3.4 基本不等式（二）同步练习（含答案解析）

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基本不等式（二）
班级：____________ 姓名：__________________
1．下列结论正确的是(　　)
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2 B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2 D．当02．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是(　　)
A．lg(x2＋1)≥lg(2x)　　　 B．x2＋1>2x C.≤1 D．x＋≥2
3．已知0A.　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.
4．函数y＝3x2＋的最小值是(　　)
A．3－3 B．3 C．6 D．6－3
5．已知a＋2b＝4，则2a＋4b的最小值为(　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
6．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
7．已知函数y＝loga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A.若直线mx＋ny＝2过点A，其中m，n是正实数，则＋的最小值是(　　)
A．3＋ B．3＋2 C. D．5
8．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
9．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
10．设a>0，若对于任意的正数m，n，都有m＋n＝8，则满足≤＋的a的取值范围是________．
11.记F(x，y)＝x＋y－a(x＋2)，x，y∈(0，＋∞)．若对任意的x，y∈(0，＋∞)，恒有F(x，y)≥0，求a的取值范围．





12.某森林出现火灾，火势正以100 m2/min的速度顺风蔓延，消防站接到警报后立即派消防队员前去，在火灾发生5 min 后到达救火现场．已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m2森林损失费为60元，则应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？







































基本不等式（二）解析
班级：____________ 姓名：__________________
1．下列结论正确的是(　　)
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0解析：选B　A中，当02．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是(　　)
A．lg(x2＋1)≥lg(2x)　　 　B．x2＋1>2x
C.≤1 D．x＋≥2
解析：选C　对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，∴≤1成立．故选C.

3．已知0A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：选B　由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号．
4．函数y＝3x2＋的最小值是(　　)
A．3－3 B．3
C．6 D．6－3
解析：选D　y＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D.
5．已知a＋2b＝4，则2a＋4b的最小值为(　　)
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：选B　由题得2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2＝8，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴2a＋4b的最小值为8.故选B.
6．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选D　由题意，知所以＝＝＝＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立．
2＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立．
7．已知函数y＝loga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A.若直线mx＋ny＝2过点A，其中m，n是正实数，则＋的最小值是(　　)
A．3＋ B．3＋2
C. D．5
答案：B
8．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
答案：30
9．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，
所以有＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.
答案：
10．设a>0，若对于任意的正数m，n，都有m＋n＝8，则满足≤＋的a的取值范围是________．
解析：由m＋n＝8可得m＋n＋1＝9，
故＋＝(m＋n＋1)＝≥×(5＋2)＝＝1，
当且仅当n＋1＝2m，即m＝3，n＝5时等号成立，∴只需≤1，即a≥1.
答案：[1，＋∞)

11.记F(x，y)＝x＋y－a(x＋2)，x，y∈(0，＋∞)．若对任意的x，y∈(0，＋∞)，恒有F(x，y)≥0，求a的取值范围．
解：由F(x，y)≥0，得x＋y≥a(x＋2)．
∵x>0，y>0，∴a≤ .
∴a≤min.
∵2≤x＋2y，∴≥＝，
当且仅当x＝2y>0时，等号成立．∴a∈.

12.某森林出现火灾，火势正以100 m2/min的速度顺风蔓延，消防站接到警报后立即派消防队员前去，在火灾发生5 min 后到达救火现场．已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m2森林损失费为60元，则应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？
[解]　设派x名消防队员前去救火，用t min将火扑灭，总损失为y元，
则t＝＝(x>2)．
y＝125tx＋100x＋60(500＋100t)
＝125x·＋100x＋30 000＋
＝1 250·＋100(x－2＋2)＋30 000＋
＝31 450＋100(x－2)＋≥31 450＋2＝36 450.
当且仅当100(x－2)＝，
即x＝27时，y有最小值36 450.
所以应该派27名消防队员去救火，才能使总损失最少，最少损失为36 450元．





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