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2020年高中数学必修五第一章解三角形
单元达标测评(B卷)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1.在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.在中，角为，边上的高恰为边长的一半，则（ ）
A. B. C. D.
3．在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
4．已知的三个内角所对的边为，面积为，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知离心率为e，焦点为的双曲线C上一点P满足，则双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.在中，、、分别是、、所对边的边长.若，则的值是（ ）.
A. 1 B. C. D. 2
7.如图，一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距，随后货轮按北偏西的方向航行后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
A. B.
C. D.
8.在中，，则此三角形解的情况是( )
A. 一解 B. 两解 C. 一解或两解 D. 无解
9．在中，三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，则的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，内角的对边分别为，且，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
11.在锐角三角形中， 分别是内角的对边，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
12．△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC= _________ ．
为
13.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，（米），并在处测得塔顶的仰角为，则塔高 米.
14.已知△ABC中，AC＝4，BC＝，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，则的值为____．
15．在中，角所对的边分别为，若，，则的面积的最大值为________
三、解答题
16．在中，、、分别是内角、、的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
17.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
18．中， ，.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的面积。
19．在中，、、分别是内角、、的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
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2020年高中数学必修五第一章解三角形
单元达标测评(B卷)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1.在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，，，由正弦定理可得.
由余弦定理，可得.所以或因为，所以，所以.故选A.
2.在中，角为，边上的高恰为边长的一半，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】.A
【解析】作，垂足点在的延长线上，为等腰直角三角形，设，则，，，由勾股定理得，由余弦定理得，故选A.
3．在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】
利用正、余弦定理角化边．化简解出即可．
【解答】
故选A
4．已知的三个内角所对的边为，面积为，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换知识可得，从而得到角A.
【解答】
∵
∴
即
∴
∴
∴，
∴（舍）
∴
故选C
5．已知离心率为e，焦点为的双曲线C上一点P满足，则双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题，根据正弦定理转化成边的比例关系即可求解.
【解答】
由题：因为，，
考虑焦点在轴上，左右焦点，则点一定在左支（除去实轴端点），,
在△中，根据正弦定理，
所以，且，
解得：，
同理可得焦点在轴上离心率同解
故选：D
6.在中，、、分别是、、所对边的边长.若，则的值是（ ）.
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
试题分析：因为，所以，所以
，即
所以，所以，所以，故选B.
考点：三角恒等变换.
7.如图，一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距，随后货轮按北偏西的方向航行后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
由题意可知：，
与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，
，
中利用正弦定理可得
货轮的速度
故选
8.在中，，则此三角形解的情况是( )
A. 一解 B. 两解 C. 一解或两解 D. 无解
【答案】B
由题意知，，，，∴，如图：
∵，∴此三角形的解的情况有2种，故选B．
9．在中，三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，则的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以由正弦定理知，，化简得，
由余弦定理得，，又，所以.
正弦定理，所以.故外接圆面积为.
10．在中，内角的对边分别为，且，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】
利用正弦定理化简，由此求得的值.利用三角形内角和定理和两角和与差的正弦公式化简，由此求得的值，进而求得的值.
【解答】
利用正弦定理化简得，所以为锐角，且.由于，所以由得，化简得.若，则，故.若，则，由余弦定理得，解得.综上所述，，故选B.
11.在锐角三角形中， 分别是内角的对边，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由正弦定理得： ， 为锐角，即，且 为锐角， ,所以，即，
，则的取值范围是，故选A.
二、填空题
12．△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC= _________ ．
【答案】
【解析】
如图
设AC=b，AB=c，CM=MB=，∠MAC=β，
在△ABM中，由正弦定理可得=，
代入数据可得=，解得sin∠AMB=，
故cosβ=cos（﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=，
而在RT△ACM中，cosβ==，
故可得=，化简可得a4﹣4a2b2+4b4=（a2﹣2b2）2=0，
解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=，
故在RT△ABC中，sin∠BAC====，
故答案为
13.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，（米），并在处测得塔顶的仰角为，则塔高 米.
【答案】
【解析】在中，，即
，得，因为是直角三角形，且，所以（米）.
14.已知△ABC中，AC＝4，BC＝，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，则的值为____．
【答案】6
【解析】
设
由余弦定理可得
化为，解得
设，
于
，
解得，
15．在中，角所对的边分别为，若，，则的面积的最大值为________
【答案】
【分析】
利用正弦定理得出的关系，利用余弦定理，同角三角函数基本关系式可求得，利用基本不等式，三角形面积公式即可求解.
【解答】
，，
由正弦定理可得：，
解得.
，
，可得（当且仅当时等号成立），
，
可得，
（当且仅当时等号成立）.
故答案为：.
三、解答题
16．在中，、、分别是内角、、的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】(1) (2)
【分析】
（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由，可求，结合范围，可求．
（2）利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理可得，即可计算得解的周长的值．
【解答】
解：（1）∵，
∴由正弦定理可得：
，
即，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，的面积为，
，
∴，
∴由余弦定理可得：
，
∴解得：，
∴的周长.
17.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
【答案】
【解析】
如图，连接,由题意知,，所以.
又，所以是等边三角形.
所以 .
由题意知，，
在中，由余弦定理，得 ，所以.
因此，乙船速度的大小为.
答：乙船每小时航行.
18．中， ，.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的面积。
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而由正弦定理可得的值；（Ⅱ）在中，利用基本不等式及余弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据余弦定理可求的值，根据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】
（Ⅰ）在中，因为，且，所以
根据正弦定理
代入，解得.
（Ⅱ）在中，因为
根据余弦定理，得到
因为，所以
根据余弦定理和，
得到
所以的面积
19．在中，、、分别是内角、、的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，
∴由正弦定理可得：，
即，
∵，∴，∵，∴．
（2）∵，，的面积为，，
∴，∴由余弦定理可得：，
即，解得：，
∴的周长为.
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