八年级（下）数学 第17章 一元二次方程 单元测试卷
一、选择题
1．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是
A． B． C． D．
2．方程的一次项系数为
A．4 B．0 C．81 D．
3．方程：的解是
A． B． C．， D．
4．关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为
A． B．2 C． D．1
5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是
A． B． C． D．
6．以为根的一元二次方程可能是
A． B． C． D．
7．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为
A． B．
C． D．
8．一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为，则满足等式
A． B． C． D．
9．已知关于的一元二次方程的两个根为，，则方程的根为
A．， B．， C．， D．，
10．我们把称为一元二次方程（其中的共轭判别式，我们知道当时，一元二次方程（其中有两个相等的实数根：；那么其共轭判别式时，一元二次方程（其中的根x＝______，下列选项中正确的是
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．已知关于的方程的一个根为，则的值为 ．
12．一元二次方程的解是、，则 ．
13．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ．
14．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
15．用配方法解方程时，将方程化为的形式，则 ， ．
16．某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利1080元，每件应降价 ．
17．已知，则 ．
18．如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为 ．
19．已知关于的一元二次方程的两根和，且，则的值是 ．
20．对于实数、，我们用符号，表示，两数中较大的数，如，，若，，则 ．
三．解答题（共7小题）
21．解方程
（1）
（2）
22．关于的方程的一个根为，求方程的另一个根及的值．
23．已知关于的元二次方程
（1）求证：对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设的两个实数根分别为、，若，求的值．
24．阳光小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设步道的宽为，求步道的宽．
25．某学校购买运动鞋，如果购买不超过25双，运动鞋的单价为每双200元；如果购买超过25双，每多购买一双，运动鞋单价每双降低4元；但运动鞋每双单价不得低于140元．
（1）设购买了双运动鞋，运动鞋的单价为元，请写出，之间的函数关系，并且说明的取值范围．
（2）如果学校总共支付了5400元，那么总共购买了多少双运动鞋？
26．阅读下面的例题：
解方程的过程如下：
（1）当时，原方程化为，解得：， （舍去）．
（2）当时，原方程可化为，解得：， （舍去）．
原方程的解：，．
请参照例题解方程：．
27．阅读下面的材料：
的根为，
；
请利用这一结论解决下列问题：
（1）若的两根为和3，求和的值．
（2）设方程的两根为、，求的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是
A． B． C． D．
解：、△，
一元二次方程有两个不相等的实数根；
、原方程可变形为，
△，
一元二次方程有两个相等的实数根；
、原方程可变形为，
△，
一元二次方程有两个不相等的实数根；
、△，
一元二次方程没有实数根．
故选：．
2．方程的一次项系数为
A．4 B．0 C．81 D．
解：方程的一般形式是，它的一次项系数是0，
故选：．
3．方程：的解是
A． B． C．， D．
解：移项得，，．故选：．
4．关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为
A． B．2 C． D．1
解：把代入方程得，解得．
故选：．
5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是
A． B． C． D．
解：用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是，
故选：．
6．以为根的一元二次方程可能是
A． B． C． D．
解：由题意可知：二次项系数为1，一次项系数为，常数项为，
故选：．
7．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为
A． B．
C． D．
解：全班有名同学，
每名同学要送出张；
又是互送照片，
总共送的张数应该是．
故选：．
8．一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为，则满足等式
A． B． C． D．
解：第一次降价后的价格为：；
第二次降价后的价格为：；
两次降价后的价格为16元，
．
故选：．
9．已知关于的一元二次方程的两个根为，，则方程的根为
A．， B．， C．， D．，
解：关于的一元二次方程的两个根为，，
方程中或，
解得：或，
即，，
故选：．
10．我们把称为一元二次方程（其中的共轭判别式，我们知道当时，一元二次方程（其中有两个相等的实数根：；那么其共轭判别式时，一元二次方程（其中的根x＝______，下列选项中正确的是
A． B． C． D．
解：，
，
，
；
故选：．
二．填空题（共10小题）
