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北师大版第二章相交线与平行线单元测试卷
一．选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：A、C、D中∠1与∠2不是对顶角，B中∠1与∠2互为对顶角．故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角．解题的关键是掌握对顶角概念：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．直线外一点与直线上所有各点连接的线段中，垂线段最短
C．平行于同一条直线的两条直线互相平行
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【解析】在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选：D．
【点睛】本题考查直线的平行于垂直；熟练掌握平行线、垂线的定理性质成立的条件是解题的关键．
3．如图，给出下列说法：①∠B和∠1是同位角；②∠1和∠3是对顶角；③∠2和∠4是内错角；④∠A和∠BCD是同旁内角．其中说法正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】如图所示，①∠B和∠1是同旁内角，故说法错误；
②∠1和∠3不是对顶角，故说法错误；
③∠2和∠4是内错角，故说法正确；④∠A和∠BCD不是同旁内角，故说法错误．故选：B．
【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
4．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠2＝∠3，③∠5+∠6＝180°，④∠1+∠4＝180°，
⑤∠7＝∠2+∠3中能判断直线a∥b的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；②由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠1+∠4＝180°，不能得到a∥b；⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；故能判断直线a∥b的有3个．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
5．如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝120°，则∠3等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【解析】解：如图，∵a∥b，∴∠2+∠4＝180°，
∵∠2＝120°，∴∠4＝60°，
∵∠3＝∠1+∠4，∠1＝50°，∴∠3＝50°+60°＝110°，故选：B．
【点睛】本题考查平行线性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．如图1，∠DEF＝20°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿折痕为BF折叠成图3，则∠CFE的度数为（ ）
A．100° B．120° C．140° D．160°
【解析】解：∵矩形对边AD∥BC，
∴CF∥DE，∴图1中，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣20°＝160°，
∵矩形对边AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝20°，∴图2中，∠BFC＝160°﹣20°＝140°，
由翻折的性质得，图3中∠CFE+∠BFE＝∠BFC，∴图3中，∠CFE+20°＝140°，
∴图3中，∠CFE＝120°，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．如图，木工师傅用角尺画平行线的依据是 _______________________．
【解析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行．
8．如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，沿线段 搭建最短，理由是 ．
【解析】解：∵PM⊥MN，∴由垂线段最短可知PM是最短的，
故答案为：PM，垂线段最短．
9．如图，在同一平面内，直线l1∥l2，将含有60°角的三角尺ABC的直角顶点C放在直线l1上，另一个顶点A恰好落在直线l2上，若∠2＝40°，则∠1的度数是 ．
【解析】解：∵l1∥l2，∴∠CAB+∠1＝90°－∠2．
∵∠CAB＝30°，∠2＝50°，∴∠1＝∠2﹣∠CAB＝50°﹣30°＝20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
10．如图，下列条件中：（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5；（5）∠D＝∠5，能推出AB∥CD的条件是 ____________ ．（填写序号）
【解析】∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD；
∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；
∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，
则正确的序号有：（1）（3）（4）．故答案为：（1）（3）（4）
11．如图，已知AB∥CD，且∠ABE＝36°，∠BEF＝60°，∠FCD＝30°，则∠EFC＝ 度．
【解析】解：作EM∥AB，作FN∥CD，
则∠ABE＝∠BEM，∠FCD＝∠NFC，
∵∠ABE＝36°，∠BEF＝60°，∠FCD＝30°，
∴∠BEM＝36°，∠CFN＝30°，
∴∠MEF＝∠BEF﹣∠BEM＝60°﹣36°＝24°，
又∵AB∥CD，∴EM∥FN，∴∠MEF＝∠EFN，
∴∠EFC＝∠EFN+∠CFN＝24°+30°＝54°，
故答案为：54．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质和数形结合的思想解答．
12．若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数 ____________ ．
【解析】设一个角为x°，则另一个角为(2x－30)°，
若二者相等，则有x＝2x－30，解得x＝30.则这两角分别为30°，30°；
若二者互补，则有x＋2x－30＝180，解得x＝70.则这两角分别为70°，110°.
故这两个角的度数分别为30°，30°或70°，110°.
