八年级（下）数学 第17章 一元二次方程 单元测试卷
一、选择题
1．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为
A． B． C．且 D．且
2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为
A．2，5，4 B．2，，4 C．，，4 D．2，，
3．一元二次方程的一根是1，则的值是
A．3 B． C．2 D．
4．一元二次方程的解是
A．0 B．5 C．0和5 D．0和
5．一元二次方程配方后可变形为
A． B． C． D．
6．一元二次方程的求根公式是
A． B．
C． D．
7．若、是方程的两个实数根，则的值为
A．2017 B．0 C．2015 D．2019
8．某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
9．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为
A．1 B．1或2 C．2 D．2或3
10．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．写一个没有实数根的一元二次方程 ．
12．方程根的判别式的值是 ．
13．方程的根是 ．
14．关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为 ．
15．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值为 ．
16．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
17．已知一元二次方程的两根为、，则 ．
18．如图，某小区有一个长为40米，宽为26米的矩形场地，计划修建一横两纵的三条同样宽度的小路，其余部分种草，若使分割的每一块草坪的面积都为144米，设小路的宽度为米，则依题意可列方程为 ．
19．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价 元．
20．对于实数，，我们用符号，表示，两数中较小的数，如，，；若，，则 ．
三．解答题（共7小题）
21．解方程：
（1）
（2）．
22．已知是方程的一个根，求代数式的值．
23．关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程必有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根为1，求方程的另一根及的值．
24．为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？
25．阅读下面的例题，
范例：解方程，
解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
（2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
原方程的根是，
请参照例题解方程．
26．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量与销售单价的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
27．阅读材料题：如果，是一元二次方程的两个根，那么，．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以来计算某些代数式的值．
例：，是方程的两个根，求的值．
可以这样求解：，，
请你根据以上解答完成下列问题：
已知，是方程的两根，分别求下列代数式的值．
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为
A． B． C．且 D．且
解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：且．
故选：．
2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为
A．2，5，4 B．2，，4 C．，，4 D．2，，
解：方程化成一般形式是，
二次项系数为2，一次项系数为，常数项为．
故选：．
3．一元二次方程的一根是1，则的值是
A．3 B． C．2 D．
解：把代入方程得，解得．
故选：．
4．一元二次方程的解是
A．0 B．5 C．0和5 D．0和
解：，
或，
解得：，，
故选：．
5．一元二次方程配方后可变形为
A． B． C． D．
解：，
，即，
故选：．
6．一元二次方程的求根公式是
A． B．
C． D．
解：一元二次方程的求根公式是，
故选：．
7．若、是方程的两个实数根，则的值为
A．2017 B．0 C．2015 D．2019
【分析】根据方程根的定义及根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可．
解：
、是方程的两个实数根，
，，
，
故选：．
8．某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
解：设教育经费的年平均增长率为，
则2014的教育经费为：万元，
2015的教育经费为：万元，
那么可得方程：．
故选：．
9．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为
A．1 B．1或2 C．2 D．2或3
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“”与面“”相对，面“★”与面“”相对．
因为相对两个面上的数相同，所以，解得或，
又因为不相对两个面上的数值不相同，当时，，，
，不符合题意，
只能为1，即★．
故选：．
10．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
解：一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
又，即，
代入得，
即，
．
故选：．
二．填空题（共10小题）
11．写一个没有实数根的一元二次方程 ．
解：，只要满足即可．
故答案为：
12．方程根的判别式的值是 25 ．
解：方程变形为，
，，，
△．
故答案为：25