11．已知关于的方程的一个根为，则的值为 ．
解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
12．一元二次方程的解是、，则 ．
解：一元二次方程的解是、，
，，
则，
故答案为：
13．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ．
解：根据题意得：△，
解得：．
故答案为：．
14．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是 且 ．
解：，
，，
原方程为，
该一元二次方程有实数根，
△，
解得：，
方程是一元二次方程，
，
的取值范围是：且，
故答案为：且．
15．用配方法解方程时，将方程化为的形式，则 1 ， ．
解：，
，
，
，
所以，，
故答案为：1，6．
16．某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利1080元，每件应降价 2元或14元 ．
解：设每件降价元，那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件；
可列方程为：．
解得：，．
答：每件应降价2元或14元．
故答案为：2元或14元．
17．已知，则 2 ．
解：设，
，
，
解得，，，
或（舍去），
故答案为：2．
18．如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为 ．
解：设剪去的小正方形边长是，则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意得：．
故答案是：．
19．已知关于的一元二次方程的两根和，且，则的值是 或 ．
解：，
，
，
，
或．
①如果，那么，
将代入，
得，
整理，得，
解得；
②如果，
则△．
解得：．
所以的值为或．
故答案为：或．
20．对于实数、，我们用符号，表示，两数中较大的数，如，，若，，则 3或 ．
解：，，
当时，，不可能得出最大值为9，
当时，，
则，
解得：（不合题意，舍去），，
，
当时，，
则，
，
，，
解得：，（不合题意，舍去），
则综上所述：的值为3或．
故答案为：3或．
三．解答题（共7小题）
21．解方程
（1）
（2）
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
解：（1），
，
，
所以，；
（2），
，
或，
所以，．
22．关于的方程的一个根为，求方程的另一个根及的值．
【分析】先把代入方程得关于的方程，可求出，然后利用根与系数的关系求方程的另一根．
解：把代入方程得，解得，
设方程的另一个根为，则，
所以，
即方程的另一个根为．
23．已知关于的元二次方程
（1）求证：对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设的两个实数根分别为、，若，求的值．
【分析】（1）将方程化为一般式后根据判别式即可求出答案；
（2）利用根与系数的关系即可求出答案．
解：（1）由题意可知：，
△，
对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）原方程可化为，
，，
，
，
，
，
，
24．阳光小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设步道的宽为，求步道的宽．
【分析】根据“两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等”列出方程并解答．
解：由题意，得：
化简，得．
．
．
答：步道的宽为．
25．某学校购买运动鞋，如果购买不超过25双，运动鞋的单价为每双200元；如果购买超过25双，每多购买一双，运动鞋单价每双降低4元；但运动鞋每双单价不得低于140元．
（1）设购买了双运动鞋，运动鞋的单价为元，请写出，之间的函数关系，并且说明的取值范围．
（2）如果学校总共支付了5400元，那么总共购买了多少双运动鞋？
【分析】（1）令，解之可得出单价恰好降为140元时的购买数量，分，及三种情况，可找出的值；
（2）分别求出单价为200，140时的购买数量，进而可得出，由总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：（1）令，
解得：．
当时，；
当时，；
当时，．
综上所述：．
（2）（双，，
运动鞋的单价不为200元；
（双，不为整数，
．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（舍去）．
答：总共购买了30双运动鞋．
26．阅读下面的例题：
解方程的过程如下：
（1）当时，原方程化为，解得：， （舍去）．
（2）当时，原方程可化为，解得：， （舍去）．
原方程的解：，．
请参照例题解方程：．
【分析】分类讨论：当时，原方程化为；当时，原方程可化为，然后利用因式分解法解两个方程，再利用的范围确定满足原方程的解．
解：当时，原方程化为，解得：，（舍去）．
当时，原方程可化为，解得：， （舍去）．
原方程的解：，．
27．阅读下面的材料：
的根为，
；
请利用这一结论解决下列问题：
（1）若的两根为和3，求和的值．
（2）设方程的两根为、，求的值．
【分析】（1）可以直接利用阅读材料的结论，其中，则为两根之和的相反数，为两根之积；
（2）把所求式子整理为和根与系数有关的式子，然后把两根之和、两根之积代入即可求出其值．
解：（1），，
，；
（2），，
八年级（下）数学 第 17章 一元二次方程 单元测试卷
一、选择题
1．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是 ( )
A． 2 2 0x x? ? B． 2( 1) 0x ? ? C． 2 1x ? D． 2 1 0x ? ?
