3.4 基本不等式 同步练习（含答案解析）

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基本不等式
班级：____________ 姓名：__________________
一、选择题
1．已知实数a>0,b>0，若，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．8
2．设是实数，且，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．8
3．已知，，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C．8 D．9
4．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
5．已知，，，则的最小值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．10
6．设正实数满足则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
二、填空题
7．不等式的解集为_______________.
8．已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是 ．
9．若对不等式恒成立，则实数的取值范围是___________________．
10．已知，为正实数，且，则的最小值为________________.
三、填空题
11．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元．设该公司一年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）








12．已知数列的前项和为，其中为常数．
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．


















参考答案
1．D
【解析】实数，
则,当且仅当时取等号.
故本题正确答案是?
点晴：本题考查的是利用均值不等式求最值的问题.解决本题的关键是巧妙利用，所以，把问题转化为关于的最值问题，再用基本不等式得到本题的最值.
2．B
由题，当时取最小值．故选B．
3．C
因为，，且 所以
所以
当且仅当，即时取得等号 所以的最小值为8
故选：C
4．D
（k-2）x2-2kx+k-6=0， ∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，
∴，解得：且k≠2．故选D．
5．B
由，，可得，，则
，当且仅当，即，，取得最小值7．
故选：B．
6．B
，当，即，等号成立.
故选：.
7．
解：原不等式等价于不等式组
解得，所以所求不等式的解集为.
故答案为: .
8．
试题分析：由题意知恒成立，当时，不等式化为，显然恒成立；当时，则，即，综上实数的取值范围是，故答案填.
9．
设，设，
根据双勾函数的性质知：在上单调递增，故
恒成立，即.
故答案为：.
10．
解：，为正实数，且，可知，
，
.
当且仅当时取等号.
的最小值为.
故答案为：.
11．（1）
（2）当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大
【解析】
试题分析：解：（Ｉ）当时，；
当时，．
∴ 年利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式为

（Ⅱ）当时，由，
即年利润在上单增，在上单减
∴ 当时，取得最大值，且（万元）．
当时，，仅当时取“=”
综上可知，当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为万元．
12．（1）证明见解析；（2）.
试题解析：（I）由题设，，．两式相减得，．
由于，所以．
（II）由题设，，，可得，由（I）知，．令，解得．
故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；
是首项为3，公差为4的等差数列，．
所以，．
因此存在，使得为等差数列．





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