13．方程的根是 ， ．
解：，
，
，
，，
，，
故答案为：，．
14．关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为 ．
解：把代入得：
解得：，
故答案为：．
15．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值为 4 ．
解：关于的一元二次方程有实数根，
，且△，即△，解得，
的取值范围为且，
所以的最大整数值为4．
故答案为4．
16．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是 且 ．
解：，
，，
则原方程为，
该一元二次方程有实数根，
△，
解得，．
方程是一元二次方程，
，
故答案为且．
17．已知一元二次方程的两根为、，则 13 ．
解： 根据题意得，，
所以．
故答案为 13 ．
18．如图，某小区有一个长为40米，宽为26米的矩形场地，计划修建一横两纵的三条同样宽度的小路，其余部分种草，若使分割的每一块草坪的面积都为144米，设小路的宽度为米，则依题意可列方程为 ．
【分析】设小路的宽度为米，那么草坪的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意即可得出方程．
解：设小路的宽度为米，
那么草坪的总长度和总宽度应该为，；
根据题意即可得出方程为：．
故答案为
19．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价 5 元．
解：设每千克应涨价元，由题意列方程得：
，
解得：或，
为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；
故答案为：5．
20．对于实数，，我们用符号，表示，两数中较小的数，如，，；若，，则 或2 ．
解：若
则，
，（不合题意舍去）
若
则，
（不合题意舍去），
故答案为或2
三．解答题（共7小题）
21．解方程：
（1）
（2）．
解：（1），
，
，
，
所以，；
（2），
或，
所以，．
22．已知是方程的一个根，求代数式的值．
解：把代入方程可得：，
即，
故的值为2．
23．关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程必有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根为1，求方程的另一根及的值．
解：（1）证明：，
即，
，
，
，
即此方程必有两个不相等的实数根；
（2）解：把代入原方程得：，
解得：，
即，
，
解得：，，
故方程的另一根为4，为．
24．为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？
解：该县团委应邀请个足球队参赛．每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：．
整理，得．
解得（不合题意，舍去），．
答：该县团委应邀请10个足球队参赛．
25．阅读下面的例题，
范例：解方程，
解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
（2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
原方程的根是，
请参照例题解方程．
解：，
（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
（2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
故原方程的根是，．
26．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量与销售单价的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
解：（1）设年销售量与销售单价的函数关系式为，
将、代入，得：
，解得：，
年销售量与销售单价的函数关系式为．
（2）设此设备的销售单价为万元台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，．
此设备的销售单价不得高于70万元，
．
答：该设备的销售单价应是50万元台．
27．阅读材料题：如果，是一元二次方程的两个根，那么，．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以来计算某些代数式的值．
例：，是方程的两个根，求的值．
可以这样求解：，，
请你根据以上解答完成下列问题：
已知，是方程的两根，分别求下列代数式的值．
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
解：，是方程，
，，
（1）；
（2），；
（3）．
八年级（下）数学 第 17章 一元二次方程 单元测试卷
一、选择题
1．关于 x的一元二次方程 2( 1) 2 1 0a x x? ? ? ? 有两个实数根，则 a的取值范围为 ( )
A． 0a? B． 2a ? C． 0a? 且 1a ? D． 2a? 且 1a ?
2．方程 22 5 4x x? ? 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ( )
A．2，5，4 B．2， 5? ，4 C． 2? ， 5? ，4 D．2， 5? ， 4?
3．一元二次方程 2 2 0x ax? ? ? 的一根是 1，则 a的值是 ( )
A．3 B． 3? C．2 D． 2?
4．一元二次方程 ( 5) 0x x ? ? 的解是 ( )
A．0 B．5 C．0和 5 D．0和 5?
5．一元二次方程 2 4 5x x? ? 配方后可变形为 ( )
A． 2( 2) 5x ? ? B． 2( 2) 9x ? ? C． 2( 2) 9x ? ? D． 2( 2) 21x ? ?
6．一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 的求根公式是 ( )
A．
2
1,2
4
2
b b acx
a
? ? ?
? B．
2
1,2
4
2
b b acx
a
? ?
?
C．
2
1,2
2 4b b acx
a
? ?
? D．
2
1,2
4
2
a b acx
b
? ? ?
?