2．方程 24 81x ? 的一次项系数为 ( )
A．4 B．0 C．81 D． 81?
3．方程： 2 25 0x ? ? 的解是 ( )
A． 5x ? B． 5x ? ? C． 1 5x ? ? ， 2 5x ? D． 25x ? ?
4．关于 x的一元二次方程 2 6 0x bx? ? ? 的一个根为 2，则 b的值为 ( )
A． 2? B．2 C． 1? D．1
5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上 4的是 ( )
A． 2 2 5x x? ? B． 2 4 5x x? ? C． 22 4 5x x? ? D． 24 4 5x x? ?
6．以
2 4
2
b b cx ? ?? 为根的一元二次方程可能是 ( )
A． 2 0x bx c? ? ? B． 2 0x bx c? ? ? C． 2 0x bx c? ? ? D． 2 0x bx c? ? ?
7．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1056张
照片，如果全班有 x名同学，根据题意，列出方程为 ( )
A． ( 1) 1056x x ? ? B． ( 1) 1056 2x x ? ? ?
C． ( 1) 1056x x ? ? D． 2 ( 1) 1056x x ? ?
8．一种药品原价每盒 25元，经过两次降价后每盒 16元，设两次降价的百分率都为 x，则 x
满足等式 ( )
A．16(1 2 ) 25x? ? B． 25(1 2 ) 16x? ? C． 225(1 ) 16x? ? D． 216(1 ) 25x? ?
9．已知关于 x 的一元二次方程 2 ( 0)mx nx p m? ? ? 的两个根为 1 3x ? ， 2 5x ? ，则方程
2(2 5) (2 5) 0m x n x p? ? ? ? ? 的根为 ( )
A． 1 3x ? ， 2 5x ? B． 1 1x ? ? ， 2 0x ? C． 1 2x ? ? ， 2 0x ? D． 1 11x ? ， 2 15x ?
10．我们把 2 4 0b ac? ? 称为一元二次方程 2 0ax bx c? ? ? （其中 0)a ? 的共轭判别式，我们
知道当 2 4 0b ac? ? 时，一元二次方程 2 0ax bx c? ? ? （其中 0)a ? 有两个相等的实数根：
1 2 2
bx x
a
?
? ? ；那么其共轭判别式 2 4 0b ac? ? 时，一元二次方程 2 0ax bx c? ? ? （其中 0)a ?
的根 x＝______，下列选项中正确的是 ( )
A． ( 1 2) c
a
?
? ? B． ( 1 2) b
a
?
? ? C． ( 1 2)
2
c
a
? ? D． ( 1 2)
2
b
a
? ?
二．填空题（共 10小题）
11．已知关于 x的方程 25 2 0x mx m? ? ? 的一个根为 1
2
? ，则m的值为 ．
12．一元二次方程 2 2 3 0x x? ? ? 的解是 1x 、 2 1 2( )x x x? ，则 1 2x x? ? ．
13．如果关于 x的一元二次方程 2 4 0x x k? ? ? 有实数根，那么 k的取值范围是 ．
14．若 | 1 | 4 0b a? ? ? ? ，且一元二次方程 2 0kx ax b? ? ? 有实数根，则 k的取值范围是 ．
15．用配方法解方程 2 2 5 0x x? ? ? 时，将方程化为 2( )x m n? ? 的形式，则 m ? ，
n ? ．
16．某种文化衫，平均每天销售 40件，每件盈利 20元，若每件降价 1 元，则每天可多售
10件，如果每天要盈利 1080元，每件应降价 ．
17．已知 1 1( )( 1) 2x x
x x
? ? ? ? ，则
1x
x
? ? ．
18．如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽 9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，
然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 248cm ，求剪去的
小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题意可列方程为 ．
19 ． 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 2 2(2 1) 2 0x k x k? ? ? ? ? 的 两 根 1x 和 2x ， 且
2
1 1 2 1 22 2x x x x x? ? ? ，则 k的值是 ．
20．对于实数 p、q，我们用符号 {max p， }q 表示 p，q两数中较大的数，如 {1max ，2} 2? ，
若 2{( 1)max x ? ， 2} 9x ? ，则 x ? ．
三．解答题（共 7小题）
21．解方程
（1） 2 2 4x x? ?
