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2020年高中数学必修五第二章数列
单元达标测评(A卷)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设，，是等比数列的前三项，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由，，是等比数列的前三项，求出，进而可求出公比，即可求出结果.
【解答】
因为，，是等比数列的前三项，
所以，
解得，，所以公比，
因此.
故选A
2．已知等差数列中， 为其前项和， （其中为圆周率），，现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，则，所以或时，都有，即，由几何概型的计算公式可得：余弦值为负数的概率是，应选答案A。
点睛：本题将数列的知识与几何概型的计算整合在一起，不仅具有创新意识与意义，而且有效地考查了综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力，以及迁移新概念中的新信息和创新思维的能力。
3．已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由递推公式知数列为等差数列，且公差已知，首项已知，易求得．
【解答】
∵，∴，∴数列是公差为的等差数列，
∴．
故选：B．
4.等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．
5.设等比数列的前项和记为,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据等比数列前项和性质求解可得所求结果．
【解答】∵数列为等比数列，且其前项和记为，
∴成等比数列．
∵，即，
∴等比数列的公比为，
∴，
∴，
∴．
故选A．
6．在等比数列{an}中，a2，a14是方程x2+8x+6＝0的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【解析】解：根据题意，等比数列{an}中，a2，a14是方程x2+8x+6＝0的根，则a2a14＝6，a2+a14＝﹣8，
则a2＜0且a14＜0，
若a2a14＝6，则a2a14＝a3a13＝（a8）2＝6，
则有a3a13＝6，a8，
故；
故选：C．
【点睛】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a6＝6，则S7＝（ ）
A．7 B．14 C．21 D．42
【解析】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a4+a6＝6，
∴a2+a4+a6＝3a4＝6，解得a4＝2，
∴S77a4＝14．
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．已知{an}为等差数列，a3＝52，S7＝343，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值时n是（ ）
A．19 B．20 C．39 D．40
【解析】解：由S7＝7a4＝343，得a4＝49，
所以d＝a4﹣a3＝49﹣52＝﹣3，
a1＝a3﹣2d＝52﹣2×（﹣3）＝58，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝﹣3n+61．
由，得n＝20．
故选：B．
【点睛】本题考查使得Sn达到最大值时n的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（ ）
A．a（1+r）17 B．[（1+r）17﹣（1+r）]
C．a（1+r）18 D．[（1+r）18﹣（1+r）]
【解析】解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）17，
同理：孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）16，
孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）15，
……
孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r），
可以看成是以a（1+r）为首项，（1+r）为公比的等比数列的前17项的和，
此时将存款（含利息）全部取回，
则取回的钱的总数S＝a（1+r）17+a（1+r）16+……+a（1+r）[（1+r）18﹣（1+r）]；
故选：D．
10．设等差数列满足，，是数列的前项和，则使得取得最大值的自然数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
设等差数列公差为，
∴解得
∴，
∴数列是减数列,且，
于是，
故选：A.
二、填空题
11．对于（为公比）的无穷等比数列（即项数是无穷项），我们定义（其中是数列的前项的和）为它的各项的和，记为，即，则循环小数的分数形式是__________．
【答案】
【解析】，故答案为.
点睛：本题通过新定义对于（为公比）的无穷等比数列（即项数是无穷项），我们定义（其中是数列的前项的和）为它的各项的和，“新定义”问题，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的分数形式主要是将其转化为等比数列的和，只要能正确运用这一特征，问题就能迎刃而解.
12．今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近30天每天因病请假人数依次构成数列，已知，，且，则这30天因病请假的人数共有___________人.
【答案】.