7．若? 、 ? 是方程 2 2 2017 0x x? ? ? 的两个实数根，则 2 3? ? ?? ? 的值为 ( )
A．2017 B．0 C．2015 D．2019
8．某市 2013年投入教育经费 2 亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率
均为 x，从 2013年到 2015年共投入教育经费 9.5亿元，则下列方程正确的是 ( )
A． 22 9.5x ? B． 2(1 ) 9.5x? ?
C． 22(1 ) 9.5x? ? D． 22 2(1 ) 2(1 ) 9.5x x? ? ? ? ?
9．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面
上的数值不相同，则“★”面上的数为 ( )
A．1 B．1或 2 C．2 D．2或 3
10．定义：如果一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 满足 0a b c? ? ? ，那么我们称这个方程
为“凤凰”方程．已知 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，
则下列结论正确的是 ( )
A． a c? B． a b? C． b c? D． a b c? ?
二．填空题（共 10小题）
11．写一个没有实数根的一元二次方程 ．
12．方程 2 3 4x x? ? 根的判别式的值是 ．
13．方程 ( 5)( 6) 6x x x? ? ? ? 的根是 ．
14．关于 x的一元二次方程 2 3 0x mx? ? ? 的一个根是 1，则m的值为 ．
15．若关于 x的一元二次方程 2 4 1 0ax x? ? ? 有实数根，则 a的最大整数值为 ．
16．若 4 | 1| 0a b? ? ? ? ，且一元二次方程 2 0kx ax b? ? ? 有实数根，则 k 的取值范围
是 ．
17．已知一元二次方程 2 3 4 0x x? ? ? 的两根为 1x 、 2x ，则
2 2
1 1 2 2x x x x? ? ? ．
18．如图，某小区有一个长为 40 米，宽为 26米的矩形场地，计划修建一横两纵的三条同
样宽度的小路，其余部分种草，若使分割的每一块草坪的面积都为 144米 2，设小路的宽度
为 x米，则依题意可列方程为 ．
19．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利 5 元，每天可售出 200千克，经市场
调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价 1元，销售量将减少 10千克．现该商场要
保证每天盈利 1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价 元．
20．对于实数 p，q，我们用符号 {min p， }q 表示 p，q两数中较小的数，如 {1min ，2} 1? ，
{ 2, 3} 3min ? ? ? ? ；若 2{( 1)min x ? ， 2} 1x ? ，则 x ? ．
三．解答题（共 7小题）
21．解方程：
（1） 2 4 1 0x x? ? ?
（2） 2( 3) 4 ( 3) 0x x x? ? ? ? ．
22．已知m是方程 2 2 0x x? ? ? 的一个根，求代数式 2m m? 的值．
23．关于 x的一元二次方程 ( 2)( 3) | |x x m? ? ? ．
（1）求证：此方程必有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根为 1，求方程的另一根及m的值．
24．为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我
快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都
要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 9 天，每天安排 5 场比赛，则该县团
委应邀请多少个足球队参赛？
25．阅读下面的例题，
范例：解方程 2 | | 2 0x x? ? ? ，
解：（1）当 0x? 时，原方程化为 2 2 0x x? ? ? ，解得： 1 2x ? ， 2 1x ? ? （不合题意，舍去）．
（2）当 0x ? 时，原方程化为 2 2 0x x? ? ? ，解得： 1 2x ? ? ， 2 1x ? （不合题意，舍去）．
?原方程的根是 1 2x ? ， 2 2x ? ?