【点睛】本题要求分类讨论并考虑全面，两个角的两边两两互相平行则两角相等或互补。
三．解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13．如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．
解：将∠2的补角记作∠4，则
∠2+∠4＝180° ；
∵∠2+∠3＝180° ；
∴∠3＝∠4 ；
∵ （已知）
∴∠1＝∠4 ；
∴AB∥DE ．
【解析】解：将∠2的补角记作∠4，则
∠2+∠4＝180° （补角的定义）
∵∠2+∠3＝180° （已知）
∴∠3＝∠4 （同角的补角相等）
∵∠1＝∠3（已知）
∴∠1＝∠4 （等量代换）
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）
【点睛】此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定解答．
14．如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DF∥AC．∠1与∠2相等吗？为什么？
【解析】∠1＝∠2．
理由：∵DE∥BC，∴∠2＝∠DCB，
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠DCE，
∵CD是△ABC的角平分线
∴∠DCB＝∠DCE
∴∠1＝∠2．
【点睛】此题考查平行线的判定与角平分线的性质相结合．
15．两条直线a、b相交，其中2∠3＝3∠1，求∠2的度数．
【解析】解：∵2∠3＝3∠1，∠3＝∠1，
∵∠1与∠3是补角，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝72°，
由补角的性质得∠2＝180°﹣∠1＝108°．
【点睛】本题考查了补角、对顶角，利用了邻补角、对顶角的性质，熟记这些性质是解题的关键．
16．如图，AB∥CD，AC交BD于点O，∠A＝40°，∠D＝45°，求∠1和∠2的度数．
【解析】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠A，
∵∠A＝40°，
∴∠1＝40°，
又∵∠2＝∠D+∠1，∠D＝45°，
∴∠2＝85°，
由上可得，∠1的度数是40°，∠2的度数是85°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质和三角形内角和的关系解答．
17．如图，利用尺规在三角形ABC的边AC上方作∠CAD＝∠ACB，并说明：AD∥CB.(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)
【解析】解：如图所示.
∴∠CAD即为所作.
∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥CB（内错角相等，两直线平行）.
【点睛】本题主要考查尺规作一个角等于已知角.
四．解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝67.5°，OE把∠BOD分成两个角，且∠DOE：∠BOE＝1：2．（1）求∠DOE的度数；（2）若OF平分∠AOE，求证：OA平分∠COF．
【解析】解：（1）设∠DOE＝x，则∠BOE＝2x，
∵∠BOD＝∠AOC＝67.5°，
∴x+2x＝67.5°，解得，x＝22.5°，
∴∠DOE＝22.5°；
（2）∵∠BOE＝2x＝45°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝135°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝67.5°，
∴∠AOF＝∠AOC，∴OA平分∠COF．
【点睛】本题考查的是对顶角、补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、补角之和等于180°是解题的关键．
19．将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB； （2）求∠EFC的度数．
【解析】（1）∵CF平分∠DCE，且∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠ECF，∴CF∥AB；
（2）在△FCE中，
∵∠FCE+∠E+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣∠FCE﹣∠E，＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：内错角相等，两直线平行．解题的关键是熟知三角板的各角度数．
20．科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时有∠ABP＝∠CBE，∠DEB＝∠FEQ．如图2，一束光线m射到平面镜AP上，被平面镜AP反射到平面镜AQ上，又被AQ镜反射，若平面镜AQ反射出的光线n平行于光线m．
（1）当∠1＝50°，求∠2的度数；（2）求∠3的度数．
【解析】解：（1）当∠1＝50°，则∠4＝∠1＝50°，
∴∠6＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵m∥n，∴∠2+∠6＝180°，∴∠2＝100°；
（2）如图，过点A作AB∥m，则AB∥n，
∵m∥n，∴∠2+∠6＝180°，
依题意，得：∠4＝∠1，∠5＝∠7，
∴∠1+∠4+∠5+∠7＝360°﹣180°＝180°，
∴∠1+∠7＝90°，
∵AB∥m，AB∥n，
∴∠1＝∠PAB，∠7＝∠BAQ，
∴∠3＝∠PAQ＝∠PAB+∠QAB＝90°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义的应用，注意：入射角等于反射角．
五．解答题（共2小题，每小题9分，共18分）
21．探究题：
（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明理由吗？
（2）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？并证明；
（3）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？并证明．
【解析】解：（1）如图1，作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴∠B＝∠1，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，∴∠D＝∠2，
∴∠B+∠D＝∠1+∠2，
又∵∠1+∠2＝∠E，∴∠B+∠D＝∠E．
（2）如图2，过E作EF∥AB，
∵EF∥AB，∴∠BEF+∠B＝180°，
∵EF∥CD，∴∠D+∠DEF＝180°，
∵∠BEF+∠DEF＝∠E，∴∠E+∠B+∠D＝180°+180°＝360°．
（3）如图3，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，
∵∠D+∠E＝∠BFD，∴∠D+∠E＝∠B．
【点睛】本题考查构造平行线辅助线的方法．
22．已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．
（1）求出∠AOB及其补角的度数；
（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由；
（3）若∠BOC＝α，∠AOC＝β，则∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
【解析】解：（1）∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝70°+50°＝120°，
其补角为180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
（2）∠DOE与∠AOB互补，理由如下：
∵∠DOC＝∠BOC＝×70°＝35°，
∠COE＝∠AOC＝×50°＝25°．
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝35°+25°＝60°．
∴∠DOE+∠AOB＝60°+70°+70°＝180°，∴∠DOE与∠AOB互补．
（3）∠DOE与∠AOB不互补，理由如下：
∵∠DOC＝∠BOC＝α，∠COE＝∠AOC＝β，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝α+β＝（α+β），
∴∠DOE+∠AOB＝（α+β）+（α+β）＝（α+β），
∴∠DOE与∠AOB不互补．
【点睛】本题考查两角的关系，并通过求解去验证．
六．解答题（共1小题，共12分）
23．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°.（3分）
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α.