【解析】
∵a1=1，a2=2，且an+2-an=1+（-1）n （n∈N*），
∴a3-a1=1+（-1）1=0，
∴a3=a1=1，
∴a4-a2=1+（-1）2=2，解得a4=a2+2=4；
同理可得，a29=a27=…=a3=a1=1；
a6=6，a8=8，…，a30=30，
显然，a2、a4、…、a30构成以2为首项，2为公差的等差数列，共15项，
∴这30天因病请假的人数共有：
S30=（a1+a3+…+a29）+（a2+a4+…+a30）=15+
故答案255
13．（2019秋?梅河口市校级月考）已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a3a5＝64，则S10的值为 ．
【解析】解：根据题意，等比数列{an}的各项都为正数，又由a3a5＝64，则有a3a5＝（a4）2＝64，即a4＝8，
又由a1＝1，则q38，则q＝2，
则S101023；
故答案为：1023．
14．（2020?黄山一模）在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2+an，Sn为{an}前n项和，若Sn＝36，则n＝ ．
【解析】解：∵在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2+an，
∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
Sn为{an}前n项和，
∴n2，
∵Sn＝36，∴n2＝36，
解得n＝6．（舍负），
故答案为：6．
三、解答题
15．已知数列的前n项和为,,．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为,求证．
【答案】（1）．（2）证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出结果；（2）根据题意可得,然后利用裂项求和即可得出,进而即可证得结论．
【解答】
解：（1）,
当时,,
又满足上式,
．
（2）证明：,
,
．
,,
．
16．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根据是等差数列，设公差为d，由通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得，由裂项相消求和，化简运算可得所求和．
【解答】
（Ⅰ）公差d不为零的等差数列，若，且成等比数列，
?可得，即，
解得．
则；
（Ⅱ），
可得前n项和.
．
17．设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.
(1)求{an},{bn}的通项公式.
(2)求数列{}的前n项和Sn.
【答案】(1) an=2n-1 ，； (2) Sn=6-
【解析】
【解答】
(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则依题意有q>0且解得
所以an=1+(n-1)d=2n-1, bn=qn-1=2n-1.
(2)=,
Sn=1+++…++, ①
2Sn=2+3++…++. ②
②-①,得Sn=2+2+++…+-
=2+2×(1+++…+)-,
=2+2×-=6-.
18.若数列的前项和满足,等差数列满足.
(1)求数列、的通项公式;
(2)设,求数列的前项和为.
【答案】(1)，;(2).
【分析】（Ⅰ）由数列递推式求出a1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{an}为等比数列，则数列{an}的通项公式可求，再由b1=3a1，b3=S2+3求出数列{bn}的首项和公差，则{bn}的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{an}、{bn}的通项公式代入，直接由错位相减法求数列{cn}的前n项和为Tn．
【解答】（Ⅰ）当时，
当时，，即
数列是以为首项，3为公比的等比数列，.
设的公差为
,
（Ⅱ）①
则②，
由①—②得，
∴
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2020年高中数学必修五第二章数列
单元达标测评(A卷)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设，，是等比数列的前三项，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由，，是等比数列的前三项，求出，进而可求出公比，即可求出结果.
【解答】
因为，，是等比数列的前三项，
所以，
解得，，所以公比，
因此.
故选A
2．已知等差数列中， 为其前项和， （其中为圆周率），，现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，则，所以或时，都有，即，由几何概型的计算公式可得：余弦值为负数的概率是，应选答案A。
点睛：本题将数列的知识与几何概型的计算整合在一起，不仅具有创新意识与意义，而且有效地考查了综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力，以及迁移新概念中的新信息和创新思维的能力。
3．已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由递推公式知数列为等差数列，且公差已知，首项已知，易求得．
【解答】
∵，∴，∴数列是公差为的等差数列，
∴．
故选：B．
4.等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．
5.设等比数列的前项和记为,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据等比数列前项和性质求解可得所求结果．
【解答】∵数列为等比数列，且其前项和记为，
∴成等比数列．
∵，即，
∴等比数列的公比为，
∴，
∴，
∴．
故选A．
6．在等比数列{an}中，a2，a14是方程x2+8x+6＝0的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【解析】解：根据题意，等比数列{an}中，a2，a14是方程x2+8x+6＝0的根，则a2a14＝6，a2+a14＝﹣8，
则a2＜0且a14＜0，
若a2a14＝6，则a2a14＝a3a13＝（a8）2＝6，
则有a3a13＝6，a8，
故；
故选：C．
【点睛】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a6＝6，则S7＝（ ）
A．7 B．14 C．21 D．42
【解析】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a4+a6＝6，
∴a2+a4+a6＝3a4＝6，解得a4＝2，
∴S77a4＝14．
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．已知{an}为等差数列，a3＝52，S7＝343，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值时n是（ ）
A．19 B．20 C．39 D．40
【解析】解：由S7＝7a4＝343，得a4＝49，
所以d＝a4﹣a3＝49﹣52＝﹣3，
a1＝a3﹣2d＝52﹣2×（﹣3）＝58，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝﹣3n+61．
由，得n＝20．
故选：B．
【点睛】本题考查使得Sn达到最大值时n的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（ ）
A．a（1+r）17 B．[（1+r）17﹣（1+r）]
C．a（1+r）18 D．[（1+r）18﹣（1+r）]
【解析】解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）17，
同理：孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）16，
孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）15，
……
孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r），
可以看成是以a（1+r）为首项，（1+r）为公比的等比数列的前17项的和，
此时将存款（含利息）全部取回，
则取回的钱的总数S＝a（1+r）17+a（1+r）16+……+a（1+r）[（1+r）18﹣（1+r）]；
故选：D．
10．设等差数列满足，，是数列的前项和，则使得取得最大值的自然数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
设等差数列公差为，
∴解得
∴，
∴数列是减数列,且，
于是，
故选：A.