（2） 2( 3) 3 ( 3)x x x? ? ?
22．关于 x的方程 23 2 0x x m? ? ? 的一个根为 1? ，求方程的另一个根及m的值．
23．已知关于 x的元二次方程 ( 2)( 3) | |x x k? ? ?
（1）求证：对于任何实数 k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设 ( 2)( 3) | |x x k? ? ? 的两个实数根分别为 1x 、 2x ，若
2 2
1 2 21x x? ? ，求 k的值．
24．阳光小区附近有一块长100m，宽 80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道
（一纵一横）和一个边长为步道宽度 7 倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形
休闲广场的面积相等，设步道的宽为 ( )a m ，求步道的宽．
25．某学校购买运动鞋，如果购买不超过 25双，运动鞋的单价为每双 200元；如果购买超
过 25双，每多购买一双，运动鞋单价每双降低 4元；但运动鞋每双单价不得低于 140元．
（1）设购买了 x双运动鞋，运动鞋的单价为 y元，请写出 x， y之间的函数关系，并且说
明 x的取值范围．
（2）如果学校总共支付了 5400元，那么总共购买了多少双运动鞋？
26．阅读下面的例题：
解方程 2 | | 2 0m m? ? ? 的过程如下：
（1）当 0m? 时，原方程化为 2 2 0m m? ? ? ，解得： 1 2m ? ， 2 1m ? ? （舍去）．
（2）当 0m ? 时，原方程可化为 2 2 0m m? ? ? ，解得： 1 2m ? ? ， 2 1m ? （舍去）．
原方程的解： 1 2m ? ， 2 2m ? ? ．
请参照例题解方程： 2 | 1| 1 0m m? ? ? ? ．
27．阅读下面的材料：
2 0( 0)ax bx c a? ? ? ?? 的根为
2
1
4
2
b b acx
a
? ? ?
? ，
2
2
4
2
b b acx
a
? ? ?
?
? 1 2
bx x
a
? ? ? ； 1 2
cx x
a
??
请利用这一结论解决下列问题：
（1）若 2 0x bx c? ? ? 的两根为 2? 和 3，求 b和 c的值．
（2）设方程 22 3 1 0x x? ? ? 的两根为 1x 、 2x ，求
1 2
1 1
x x
? 的值．
参考答案
一．选择题（共 10小题）
1．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是 ( )
A． 2 2 0x x? ? B． 2( 1) 0x ? ? C． 2 1x ? D． 2 1 0x ? ?
解： A、?△ 22 4 1 0 4 0? ? ? ? ? ? ，
?一元二次方程 2 2 0x x? ? 有两个不相等的实数根；
B、原方程可变形为 2 2 1 0x x? ? ? ，
?△ 2( 2) 4 1 1 0? ? ? ? ? ? ，
?一元二次方程 2( 1) 0x ? ? 有两个相等的实数根；
C、原方程可变形为 2 1 0x ? ? ，
?△ 20 4 1 ( 1) 4 0? ? ? ? ? ? ? ，
?一元二次方程 2 1x ? 有两个不相等的实数根；
D、?△ 20 4 1 1 4 0? ? ? ? ? ? ? ，
?一元二次方程 2 1 0x ? ? 没有实数根．
故选： B．
2．方程 24 81x ? 的一次项系数为 ( )
A．4 B．0 C．81 D． 81?
解：方程 24 81x ? 的一般形式是 24 81 0x ? ? ，它的一次项系数是 0，
故选： B．
3．方程： 2 25 0x ? ? 的解是 ( )
A． 5x ? B． 5x ? ? C． 1 5x ? ? ， 2 5x ? D． 25x ? ?