请参照例题解方程 2 | 1| 1 0x x? ? ? ? ．
26．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科
技设备，每台设备成本价为 30 万元，经过市场调研发现，每台售价为 40万元时，年销售
量为 600台；每台售价为 45万元时，年销售量为 550台．假定该设备的年销售量 y（单位：
台）和销售单价 x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量 y与销售单价 x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于 70万元，如果该公司想获得 10000 万元
的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
27．阅读材料题：如果 1x ， 2x 是一元二次方程
2 0ax bx c? ? ? 的两个根，那么 1 2
bx x
a
? ? ? ，
1 2
cx x
a
?? ．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以来计算某些代数式的值．
例： 1x ， 2x 是方程
2 6 3 0x x? ? ? 的两个根，求 2 21 2x x? 的值．
可以这样求解： 1 2 6x x? ? ?? ， 1 2 3x x ? ? ，
? 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 ( 6) 2 ( 3) 42x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
请你根据以上解答完成下列问题：
已知 1x ， 2x 是方程
2 4 2 0x x? ? ? 的两根，分别求下列代数式的值．
（1） 1 2( 1)( 1)x x? ? 的值；
（2）
1 2
1 1
x x
? 的值；
（3） 2 21 2 1 2x x x x? 的值．
参考答案
一．选择题（共 10小题）
1．关于 x的一元二次方程 2( 1) 2 1 0a x x? ? ? ? 有两个实数根，则 a的取值范围为 ( )
A． 0a? B． 2a ? C． 0a? 且 1a ? D． 2a? 且 1a ?
解：?关于 x的一元二次方程 2( 1) 2 1 0a x x? ? ? ? 有两个实数根，
? 2
1 0
2 4 ( 1)( 1) 0
a
a
? ??
? ? ? ? ? ??? ?
，
解得： 0a? 且 1a ? ．
故选：C．
2．方程 22 5 4x x? ? 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ( )
A．2，5，4 B．2， 5? ，4 C． 2? ， 5? ，4 D．2， 5? ， 4?
解：?方程 22 5 4x x? ? 化成一般形式是 22 5 4 0x x? ? ? ，
?二次项系数为 2，一次项系数为 5? ，常数项为 4? ．
故选：D．
3．一元二次方程 2 2 0x ax? ? ? 的一根是 1，则 a的值是 ( )
A．3 B． 3? C．2 D． 2?
解：把 1x ? 代入方程 2 2 0x ax? ? ? 得1 2 0a? ? ? ，解得 3a ? ．
故选： A．
4．一元二次方程 ( 5) 0x x ? ? 的解是 ( )
A．0 B．5 C．0和 5 D．0和 5?
解： ( 5) 0x x ? ?? ，
0x? ? 或 5 0x ? ? ，
解得： 1 0x ? ， 2 5x ? ，
故选：C．
5．一元二次方程 2 4 5x x? ? 配方后可变形为 ( )
A． 2( 2) 5x ? ? B． 2( 2) 9x ? ? C． 2( 2) 9x ? ? D． 2( 2) 21x ? ?
解： 2 4 5x x? ?? ，
2 4 4 5 4x x? ? ? ? ? ，即 2( 2) 9x ? ? ，
故选： B．
6．一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 的求根公式是 ( )
A．
2
1,2
4
2
b b acx
a
? ? ?
? B．
2
1,2
4
2
b b acx
a
? ?
?
C．
2
1,2
2 4b b acx
a
? ?
? D．
2
1,2
4
2
a b acx
b
? ? ?
?
解：一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 的求根公式是
2 4
2
b b acx
a
? ? ?
? ，
故选： A．
7．若? 、 ? 是方程 2 2 2017 0x x? ? ? 的两个实数根，则 2 3? ? ?? ? 的值为 ( )
A．2017 B．0 C．2015 D．2019
【分析】根据方程根的定义及根与系数的关系可求得 2 2? ?? 和? ?? 的值，代入求值即可．
解：
?? 、 ? 是方程 2 2 2017 0x x? ? ? 的两个实数根，
2 2 2017? ?? ? ? ， 2? ?? ? ? ，
2 23 2 2017 2 2015? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
故选：C．
8．某市 2013年投入教育经费 2 亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率
均为 x，从 2013年到 2015年共投入教育经费 9.5亿元，则下列方程正确的是 ( )
A． 22 9.5x ? B． 2(1 ) 9.5x? ?
C． 22(1 ) 9.5x? ? D． 22 2(1 ) 2(1 ) 9.5x x? ? ? ? ?
