【备战2020】中考数学二轮专题：函数综合复习（相切）复习学案（上海地区专用）

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备战2020中考数学二轮专题复习学案
函数综合复习（相切）
函数基础知识点梳理：
反比例函数 一次函数 二次函数
最高次系 数符号
图象
性质 图象经过一、三象限 在每一个象限内，随的增大而减小。 1.图象经过二、四象限 2.在每一象限内，随的增大而增大。 1.图象经过一、三象限 2.随的增大而增大。 1.图象经过二、四象限 2.随的增大而减小。 1.开口向上 2.对称轴：直 3.顶点坐标： 1.开口向下 2.对称轴：直 3.顶点坐标：

二、典型例题

【备注】本部分为2个例题+1个练习，每题讲解时间大概为7分钟左右，讲解过程中注意边讲边练
例1.已知：如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，以3为半径的⊙与轴相切，直线过点，且和⊙相切，与轴相交于点C。（★★★★）
（1）求直线的解析式；
（2）若抛物线经过点和，顶点在⊙上，求抛物线的解析式；
(3) 若点在直线上，且以为圆心，为半径的圆与⊙相切，求点的坐标。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：，，点坐标可求；
2.其它条件：直线过点，⊙和直线相切。
二.求直线的解析式：
1.先求解点的坐标：过点作垂线，利用三角比求解点的坐标；
2.再将、点的坐标代入直线解析式，解方程组可得。
三.求抛物线的解析式：
1.过OB的中点F作HF垂直于轴交⊙B于点H，联结BH：可求得点；
2.将、代入函数解析式，解方程组。
四.当两圆相切时，求点的坐标：
1先表示两圆的半径和圆心距：，，；
2.根据两圆相切关系求解的大小：
①当两圆外切时：
②当两圆内切时：
3.在根据点在直线上求解点的坐标。
【满分解答】
（1）过B作BD垂直交于点D，
∵⊙B与相切，
∴BD=3
在中， AB=5，
在、中， ，
∵AO=2，∴CO=1.5。
设直线的解析式为，代入得，
∴
（2）过OB的中点F作HF垂直于轴交⊙B于点H，联结BH。
∵在中，BH=3，BF=1.5，
∴
将、代入
得
（3）当两圆外切时，AE=2，、
当两圆内切时，AE=8，、
对应练习：
1.在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点。（★★★★）
（1）求该抛物线的表达式并写出顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一动点，如果直径为4的⊙P与轴相切，求点P的坐标。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：、；
2.二次函数经过、两点。
二.求解二次函数解析式：将、两点代入函数解析式，解方程组。
三.当⊙P与轴相切，求点P的坐标：
1.⊙P的半径；
2.因为⊙P与轴相切，则点的横坐标为；
3.再根据点在函数图象上，求解点的坐标。
【满分解答】
（1）把（0，2）、（3，5）分别代入
得 解得
∴抛物线的解析式为，抛物线的顶点为
（2）设点P到y轴的距离为d，⊙的半径为r
∵⊙与轴相切 ∴
∴点P的横坐标为
当时， ∴点P的坐标为
当时， ∴点P的坐标为
∴点P的坐标为或.

例2.二次函数的图像的顶点为A，与y轴交于点B，以AB为边在第二象限内作等边三角形ABC。（★★★★）
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；
（2）点在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标；
（3）以x轴上的点N为圆心，1为半径的圆，与以点C为圆心，CM的长为半径的圆相切，直接写出点N的坐标。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：A，B，；
2.三角形ABC为等边三角形。
二.求直线AB的表达式和点C的坐标：直接计算求解。
三.当△ABM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标：
1.利用∥AB求解直线的方程；
2.在根据点在直线上求点坐标。
四.当⊙与⊙相切时，直接写出点N的坐标：
1.设，并表示出两个圆的半径和圆心距：，，；
2.利用两圆相切列等式计算求解。（分内切和外切两个情况）
【满分解答】
（1）二次函数的图像的顶点A，与y轴的交点B，
设直线AB的表达式为，
可求得 ，．所以直线AB的表达式为．
可得,∵,
∴．
在Rt△BAO中，由勾股定理得：AB=4．
∴AC=4．点．
（2）∵点C、M都在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，
∴∥AB．
设直线CM的表达式为，点在直线CM上，
可得 ．
∴直线CM的表达式为．
可得点M的坐标：．
（3）点N的坐标，，，．


三、巩固练习：

【备注】本部分为巩固训练，时间为8分钟，学生独立完成后再讲解。
1.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A和点B。
二次函数的图象经过点B和点，顶点为。（★★★★）
（1）求这个二次函数的解析式，并求出P点坐标；
（2）若点D在二次函数图象的对称轴上，且，求PD的长；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为直径的圆与圆O相切，求圆O的半径。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：，，，点坐标可求；
2.二次函数的图形经过，两点。
二.二次函数的解析式和顶点P的坐标：将，两点代入函数解析式，解方程组，再用配方法求顶点坐标。
三.当时，求PD的长：
1.先求解点的坐标：利用求解方程，在求解点的坐标；
2.用两点间距离公式直接计算的长。（也可以用几何法求解）
四.以PD为直径的圆与圆O相切，求圆O的半径：
1.表示出两圆的半径和圆心距：，（为所求量），（可求）；
2.再根据两圆相切情况，分类讨论求圆O的半径。

【满分解答】
（1）因为直线分别与x轴、y轴交于点A和点B．
由得，，得， 所以
把代入中，得
， 解得
∴这个二次函数的解析式为
，P点坐标为P
（２）设二次函数图象的对称轴与直线交于E点，与x轴交于F点
把代入得，
　　　，　∴，∴
∵PE//OB，OF=AF，　∴
∵AD∥BP，∴，
（3）∵，　　 ∴，∴
设圆O的半径为，以PD为直径的圆与圆O相切时，只有外切，
∴， 解得：，
即圆O的半径为或 。













回顾总结：
函数综合题目考点分析：
求解函数解析式，以二次函数为主；
求解相关点的坐标，二次函数中一般考察求对称轴、顶点坐标；
以函数为背景，考察相似、等腰、相切、平行四边形、面积等相关知识点；该类题型综合性很强，需要及时画图观察。













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