∵GK∥AB，AB∥CD，PQ∥AB，
∴GK∥CD∥PQ，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝30°，
∴∠MGK＝∠BMG＝30°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝30°，
∴∠DNP＝∠GND＝α.∴∠BMP＝60°，
∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝60°.
∵PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°.(7分）
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，ET∥AB，∴∠MGK＝∠BMG＝x，∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝y，∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，
∵AB∥CD，∴ET∥CD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，
∵2∠MEN+∠MGN＝105°，∠MGN＝x+y，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，解得x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．（12分）
【点睛】本题考查构造平行线辅助线的方法，同时采用设而不求，渗透方程的思想，综合性较强．
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北师大版第二章相交线与平行线单元测试卷
一．选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．直线外一点与直线上所有各点连接的线段中，垂线段最短
C．平行于同一条直线的两条直线互相平行
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
3．如图，给出下列说法：①∠B和∠1是同位角；②∠1和∠3是对顶角；③∠2和∠4是内错角；④∠A和∠BCD是同旁内角．其中说法正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠2＝∠3，③∠5+∠6＝180°，④∠1+∠4＝180°，
⑤∠7＝∠2+∠3中能判断直线a∥b的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝120°，则∠3等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
第3题 第4题 第5题
6．如图1，∠DEF＝20°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿折痕为BF折叠成图3，则∠CFE的度数为（ ）
A．100° B．120° C．140° D．160°
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．如图，木工师傅用角尺画平行线的依据是 _______________________．
8．如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，沿线段 搭建最短，理由是 ．
9．如图，在同一平面内，直线l1∥l2，将含有60°角的三角尺ABC的直角顶点C放在直线l1上，另一个顶点A恰好落在直线l2上，若∠2＝40°，则∠1的度数是 ．
第7题 第8题 第9题
10．如图，下列条件中：（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5；（5）∠D＝∠5，能推出AB∥CD的条件是 ____________ ．（填写序号）
11．如图，已知AB∥CD，且∠ABE＝36°，∠BEF＝60°，∠FCD＝30°，则∠EFC＝ 度．
第10题 第11题
12．若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数 ____________ ．
三．解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13．如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．
解：将∠2的补角记作∠4，则
∠2+∠4＝180° ；
∵∠2+∠3＝180° ；
∴∠3＝∠4 ；
∵ （已知）
∴∠1＝∠4 ；
∴AB∥DE ．
14．如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DF∥AC．∠1与∠2相等吗？
为什么？
15．两条直线a、b相交，其中2∠3＝3∠1，求∠2的度数．
16．如图，AB∥CD，AC交BD于点O，∠A＝40°，∠D＝45°，求∠1和∠2的度数．
17．如图，利用尺规在三角形ABC的边AC上方作∠CAD＝∠ACB，并说明：AD∥CB.(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)
四．解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝67.5°，OE把∠BOD分成两个角，且∠DOE：∠BOE＝1：2．（1）求∠DOE的度数；（2）若OF平分∠AOE，求证：OA平分∠COF．
19．将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB； （2）求∠EFC的度数．
20．科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时有∠ABP＝∠CBE，∠DEB＝∠FEQ．如图2，一束光线m射到平面镜AP上，被平面镜AP反射到平面镜AQ上，又被AQ镜反射，若平面镜AQ反射出的光线n平行于光线m．
（1）当∠1＝50°，求∠2的度数；（2）求∠3的度数．
五．解答题（共2小题，每小题9分，共18分）
21．探究题：
（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明理由吗？
（2）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？并证明；
（3）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？并证明．
22．已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．
（1）求出∠AOB及其补角的度数；
（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由；
（3）若∠BOC＝α，∠AOC＝β，则∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
六．解答题（共1小题，共12分）
23．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
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