二、填空题
11．对于（为公比）的无穷等比数列（即项数是无穷项），我们定义（其中是数列的前项的和）为它的各项的和，记为，即，则循环小数的分数形式是__________．
【答案】
【解析】，故答案为.
点睛：本题通过新定义对于（为公比）的无穷等比数列（即项数是无穷项），我们定义（其中是数列的前项的和）为它的各项的和，“新定义”问题，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的分数形式主要是将其转化为等比数列的和，只要能正确运用这一特征，问题就能迎刃而解.
12．今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近30天每天因病请假人数依次构成数列，已知，，且，则这30天因病请假的人数共有___________人.
【答案】.
【解析】
∵a1=1，a2=2，且an+2-an=1+（-1）n （n∈N*），
∴a3-a1=1+（-1）1=0，
∴a3=a1=1，
∴a4-a2=1+（-1）2=2，解得a4=a2+2=4；
同理可得，a29=a27=…=a3=a1=1；
a6=6，a8=8，…，a30=30，
显然，a2、a4、…、a30构成以2为首项，2为公差的等差数列，共15项，
∴这30天因病请假的人数共有：
S30=（a1+a3+…+a29）+（a2+a4+…+a30）=15+
故答案255
13．（2019秋?梅河口市校级月考）已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a3a5＝64，则S10的值为 ．
【解析】解：根据题意，等比数列{an}的各项都为正数，又由a3a5＝64，则有a3a5＝（a4）2＝64，即a4＝8，
又由a1＝1，则q38，则q＝2，
则S101023；
故答案为：1023．
14．（2020?黄山一模）在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2+an，Sn为{an}前n项和，若Sn＝36，则n＝ ．
【解析】解：∵在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2+an，
∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
Sn为{an}前n项和，
∴n2，
∵Sn＝36，∴n2＝36，
解得n＝6．（舍负），
故答案为：6．
三、解答题
15．已知数列的前n项和为,,．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为,求证．
【答案】（1）．（2）证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出结果；（2）根据题意可得,然后利用裂项求和即可得出,进而即可证得结论．
【解答】
解：（1）,
当时,,
又满足上式,
．
（2）证明：,
,
．
,,
．
16．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根据是等差数列，设公差为d，由通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得，由裂项相消求和，化简运算可得所求和．
【解答】
（Ⅰ）公差d不为零的等差数列，若，且成等比数列，
?可得，即，
解得．
则；
（Ⅱ），
可得前n项和.
．
17．设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.
(1)求{an},{bn}的通项公式.
(2)求数列{}的前n项和Sn.
【答案】(1) an=2n-1 ，； (2) Sn=6-
【解析】
【解答】
(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则依题意有q>0且解得
所以an=1+(n-1)d=2n-1, bn=qn-1=2n-1.
(2)=,
Sn=1+++…++, ①
2Sn=2+3++…++. ②
②-①,得Sn=2+2+++…+-
=2+2×(1+++…+)-,
=2+2×-=6-.
18.若数列的前项和满足,等差数列满足.
(1)求数列、的通项公式;
(2)设,求数列的前项和为.
【答案】(1)，;(2).
【分析】（Ⅰ）由数列递推式求出a1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{an}为等比数列，则数列{an}的通项公式可求，再由b1=3a1，b3=S2+3求出数列{bn}的首项和公差，则{bn}的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{an}、{bn}的通项公式代入，直接由错位相减法求数列{cn}的前n项和为Tn．
【解答】（Ⅰ）当时，
当时，，即
数列是以为首项，3为公比的等比数列，.
设的公差为
,
（Ⅱ）①
则②，
由①—②得，
∴
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