三角形时，求点P的坐标：
1.点的位置：抛物线对称轴的右侧部分；
2.设P（x，y），经过分析，分两个情况讨论：
（ⅰ）如果PD = CD，即得点C和点P关于直线x = 1对称；
（ⅱ）如果PC = PD，由两点间的距离公式，并结合点在抛物线上，列方程中求解。
3.计算求解。
【满分解答】
（1）根据题意，点C（0，3）在抛物线上，
∴1– m = 3．解得 m = –2．
（2）过点C作CF⊥DE，垂足为点F．
∵CF⊥DE，∴∠DFC = 90°．
由m = –2，得抛物线的函数解析式为．
又，
所以，抛物线的顶点坐标为D（1，4）．
又C（0，3），∴ DF = CF = 1．又由∠DFC = 90°，得△CDF是等腰直角
三角形．∴∠CDE = 45°．
（3）存在。设P（x，y）。
根据题意，当△PDC是等腰三角形时，由点P在抛物线对称轴的右侧部
分上，得PC ≠ CD，只有PD = CD或PC = PD两种情况．又抛物线的对
称轴是直线x = 1．
（ⅰ）如果PD = CD，即得点C和点P关于直线x = 1对称，
所以，点P的坐标为（2，3）．
（ⅱ）如果PC = PD，由两点间的距离公式，得
．
即得 ．
又由点P在抛物线上，即得．
解得 ，（不合题意，舍去）．
所以 ．
由，得 ．
所以，点P的坐标为（，）．
综上所述，当点P的坐标为（2，3）或（，）时，
△PDC是等腰三角形。

三、巩固练习：

【备注】本部分为巩固训练，时间为8分钟，学生独立完成后再讲解。
1.如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，∥轴，且。（★★★★）
（1）求的值；
（2）求二次函数的解析式；
（3）如果二次函数的图象与轴交于C、D两点（点C在左恻）．问线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形；如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：，点坐标可求；
2.二次函数经过四点。
二.求的值：利用求解出点坐标后，再直接写出的值。
三.求二次函数的解析式：将两点的坐标代入函数解析式，解方程组。
四.当△POC为等腰三角形时，求点P的坐标：
1.点的位置：线段BC上；
2.分三个情况讨论：
①当时，点
②当时，点
③当时，利用点在直线上，列方程中求解。
3.计算求解。
【满分解答】
（1）AB∥轴，A（-2，m） ∴AB=2
又∵，∴OB=3，∴点B的坐标为（0，-3） ∴m= -3
（2）∵二次函数与轴的交于点，∴c= -3
又∵图象过点A（-2，-3），∴， ∴
∴二次函数解析式为
（3）当时，有 ，解得
由题意得
若△POC为等腰三角形，则有
①当时，点
②当时，点
③当时，设直线BC的函数解析式为
则有，解得
∴直线BC的函数解析式为
设点，由，得
解得（不合题意，舍去）
∴
∴存在点或或，使△POC为等腰三角形。
回顾总结：
函数综合题目考点分析：
求解函数解析式，以二次函数为主；
求解相关点的坐标，二次函数中一般考察求对称轴、顶点坐标；
以函数为背景，考察相似、等腰、相切、平行四边形、面积等相关知识点；该类题型综合性很强，需要及时画图观察。
















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