解：移项得 2 25x ? ， 1 5x? ? ? ， 2 5x ? ．故选：C．
4．关于 x的一元二次方程 2 6 0x bx? ? ? 的一个根为 2，则 b的值为 ( )
A． 2? B．2 C． 1? D．1
解：把 2x ? 代入方程 2 6 0x bx? ? ? 得 4 2 6 0b? ? ? ，解得 1b ? ．
故选：D．
5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上 4的是 ( )
A． 2 2 5x x? ? B． 2 4 5x x? ? C． 22 4 5x x? ? D． 24 4 5x x? ?
解：用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上 4的是 2 4 5x x? ? ，
故选： B．
6．以
2 4
2
b b cx ? ?? 为根的一元二次方程可能是 ( )
A． 2 0x bx c? ? ? B． 2 0x bx c? ? ? C． 2 0x bx c? ? ? D． 2 0x bx c? ? ?
解：由题意可知：二次项系数为 1，一次项系数为 b? ，常数项为 c，
故选：C．
7．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1056张
照片，如果全班有 x名同学，根据题意，列出方程为 ( )
A． ( 1) 1056x x ? ? B． ( 1) 1056 2x x ? ? ?
C． ( 1) 1056x x ? ? D． 2 ( 1) 1056x x ? ?
解：?全班有 x名同学，
?每名同学要送出 ( 1)x ? 张；
又?是互送照片，
?总共送的张数应该是 ( 1) 1056x x ? ? ．
故选：C．
8．一种药品原价每盒 25元，经过两次降价后每盒 16元，设两次降价的百分率都为 x，则 x
满足等式 ( )
A．16(1 2 ) 25x? ? B． 25(1 2 ) 16x? ? C． 225(1 ) 16x? ? D． 216(1 ) 25x? ?
解：第一次降价后的价格为： 25 (1 )x? ? ；
第二次降价后的价格为： 225 (1 )x? ? ；
?两次降价后的价格为 16元，
225(1 ) 16x? ? ? ．
故选：C．
9．已知关于 x 的一元二次方程 2 ( 0)mx nx p m? ? ? 的两个根为 1 3x ? ， 2 5x ? ，则方程
2(2 5) (2 5) 0m x n x p? ? ? ? ? 的根为 ( )
A． 1 3x ? ， 2 5x ? B． 1 1x ? ? ， 2 0x ? C． 1 2x ? ? ， 2 0x ? D． 1 11x ? ， 2 15x ?
解：?关于 x的一元二次方程 2 ( 0)mx nx p m? ? ? 的两个根为 1 3x ? ， 2 5x ? ，
?方程 2(2 5) (2 5) 0m x n x p? ? ? ? ? 中 2 5 3x ? ? 或 2 5 5x ? ? ，
解得： 1x ? ? 或 0x ? ，
即 1 1x ? ? ， 2 0x ? ，
故选： B．
10．我们把 2 4 0b ac? ? 称为一元二次方程 2 0ax bx c? ? ? （其中 0)a ? 的共轭判别式，我们
知道当 2 4 0b ac? ? 时，一元二次方程 2 0ax bx c? ? ? （其中 0)a ? 有两个相等的实数根：
1 2 2
bx x
a
?
? ? ；那么其共轭判别式 2 4 0b ac? ? 时，一元二次方程 2 0ax bx c? ? ? （其中 0)a ?
的根 x＝______，下列选项中正确的是 ( )
A． ( 1 2) c
a
?
? ? B． ( 1 2) b
a
?
? ? C． ( 1 2)
2
c
a
? ? D． ( 1 2)
2
b
a
? ?