解：设教育经费的年平均增长率为 x，
则 2014的教育经费为： 2(1 )x? 万元，
2015的教育经费为： 22(1 )x? 万元，
那么可得方程： 22 2(1 ) 2(1 ) 9.5x x? ? ? ? ? ．
故选：D．
9．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面
上的数值不相同，则“★”面上的数为 ( )
A．1 B．1或 2 C．2 D．2或 3
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“ 2x ”与面“ 3 2x ? ”相对，面
“★”与面“ 1x ? ”相对．
因为相对两个面上的数相同，所以 2 3 2x x? ? ，解得 1x ? 或 2x ? ，
又因为不相对两个面上的数值不相同，当 2x ? 时， 2 4x ? ?? ， 3 2 4x ? ? ，
3 2 2x x? ? ? ? ，不符合题意，
x? 只能为 1，即★ 1 2x? ? ? ．
故选：C．
10．定义：如果一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 满足 0a b c? ? ? ，那么我们称这个方程
为“凤凰”方程．已知 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，
则下列结论正确的是 ( )
A． a c? B． a b? C． b c? D． a b c? ?
解：?一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 有两个相等的实数根，
?△ 2 4 0b ac? ? ? ，
又 0a b c? ? ? ，即 b a c? ? ? ，
代入 2 4 0b ac? ? 得 2( ) 4 0a c ac? ? ? ? ，
即 2 2 2 2 2 2( ) 4 2 4 2 ( ) 0a c ac a ac c ac a ac c a c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
a c? ? ．
故选： A．
二．填空题（共 10小题）
11．写一个没有实数根的一元二次方程 2 1 0y y? ? ? ．
解： 2 1 0y y? ? ? ，只要满足 2 4 0b ac? ? 即可．
故答案为： 2 1 0y y? ? ?
12．方程 2 3 4x x? ? 根的判别式的值是 25 ．
解：方程变形为 2 3 4 0x x? ? ? ，
1a ?? ， 3b ? ? ， 4c ? ? ，
?△ 2( 3) 4 1 ( 4) 25? ? ? ? ? ? ? ．
故答案为：25
13．方程 ( 5)( 6) 6x x x? ? ? ? 的根是 1 6x ? ? ， 2 6x ? ．
解： ( 5)( 6) 6x x x? ? ? ? ，
( 5)( 6) ( 6) 0x x x? ? ? ? ? ，
( 6)( 5 1) 0x x? ? ? ? ，
6 0x ? ? ， 5 1 0x ? ? ? ，
1 6x ? ? ， 2 6x ? ，
故答案为： 1 6x ? ? ， 2 6x ? ．
14．关于 x的一元二次方程 2 3 0x mx? ? ? 的一个根是 1，则m的值为 4? ．
解：把 1x ? 代入得： 4 0m? ?
解得： 4m ? ? ，
故答案为： 4? ．
15．若关于 x的一元二次方程 2 4 1 0ax x? ? ? 有实数根，则 a的最大整数值为 4 ．
解：?关于 x的一元二次方程 2 4 1 0ax x? ? ? 有实数根，
0a? ? ，且△ 0? ，即△ 24 4 16 4 0a a? ? ? ? ? ，解得 4a? ，
a? 的取值范围为 4a? 且 0a ? ，
所以 a的最大整数值为 4．
故答案为 4．
16．若 4 | 1| 0a b? ? ? ? ，且一元二次方程 2 0kx ax b? ? ? 有实数根，则 k 的取值范围是
4k? 且 0k ? ．
解：? 4 | 1| 0a b? ? ? ? ，
4a? ? ， 1b ? ，
则原方程为 2 4 1 0kx x? ? ? ，
?该一元二次方程有实数根，
?△ 16 4 0k? ? ? ，
解得， 4k? ．
?方程 2 0kx ax b? ? ? 是一元二次方程，
0k? ? ，
故答案为 4k? 且 0k ? ．
17．已知一元二次方程 2 3 4 0x x? ? ? 的两根为 1x 、 2x ，则
2 2
1 1 2 2x x x x? ? ? 13 ．
解： 根据题意得 1 2 3x x? ? ? ， 1 2 4x x ? ? ，
所以 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( 3) ( 4) 13x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
故答案为 13 ．
18．如图，某小区有一个长为 40 米，宽为 26米的矩形场地，计划修建一横两纵的三条同
样宽度的小路，其余部分种草，若使分割的每一块草坪的面积都为 144米 2，设小路的宽度
为 x米，则依题意可列方程为 (40 2 )(26 ) 144 6x x? ? ? ? ．
【分析】设小路的宽度为 x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为 40 2x? ， 26 x? ；那么
根据题意即可得出方程．
解：设小路的宽度为 x米，
那么草坪的总长度和总宽度应该为 40 2x? ， 26 x? ；
根据题意即可得出方程为： (40 2 )(26 ) 144 6x x? ? ? ? ．
故答案为 (40 2 )(26 ) 144 6x x? ? ? ?
