2020年高中数学必修五 第二章 数列 单元达标测评(B卷)(原卷版+解析版)

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名称 2020年高中数学必修五 第二章 数列 单元达标测评(B卷)(原卷版+解析版)
格式 zip
文件大小 1.6MB
资源类型 试卷
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2020-04-15 10:38:11

文档简介








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2020年高中数学必修五第二章数列
单元达标测评(B卷)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、单选题
1.(2019·凤冈县第二中学高一月考)两数与的等差中项是( )
A. B. C.2 D.1
2.(2019·陕西西安中学高三月考(理))在等差数列中,首项,公差,是其前项和,若,则( )
A.20 B.21 C.22 D.23
3.(2019·四川高一期末)数列只有5项,分别是3,5,7,9,11,的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
4.(2019·安徽淮北一中高一月考)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为( )
A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺
5.“远望嵬嵬塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几碗灯?”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》,通过计算得到的答案是(  )
A.2 B.3
C.4 D.5
6.(2019年益阳月考)已知Sn是数列{an}的前n项和,log2Sn=n(n=1,2,3,…),则数列{an}(  )
A.是公比为2的等比数列
B.是公差为2的等差数列
C.是公比为的等比数列
D.既非等差数列,也非等比数列
7.(2019年常州月考)已知等差数列{an}中,a1>0,前n项和是Sn,且S14=S8,则当Sn取得最大值时,n为(  )
A.8 B.9
C.10 D.11
8.(2019年湖北期末)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则(  )
A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0
C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0
9.如图,AB是的直径,且半径为1,点C、D是半圆弧AB上的两个等三分点,则向量在向量上的投影等于( )

A. B. C. D.
10.在中,,,分别为角,,的对边,若的面为,且,则(  )
A. 1 B. C. D.
11.已知菱形的边长为2,,点,分别在边,上,,,若,则的值为( )
A 3 B. 2 C. D.
12.已知数列满足,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.(2019年徐州月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=________.
14.(2019年怀化月考)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=________.
15.设为数列的前n项和,若(),且,则的值为______.
16.如图是一块半径为1的半圆形纸板,在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得圆形、、……、…,记纸板的面积为,则_________.

17.(2020·全国高三专题练习(理)在数列中,,,记是数列的前项和,则=____.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知向量,,.
(1)若与共线,求的值;
(2)记,求的最大值以及对应的的值.
19.已知实数列是等比数列,其中,且,,成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列的前n项和记为,证明:.
20.(2019·福建厦门双十中学高三月考)已知为数列的前n项和,满足,.设.
(1)判断数列是否为等比数列,并说明理由;
(2)若,求满足的最小的整数n.
21.(2019年厦门期末)(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).










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2020年高中数学必修五第二章数列
单元达标测评(B卷)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、单选题
1.(2019·凤冈县第二中学高一月考)两数与的等差中项是( )
A. B. C.2 D.1
【答案】B
【分析】由等差中项的定义:是的等差中项,则,可得答案.
【解答】
由等差中项的定义有:与的等差中项是:.
故选: B.
2.(2019·陕西西安中学高三月考(理))在等差数列中,首项,公差,是其前项和,若,则( )
A.20 B.21 C.22 D.23
【答案】C
【分析】直接根据等差数列的通项公式及求和公式计算可得;
【解答】
解:因为等差数列中,首项,公差,是其前项和,
所以,,
,
,
解得,
故选:
3.(2019·四川高一期末)数列只有5项,分别是3,5,7,9,11,的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据题意,得到数列为等差数列,通过首项和公差,得到通项.
【解答】
因为数列只有5项,分别是3,5,7,9,11,
所以是以为首项,为公差的等差数列,
.
故选:B.
4.(2019·安徽淮北一中高一月考)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为( )
A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺
【答案】C
【分析】结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.
【解答】
解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,
∴,
解得,,
∴小满日影长为(尺).
故选C.
5.“远望嵬嵬塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几碗灯?”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》,通过计算得到的答案是(  )
A.2 B.3
C.4 D.5
【答案】B [由题意设尖头a盏灯,根据题意由上往下数第n层有2n-1a盏灯,所以一共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381盏灯,解得a=3.]
6.(2019年益阳月考)已知Sn是数列{an}的前n项和,log2Sn=n(n=1,2,3,…),则数列{an}(  )
A.是公比为2的等比数列
B.是公差为2的等差数列
C.是公比为的等比数列
D.既非等差数列,也非等比数列
【答案】D [∵log2Sn=n,∴Sn=2n,则a1=2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.
∵a1=2不适合上式,∴{an}既非等差数列,也非等比数列.]
7.(2019年常州月考)已知等差数列{an}中,a1>0,前n项和是Sn,且S14=S8,则当Sn取得最大值时,n为(  )
A.8 B.9
C.10 D.11
【答案】D [∵S14=S8,∴a9+a10+a11+a12+a13+a14=3(a11+a12)=0.
∵a1>0,∴d<0,∴a11>0,a12<0,∴n=11.]
8.(2019年湖北期末)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则(  )
A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0
C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0
【答案】B [依题意a=a3a8,所以(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),解得a1=-d,所以S4=2(a1+a4)=2(a1+a1+3d)=-d,所以a1d=-d2<0,dS4=-d2<0.]
9.如图,AB是的直径,且半径为1,点C、D是半圆弧AB上的两个等三分点,则向量在向量上的投影等于( )