解： 2 4 0b ac? ?? ，
2 4b ac? ? ? ，
2 24 2 0b ac b? ? ? ? ，
2 24 2 2
2 2 2
b b ac b b b bx
a a a
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ；
故选：D．
二．填空题（共 10小题）
11．已知关于 x的方程 25 2 0x mx m? ? ? 的一个根为 1
2
? ，则m的值为 5
6
? ．
解：把
1
2
x ? ? 代入方程 25 2 0x mx m? ? ? 得： 5 1 2 0
4 2
m m? ? ? ，
解得：
5
6
m ? ? ，
故答案为：
5
6
? ．
12．一元二次方程 2 2 3 0x x? ? ? 的解是 1x 、 2 1 2( )x x x? ，则 1 2x x? ? 4? ．
解：?一元二次方程 2 2 3 0x x? ? ? 的解是 1x 、 2 1 2( )x x x? ，
1 2 2x x? ? ? ， 1 2 3x x ? ? ，
则 21 2 1 2 1 2( ) 4 4 12 4x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
故答案为： 4?
13．如果关于 x的一元二次方程 2 4 0x x k? ? ? 有实数根，那么 k的取值范围是 4k? ．
解：根据题意得：△ 16 4 0k? ? ? ，
解得： 4k? ．
故答案为： 4k? ．
14．若 | 1 | 4 0b a? ? ? ? ，且一元二次方程 2 0kx ax b? ? ? 有实数根，则 k的取值范围是
4k? 且 0k ? ．
解： | 1 | 4 0b a? ? ? ?? ，
1b? ? ， 4a ? ，
?原方程为 2 4 1 0kx x? ? ? ，
?该一元二次方程有实数根，
?△ 16 4 0k? ? ? ，
解得： 4k? ，
?方程 2 0kx ax b? ? ? 是一元二次方程，
0k? ? ，
k的取值范围是： 4k? 且 0k ? ，
故答案为： 4k? 且 0k ? ．
15．用配方法解方程 2 2 5 0x x? ? ? 时，将方程化为 2( )x m n? ? 的形式，则 m ? 1 ，
n ? ．
解： 2 2 5 0x x? ? ? ，
2 2 5x x? ? ，
2 2 1 5 1x x? ? ? ? ，
2( 1) 6x ? ? ，
所以 1m ? ， 6n ? ，
故答案为：1，6．
16．某种文化衫，平均每天销售 40件，每件盈利 20元，若每件降价 1 元，则每天可多售
10件，如果每天要盈利 1080元，每件应降价 2元或 14元 ．
解：设每件降价 x元，那么降价后每件盈利 (20 )x? 元，每天销售的数量为 (40 10 )x? 件；
可列方程为： (20 )(40 10 ) 1080x x? ? ? ．
解得： 1 2x ? ， 2 14x ? ．
答：每件应降价 2元或 14元．
故答案为：2元或 14元．
17．已知 1 1( )( 1) 2x x
x x
? ? ? ? ，则
1x
x
? ? 2 ．
解：设
1x a
x
? ? ，
1 1( )( 1) 2x x
x x
? ? ? ?? ，
( 1) 2a a? ? ? ，
解得， 1 2a ? ， 2 1a ? ? ，
1 2x
x
? ? ? 或
1 1x
x
? ? ? （舍去），
故答案为：2．
18．如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽 9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，
然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 248cm ，求剪去的
小 正 方 形 的 边 长 ． 设 剪 去 的 小 正 方 形 边 长 是 xcm ， 根 据 题 意 可 列 方 程 为
(15 2 )(9 2 ) 48x x? ? ? ．
解：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为 (15 2 )x cm? ，宽为 (9 2 )x cm? ，
根据题意得： (15 2 )(9 2 ) 48x x? ? ? ．
故答案是： (15 2 )(9 2 ) 48x x? ? ? ．
19 ． 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 2 2(2 1) 2 0x k x k? ? ? ? ? 的 两 根 1x 和 2x ， 且
2
1 1 2 1 22 2x x x x x? ? ? ，则 k的值是 2? 或
9
4
? ．
解： 21 1 2 1 22 2x x x x x? ? ?? ，
2
1 1 2 1 22 2 0x x x x x? ? ? ? ，
