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专题技能训练
训练1 线段或角的计数问题
第4章 直线与角
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有10种不同的票价；需要准备20种车票．
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1．[月考·蚌埠禹会区]阅读材料：
根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于A，B两地，中途停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，那么有多少种不同的票价？要准备多少种车票？
2．为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示．
列表如下：
(1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________________；把平面最多分成____________部分，可写成和的形式为____________________；
10
0＋1＋2＋3＋4
16
1＋1＋2＋3＋4＋5
(2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分；
45
56
(3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？
3．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如果过角的顶点A：
(1)如图①，在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？
解：如题图①，已知∠BAC，如果在其内部作一条射线，显然这条射线就会和∠BAC的两条边各组成一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角．
3．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如果过角的顶点A：
(2)如图②，在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？
解：题图①中共有1＋2＝3(个)角，
如果再在题图①的角的内部增加一条射线，即为题图②，显然这条射线就会和图中原来的三条射线再组成三个角，即题图②中共有1＋2＋3＝6(个)角．
3．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如果过角的顶点A：
(3)如图③，在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？
解：如题图③，在角的内部作三条射线，即在题图②中再增加一条射线，同样这条射线就会和图中原来的四条射线再组成四个角，即题图③中共有1＋2＋3＋4＝10(个)角．
3．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如果过角的顶点A：
(4)在角的内部作n条射线，那么一共有几个角？
(共13张PPT)
专题技能训练训练2 线段与角中的不变问题
第4章 直线与角
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(1)140°.(2)∠1＝20°.
(3)OE平分∠AOC，理由略.
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1．如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)若AC＝9 cm，CB＝6 cm，求线段MN的长．
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度并说明理由吗？你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
(3)若C在线段AB的延长线上，AC>BC，且满足AC－BC＝b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
2．[期末·合肥庐阳区](1)如图①，将两个正方形的一个顶点重合放置，若∠AOD＝40°，则∠COB＝________；
140°
(2)如图②，将三个正方形的一个顶点重合放置，求∠1的度数；
解：由题意知，∠1＋∠2＝60°①，
∠1＋∠3＝50°②，
∠1＋∠2＋∠3＝90°③，
由①＋②－③得∠1＝20°.
(3)如图③，将三个正方形的一个顶点重合放置，若OF平分∠DOB，那么OE平分∠AOC吗？为什么？
3．如图，(1)已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，直接写出∠MON的度数；
(3)如果(1)中∠BOC＝β(β＜90°)，其他条件不变，直接写出∠MON的度数；
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么样的规律？
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出其中的规律．
解：从(1)(2)(3)的结果中可看出：∠MON的大小总等于∠AOB大小的一半，而与∠BOC的大小无关．
设计的问题：如图，线段AB＝a，延长AB到C，使BC＝b，点M，N分别是线段AC，BC的中点，求线段MN的长．
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专题技能训练
训练3 分类讨论思想在线段和角的计算中的应用
第4章 直线与角
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(1)①当点P在A，B之间时，不合题意，舍去；
②当点P在点A右边时，点P对应的数为2；
③当点P在点B左边时，点P对应的数为－4.
(2)①当M在线段AB上时，M对应的数为0；
②当M在线段BA的延长线上时，M对应的数为3；
③当M在线段AB的延长线上时，不合题意，舍去．
(3)0.4秒后.
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(1)14.(2)14或18.(3)不变．30.
(1)图略.(2)55°.
【点拨】首先要根据题意，画出图形．由于点N的位置不确定，故要考虑分类讨论．
2．如图，点O为原点，点A对应的数为1，点B对应的数为－3.
(1)若点P在数轴上，且PA＋PB＝6，求P对应的数；
解：①当点P在A，B之间时，不合题意，舍去；
②当点P在点A右边时，点P对应的数为2；
③当点P在点B左边时，点P对应的数为－4.
2．如图，点O为原点，点A对应的数为1，点B对应的数为－3.
(2)若点M在数轴上，且MA?：MB＝1：3，求M对应的数；
解：①当M在线段AB上时，M对应的数为0；
②当M在线段BA的延长线上时，M对应的数为3；
③当M在线段AB的延长线上时，不合题意，舍去．
2．如图，点O为原点，点A对应的数为1，点B对应的数为－3.
(3)若点A的速度为5个单位长度/秒，点B的速度为2个单位长度/秒，点O的速度为1个单位长度/秒，A，B，O同时向右运动，几秒后，点O恰为线段AB的中点？
解：设运动x秒时，点B运动到点B′，点A运动到点A′，点O运动到点O′，此时O′A′＝O′B′，点A′，B′在点O′两侧，则BB′＝2x，OO′＝x，AA′＝5x，
所以点B′对应的数为2x－3，点O′对应的数为x，点A′对应的数为5x＋1，所以O′A′＝5x＋1－x＝4x＋1，O′B′＝x－(2x－3)＝3－x，所以 4x＋1＝3－x，解得x＝0.4，即0.4秒后，点O恰为线段AB的中点．
3．如图，AB＝4，动点P从A出发，在直线AB上以每秒3个单位的速度向右运动，到达B后立即返回，回到A后停止运动，动点Q与P同时从A出发，在直线AB上以每秒1个单位的速度向左运动，当P停止运动时，点Q也停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)若t＝1，则BP的长是________，PQ的长是________．
1
4
(2)当点P回到点A时，求BQ的长．
(3)在直线AB上取点C，使B是线段PC的中点．在点P的整个运动过程中，是否存在满足AC＝AQ＋3的点C？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
?
4．如图，A是数轴上表示－30的点，B是数轴上表示12的点，C是数轴上表示18的点，点A，B，C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是每秒6个单位长度，点B和C运动的速度是每秒3个单位长度，设三个点运动的时间为t秒．
(1)当线段AB＝0时，t＝________；
(2)当t＝________时，线段AC的长为6个单位长度；
14
14或18
因为N为BC的中点，所以N点表示的数为：[(12＋3t)＋(18＋3t)]÷2＝15＋3t.所以MN＝(15＋3t)－(－15＋3t)＝30.所以MN的长度不变，为30.
(3)当t<5时，设线段OA的中点为M，线段BC的中点为N，则线段MN的长度是否一直保持不变？若不变，求MN的值；若变化，请说明理由．
解：不变．由题得A点表示的数为：－30＋6t，
因为M为OA的中点，所以M点表示的数为：－15＋3t.
由题得B点表示的数为：12＋3t，C点表示的数为：18＋3t.
5．[期末·合肥瑶海区]课堂上，老师在黑板上出了一道题：在同一平面内，若∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．
下面是七年级同学小明在黑板上写的解题过程：
解：根据题意可画出图(如图①)，
因为∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，
所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝70°＋15°＝85°.
同学们在下面议论，都说小明的解答不全面，还有另一种情况．请按下列要求完成这道题的求解．
(1)依照图①，用尺规作图的方法将另一种解法的图形在图②中补充完整．
解：如图所示：
同学们在下面议论，都说小明的解答不全面，还有另一种情况．请按下列要求完成这道题的求解．
(2)结合第(1)小题的图形求此时∠AOC的度数．
解：∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝70°－15°＝55°.
6．已知OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.
(1)如图，若OC在∠AOB内，探究∠MON与∠AOB的数量关系；
6．已知OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.
(2)若OC在∠AOB外，且OC不与OA，OB重合，请你画出图形，并探究∠MON与∠AOB的数量关系．(提示：分三种情况讨论)