A. B. C. D.
【答案】D
【分析】求得与的夹角和的大小,套用公式即可得到本题答案.
【解答】由题,得,
连接BD,易得,
在中,,所以,
所以向量在向量上的投影.
故选:D

10.在中,,,分别为角,,的对边,若的面为,且,则(  )
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理进行化简求出的值,然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可.
【解答】解:由,
得,
∵ ,
∴ ,

即,
则,
∵ ,
∴ ,
∴ ,即,
则,
故选D.
11.已知菱形的边长为2,,点,分别在边,上,,,若,则的值为( )
A 3 B. 2 C. D.
【答案】B
【分析】由题意利用向量数量积定义和平面向量基本定理整理计算即可确定的值.
【解答】由题意可得:


且:,
故,解得:.
故选B.
12.已知数列满足,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由累加法,可得,然后借助函数的单调性,即可确定的最小值.
【解答】由题,得




所以,,
因为双勾函数在递减,在递增,
且,
所以的最小值为.
故选:C
【点睛】本题主要考查利用累加法求通项公式以及借助函数的单调性确定数列的最小项,考查学生的分析问题与解决问题的能力.
二、填空题
13.(2019年徐州月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=________.
【答案】-6 [S8==4(a3+a6),由于S8=4a3,所以a6=0.又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.]
14.(2019年怀化月考)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=________.
【答案】768 [由an+1=3Sn,得Sn+1-Sn=3Sn,即Sn+1=4Sn,所以数列{Sn}是首项为1,公比为4的等比数列,所以Sn=4n-1,所以a6=S6-S5=45-44=3×44=768.]
15.设为数列的前n项和,若(),且,则的值为______.
【答案】1240
【分析】由时,,可得,当时,由,可得,利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出结果.
【解答】
当时,,,可得,
当时,由,得,
∴,即,
∴数列是首项,公差为6的等差数列,
∴,
故答案为:1240.
16.如图是一块半径为1的半圆形纸板,在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得圆形、、……、…,记纸板的面积为,则_________.

【答案】
【分析】由已知每次剪掉的半圆形面积构成一个等比数列,根据已知不难求出该数列的首项和公比,代入等比数列前n项和公式,易得剪去的所有半圆的面积和,从而得到最后纸板的面积.
【解答】
解:每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项,以为公比的等比数列,

故:
故答案为:.
17.(2020·全国高三专题练习(理)在数列中,,,记是数列的前项和,则=____.
【答案】220.
【分析】当是奇数时,,数列中奇数项构成等差数列,当是偶数时,,从而可求.
【解答】
当是奇数时,,数列中奇数项构成等差数列,
当是偶数时,,

.
故答案为:220.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知向量,,.
(1)若与共线,求的值;
(2)记,求的最大值以及对应的的值.
【答案】(1);(2)的最大值为2以及对应的x为.
【分析】(1)由平行向量的等价条件,列出方程求解即可得到本题答案;
(2)由题,得,令,即可得到本题答案.
【解答】(1)因为向量,,且与共线,
所以,化简得,解得;
(2)由题,得,
令,得,
所以的最大值为2,以及对应的x的值为.
19.已知实数列是等比数列,其中,且,,成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列的前n项和记为,证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析
【分析】(1)由,且,,成等差数列,可得,解方程可得q,从而可以得到本题答案;
(2)由(1)得,从而可以得到本题答案.
【解答】(1)由,得,从而,,,
又,,成等差数列,
所以即,
解得,所以,;
(2)由(1)得,.
20.(2019·福建厦门双十中学高三月考)已知为数列的前n项和,满足,.设.
(1)判断数列是否为等比数列,并说明理由;
(2)若,求满足的最小的整数n.
【答案】(1)见解析,(2)7
【分析】(1)根据题意,将,代入,得到,又由,结合等比数列的定义,即可判定,得到答案;
(2)由(1)可得,利用等差、等比数列的求和公式,求得,结合数列的单调性,即可求解.
【解答】
(1)由,得,代入,
得,所以,
又由,
当时,,此时数列不是等比数列;
当时,,此时,数列是以2为公比?以为首项的等比数列.
(2)当时,由(1)知数列是以2为公比,以1为首项的等比数列,
所以,可得,
所以,
又由,
所以单调递增,又由,,
所以满足题意当最小n为7.
【名师点睛】
本题主要考查了数列的递推公式的应用,以及等差、等比数列的通项公式和前项和公式的应用,其中解答中熟练应用熟练的递推公式化简,以及熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
21.(2019年厦门期末)(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
【答案】(1)由题意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4 500-d,
an+1=an(1+50%)-d=an-d.
(2)由(1)得an=an-1-d=-d
=2·an-2-d-d=…
=n-1a1-d.
整理得an=n-1(3 000-d)-2d=n-1·(3 000-3d)+2d.
由题意知am=4 000,所以m-1(3 000-3d)+2d=4 000,
解得d==.
故该企业每年上缴资金d的值为万元时,经过m(m≥3)年





























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