19．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利 5 元，每天可售出 200千克，经市场
调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价 1元，销售量将减少 10千克．现该商场要
保证每天盈利 1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价 5 元．
解：设每千克应涨价 x元，由题意列方程得：
(5 )(200 10 ) 1500x x? ? ? ，
解得： 5x ? 或 10x ? ，
为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价 5元；
故答案为：5．
20．对于实数 p，q，我们用符号 {min p， }q 表示 p，q两数中较小的数，如 {1min ，2} 1? ，
{ 2, 3} 3min ? ? ? ? ；若 2{( 1)min x ? ， 2} 1x ? ，则 x ? 1? 或 2 ．
解：若 2 2( 1)x x? ?
则 2{( 1)min x ? ， 2 2} ( 1) 1x x? ? ?
1 2x? ? ， 2 0x ? （不合题意舍去）
若 2 2( 1)x x? ?
则 2{( 1)min x ? ， 2 2} 1x x? ?
1 1x? ? （不合题意舍去）， 2 1x ? ?
故答案为 1? 或 2
三．解答题（共 7小题）
21．解方程：
（1） 2 4 1 0x x? ? ?
（2） 2( 3) 4 ( 3) 0x x x? ? ? ? ．
解：（1） 2 4 1x x? ? ? ，
2 4 4 3x x? ? ? ，
2( 2) 3x ? ? ，
2 3x ? ? ? ，
所以 1 2 3x ? ? ， 2 2 3x ? ? ；
（2） ( 3)( 3 4 ) 0x x x? ? ? ? ，
3 0x ? ? 或 3 4 0x x? ? ? ，
所以 1 3x ? ， 2
3
5
x ? ．
22．已知m是方程 2 2 0x x? ? ? 的一个根，求代数式 2m m? 的值．
解：把 x m? 代入方程 2 2 0x x? ? ? 可得： 2 2 0m m? ? ? ，
即 2 2m m? ? ，
故 2m m? 的值为 2．
23．关于 x的一元二次方程 ( 2)( 3) | |x x m? ? ? ．
（1）求证：此方程必有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根为 1，求方程的另一根及m的值．
解：（1）证明： ( 2)( 3) | |x x m? ? ? ，
即 2 5 6 | | 0x x m? ? ? ? ，
2 24 ( 5) 4(6 | |) 1 4 | |b ac m m? ? ? ? ? ? ? ，
| | 0m? ? ，
2 4 0b ac? ? ? ，
即此方程必有两个不相等的实数根；
（2）解：把 1x ? 代入原方程 ( 2)( 3) | |x x m? ? ? 得： | | 2m ? ，
解得： 2m ? ? ，
即 ( 2)( 3) 2x x? ? ? ，
2 5 4 0x x? ? ? ，
解得： 1 1x ? ， 2 4x ? ，
故方程的另一根为 4，m为 2? ．
24．为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我
快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都
要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 9 天，每天安排 5 场比赛，则该县团
委应邀请多少个足球队参赛？
解：该县团委应邀请 x个足球队参赛．每支球队都需要与其他球队赛 ( 1)x ? 场，但 2队之间
只有 1场比赛，
所以可列方程为：
1 ( 1) 9 5
2
x x ? ? ? ．
整理，得 2 90 0x x? ? ? ．
解得 1 9x ? ? （不合题意，舍去）， 2 10x ? ．
答：该县团委应邀请 10个足球队参赛．
25．阅读下面的例题，
范例：解方程 2 | | 2 0x x? ? ? ，
解：（1）当 0x? 时，原方程化为 2 2 0x x? ? ? ，解得： 1 2x ? ， 2 1x ? ? （不合题意，舍去）．
（2）当 0x ? 时，原方程化为 2 2 0x x? ? ? ，解得： 1 2x ? ? ， 2 1x ? （不合题意，舍去）．
?原方程的根是 1 2x ? ， 2 2x ? ?