1 1 2 1( 2) ( 2) 0x x x x? ? ? ? ，
1 1 2( 2)( ) 0x x x? ? ? ，
1 2 0x? ? ? 或 1 2 0x x? ? ．
①如果 1 2 0x ? ? ，那么 1 2x ? ，
将 2x ? 代入 2 2(2 1) 2 0x k x k? ? ? ? ? ，
得 24 2(2 1) 2 0k k? ? ? ? ? ，
整理，得 2 4 4 0k k? ? ? ，
解得 2k ? ? ；
②如果 1 2 0x x? ? ，
则△ 2 2(2 1) 4( 2) 0k k? ? ? ? ? ．
解得：
9
4
k ? ? ．
所以 k的值为 2? 或 9
4
? ．
故答案为： 2? 或 9
4
? ．
20．对于实数 p、q，我们用符号 {max p， }q 表示 p，q两数中较大的数，如 {1max ，2} 2? ，
若 2{( 1)max x ? ， 2} 9x ? ，则 x ? 3或 2? ．
解： 2{( 1)max x ?? ， 2} 9x ? ，
当 0.5x ? 时， 2 2( 1)x x? ? ，不可能得出最大值为 9，
?当 0.5x ? 时， 2 2( 1)x x? ? ，
则 2 9x ? ，
解得： 1 3x ? ? （不合题意，舍去）， 2 3x ? ，
2 2( 1)x x? ? ，
当 0.5x ? 时， 2 2( 1)x x? ? ，
则 2( 1) 9x ? ? ，
1 3x ? ? ? ，
1 3x ? ? ， 1 3x ? ? ? ，
解得： 1 2x ? ? ， 2 4x ? （不合题意，舍去），
则综上所述： x的值为 3或 2? ．
故答案为：3或 2? ．
三．解答题（共 7小题）
21．解方程
（1） 2 2 4x x? ?
（2） 2( 3) 3 ( 3)x x x? ? ?
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）先移项得到 2( 3) 3 ( 3) 0x x x? ? ? ? ，然后利用因式分解法解方程．
解：（1） 2 2 1 5x x? ? ? ，
2( 1) 5x ? ? ，
1 5x ? ? ? ，
所以 1 1 5x ? ? ， 2 1 5x ? ? ；
（2） 2( 3) 3 ( 3) 0x x x? ? ? ? ，
( 3)(2 3 ) 0x x? ? ? ，
3 0x ? ? 或 2 3 0x? ? ，
所以 1 3x ? ， 2
2
3
x ? ．
22．关于 x的方程 23 2 0x x m? ? ? 的一个根为 1? ，求方程的另一个根及m的值．
【分析】先把 1x ? ? 代入方程 23 2 0x x m? ? ? 得关于m 的方程，可求出 5m ? ? ，然后利用
根与系数的关系求方程的另一根．
解：把 1x ? ? 代入方程 23 2 0x x m? ? ? 得 3 2 0m? ? ? ，解得 5m ? ? ，
设方程的另一个根为 t，则 1
3
mt? ? ?? ，
所以
5
3
t ? ，
即方程的另一个根为
5
3
．
23．已知关于 x的元二次方程 ( 2)( 3) | |x x k? ? ?
（1）求证：对于任何实数 k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设 ( 2)( 3) | |x x k? ? ? 的两个实数根分别为 1x 、 2x ，若
2 2
1 2 21x x? ? ，求 k的值．
【分析】（1）将方程化为一般式后根据判别式即可求出答案；
（2）利用根与系数的关系即可求出答案．
解：（1）由题意可知： 2 6 | | 0x x k? ? ? ? ，
△ 1 4(6 | |) 25 4 | | 0k k? ? ? ? ? ? ，
?对于任何实数 k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）原方程可化为 2 6 | | 0x x k? ? ? ? ，
1 2 1x x? ? ? ， 1 2 6 | |x x k? ? ? ，
2 2
1 2 21x x? ?? ，
2
1 2 1 2( ) 2 21x x x x? ? ? ? ，
1 2( 6 | |) 21k? ? ? ? ? ，
| | 4k? ? ，
4k? ? ? ，
24．阳光小区附近有一块长100m，宽 80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道
（一纵一横）和一个边长为步道宽度 7 倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形
休闲广场的面积相等，设步道的宽为 ( )a m ，求步道的宽．
【分析】根据“两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等”列出方程并解答．
解：由题意，得： 2 2100 80 (7 )a a a a? ? ?
化简，得 2 3.6a a? ．
0a ?? ．
3.6a? ? ．
答：步道的宽为 3.6m．
25．某学校购买运动鞋，如果购买不超过 25双，运动鞋的单价为每双 200元；如果购买超
过 25双，每多购买一双，运动鞋单价每双降低 4元；但运动鞋每双单价不得低于 140元．
（1）设购买了 x双运动鞋，运动鞋的单价为 y元，请写出 x， y之间的函数关系，并且说
明 x的取值范围．
（2）如果学校总共支付了 5400元，那么总共购买了多少双运动鞋？
【分析】（1）令 200 4( 25) 140x? ? ? ，解之可得出单价恰好降为 140 元时的购买数量，分
0 25x? ? ， 25 40x? ? 及 40x ? 三种情况，可找出 y的值；
（2）分别求出单价为 200，140时的购买数量，进而可得出 25 38x? ? ，由总价 ?单价?数
量，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：（1）令 200 4( 25) 140x? ? ? ，
解得： 40x ? ．
当 0 25x? ? 时， 200y ? ；
当 25 40x? ? 时， 200 4( 25) 4 300y x x? ? ? ? ? ? ；
当 40x ? 时， 140y ? ．
综上所述：
200(0 25)
4 300(25 40)
140( 40)
x
y x x
x
??
?? ? ? ??
? ??
?
? ．
（2） 5400 200 27? ?? （双 )， 27 25? ，
?运动鞋的单价不为 200元；
45400 140 38
7
? ?? （双 )， 438
7
不为整数，
25 38x? ? ? ．
依题意，得： ( 4 300) 5400x x? ? ? ，
整理，得： 2 75 1350 0x x? ? ? ，
解得： 1 30x ? ， 2 45x ? （舍去）．
答：总共购买了 30双运动鞋．
26．阅读下面的例题：
解方程 2 | | 2 0m m? ? ? 的过程如下：
（1）当 0m? 时，原方程化为 2 2 0m m? ? ? ，解得： 1 2m ? ， 2 1m ? ? （舍去）．
（2）当 0m ? 时，原方程可化为 2 2 0m m? ? ? ，解得： 1 2m ? ? ， 2 1m ? （舍去）．
原方程的解： 1 2m ? ， 2 2m ? ? ．
请参照例题解方程： 2 | 1| 1 0m m? ? ? ? ．
【分析】分类讨论：当 1m? 时，原方程化为 2 0m m? ? ；当 1m ? 时，原方程可化为
2 2 0m m? ? ? ，然后利用因式分解法解两个方程，再利用m的范围确定满足原方程的解．
解：当 1m? 时，原方程化为 2 0m m? ? ，解得： 1 1m ? ， 2 0m ? （舍去）．
当 1m ? 时，原方程可化为 2 2 0m m? ? ? ，解得： 1 2m ? ? ， 2 1m ? （舍去）．
原方程的解： 1 1m ? ， 2 2m ? ? ．
27．阅读下面的材料：
2 0( 0)ax bx c a? ? ? ?? 的根为
2
1
4
2
b b acx
a
? ? ?
? ，
2
2
4
2
b b acx
a
? ? ?
?
? 1 2
bx x
a
? ? ? ； 1 2
cx x
a
??
请利用这一结论解决下列问题：
（1）若 2 0x bx c? ? ? 的两根为 2? 和 3，求 b和 c的值．
（2）设方程 22 3 1 0x x? ? ? 的两根为 1x 、 2x ，求
1 2
1 1
x x
? 的值．
【分析】（1）可以直接利用阅读材料的结论，其中 1a ? ，则 b为两根之和的相反数， c 为
两根之积；
（2）把所求式子整理为和根与系数有关的式子，然后把两根之和、两根之积代入即可求出
其值．
解：（1） 2 3 1? ? ?? ， 1b? ? ? ，
2 3 6? ? ? ?? ， 6c? ? ? ；
（2） 1 2
3
2
x x? ?? ， 1 2
1
2
x x ? ，
? 1 2
1 2 1 2
3
1 1 2 3
1
2
x x
x x x x
?
? ? ? ?