请参照例题解方程 2 | 1| 1 0x x? ? ? ? ．
解： 2 | 1| 1 0x x? ? ? ? ，
（1）当 1x? 时，原方程化为 2 0x x? ? ，解得： 1 1x ? ， 2 0x ? （不合题意，舍去）．
（2）当 1x ? 时，原方程化为 2 2 0x x? ? ? ，解得： 1 2x ? ? ， 2 1x ? （不合题意，舍去）．
故原方程的根是 1 1x ? ， 2 2x ? ? ．
26．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科
技设备，每台设备成本价为 30 万元，经过市场调研发现，每台售价为 40万元时，年销售
量为 600台；每台售价为 45万元时，年销售量为 550台．假定该设备的年销售量 y（单位：
台）和销售单价 x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量 y与销售单价 x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于 70万元，如果该公司想获得 10000 万元
的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
解：（1）设年销售量 y与销售单价 x的函数关系式为 ( 0)y kx b k? ? ? ，
将 (40,600)、 (45,550)代入 y kx b? ? ，得：
40 600
45 550
k b
k b
? ??
? ? ??
，解得：
10
1000
k
b
? ??
? ??
，
?年销售量 y与销售单价 x的函数关系式为 10 1000y x? ? ? ．
（2）设此设备的销售单价为 x万元 /台，则每台设备的利润为 ( 30)x ? 万元，销售数量为
( 10 1000)x? ? 台，
根据题意得： ( 30)( 10 1000) 10000x x? ? ? ? ，
整理，得： 2 130 4000 0x x? ? ? ，
解得： 1 50x ? ， 2 80x ? ．
?此设备的销售单价不得高于 70万元，
50x? ? ．
答：该设备的销售单价应是 50万元 /台．
27．阅读材料题：如果 1x ， 2x 是一元二次方程
2 0ax bx c? ? ? 的两个根，那么 1 2
bx x
a
? ? ? ，
1 2
cx x
a
?? ．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以来计算某些代数式的值．
例： 1x ， 2x 是方程
2 6 3 0x x? ? ? 的两个根，求 2 21 2x x? 的值．
可以这样求解： 1 2 6x x? ? ?? ， 1 2 3x x ? ? ，
? 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 ( 6) 2 ( 3) 42x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
请你根据以上解答完成下列问题：
已知 1x ， 2x 是方程
2 4 2 0x x? ? ? 的两根，分别求下列代数式的值．
（1） 1 2( 1)( 1)x x? ? 的值；
（2）
1 2
1 1
x x
? 的值；
（3） 2 21 2 1 2x x x x? 的值．
解： 1x? ， 2x 是方程
2 4 2 0x x? ? ? ，
1 2 4x x? ? ? ， 1 2 2x x ? ，
?（1） 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( ) 1 2 4 1 7x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ；
（2） 1 2
1 2 1 2
1 1 2
x x
x x x x
?
? ? ?
?
，；
（3） 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 4 8x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ．
