华东师大版九年级数学下册26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质习题课件（37张）

(共37张PPT)
§26.2　二次函数的图象与性质
　1.二次函数y=ax2的图象与性质
1.会用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象.(重点)
2.掌握二次函数y=ax2的性质.(重点、难点)
3.通过数形结合初步理解二次函数的性质,培养学生的观察能力、抽象概括能力.(难点)
在直角坐标系中,画二次函数y=4x2的图象.
解:列表.
16
4
4
16
x … -2 -1 0 1 2 …
y … ___ __ 0 __ ___ …
在直角坐标系中描点,然后用光滑的_____顺次连结各点,得到
函数y=4x2的图象,如图所示.
曲线
【思考】(1)观察函数y=4x2的图象,这个函数的图象是一条___
(填“直”或“曲”)线.
(2)函数y=4x2的图象是否是轴对称图形?若是,则它的对称轴是
什么?
提示:函数y=4x2的图象是轴对称图形.它的对称轴是y轴.
(3)函数y=4x2的图象在y轴的左边和右边各自有什么特点?
提示:在y轴的左边,函数值y随x的增大而减小,在y轴的右边,
函数值y随x的增大而增大.
曲
【总结】(1)二次函数y=ax2的图象:
二次函数y=ax2的图象是一条曲线,这样的曲线通常叫做_______,
它有_____对称轴,抛物线与它的_______的交点叫做抛物线的
_____.
抛物线
一条
对称轴
顶点
(2)二次函数y=ax2的图象与性质:
向上
向下
(0,0)
(0,0)
函数 a>0 a<0
图象
开口方向 _____ _____
顶点坐标 ______ ______
增大
减小
减小
增大
0
0
0
0
函数 a>0 a<0
对称轴 y轴(x=0) y轴(x=0)
函数变化 当x>0时,y随x的增大而
_____;当x<0时,y随x的
增大而_____ 当x>0时,y随x的增大而
_____;当x<0时,y随x的
增大而_____
最值 当x=__时,y最小值=__ 当x=__时,y最大值=__
(打“√”或“×”)
(1)二次函数的图象都是一条抛物线,都是中心对称图形.( )
(2)y=ax2开口方向向上,顶点坐标是(0,0).( )
(3)函数 的图象的对称轴过顶点,且对称轴为y轴.( )
(4)二次函数y=(x-1)(x+1)+1有最小值,最小值为0.( )
(5)若点(3,a),(5,b)是二次函数y=-6x2的图象上的两点,则
a×
×
√
√
×
知识点 1 二次函数y=ax2的图象
【例1】在同一坐标系中,画出下列函数的图象．
(1) (2)y=2x2.
(3) (4)y=-2x2．
【思路点拨】在数字0的两边各取一些左右对称的数字进行
列表，然后根据列表描点连线，画出函数的图象.
【自主解答】列表：
2
0.5
-4.5
18
8
-0.5
-2
-4.5
-2
-8
-18
x … -3 -2 -1 0
… 4.5 __ ____ 0
… _____ -2 -0.5 0
y=2x2 … ___ __ 2 0
y=-2x2 … -18 -8 -2 0

x 1 2 3 …
0.5 2 4.5 …
_____ ___ _____ …
y=2x2 2 8 18 …
y=-2x2 ___ ___ ____ …
描点连线：
【总结提升】画函数y=ax2的图象的三点注意
1.列表时自变量应以0为中心,左右两边要对应取值.
2.画图时图象应越过端点,表示为向下或向上无限延伸.
3.图象在两个象限内画出的曲线是对称的,顶点处不能画成尖形,应该平滑.
知识点 2 二次函数y=ax2的性质
【例2】已知 是二次函数，且函数图象有最
高点．
（1）求k的值.
（2）求顶点坐标和对称轴．
【思路点拨】（1）根据二次函数的定义得出k2+k-4=2及k+2≠0，再利用函数图象有最高点得出k+2＜0，即可得出k的值.
（2）利用（1）中k的值得出二次函数关系式，利用二次函数y=ax2（a≠0）的顶点和对称轴的特点即可得出答案．
【自主解答】（1）因为 是二次函数，
所以k2+k-4=2且k+2≠0，即k2+k-6=0，且k+2≠0，
所以（k+3）（k-2）=0，且k≠-2，
所以k=-3或k=2，
因为函数图象有最高点，
所以k+2＜0，
当k=-3时，k+2=-1＜0，符合要求，
当k=2时，k+2=4＞0，不符合要求，舍去.
故k的值为-3.
（2）因为k=-3，
所以二次函数关系式为y=-x2，
所以顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴．
【总结提升】二次函数y=ax2（a≠0）中a的两点作用
1.二次函数y=ax2的开口方向由a决定，当a＞0时，开口方向向上，当a＜0时，开口方向向下.
2.二次函数y=ax2的开口大小由|a|决定，|a|越大，二次函数y=ax2的开口越小；|a|越小，二次函数y=ax2的开口越大；|a|的值相等，二次函数y=ax2 的开口大小相同.
题组一：二次函数y=ax2的图象
1.（2013·丽水中考）若二次函数y=ax2的图象经过点P（-2，4），则该图象必经过点( )
A.（2，4） B.（-2，-4）
C.（-4，2） D.（4，-2）
【解析】选A.将P(-2,4)代入y=ax2,得
4=4a,得a=1,即y=x2,
将四个选项逐一代入y=x2,
可得只有点（2，4）符合.
2.函数y=ax2与y=ax+b（a＞0，b＞0）在同一坐标系中的大致图象是( )




【解析】选C．因为y=ax2与y=ax+b（a＞0，b＞0），
所以二次函数y=ax2开口向上，一次函数y=ax+b经过一、二、三象限．
【变式备选】给出下列命题：
命题1.点(1,1)是双曲线 与抛物线y=x2的一个交点.
命题2.点(1,2)是双曲线 与抛物线y=2x2的一个交点．
命题3.点(1,3)是双曲线 与抛物线y=3x2的一个交点．
…
请你观察上面的命题,猜想出命题n(n是正整数)：
_________________________________________．
【解析】从已知得出点的横坐标都是1,纵坐标与反比例函数的
k相同,与二次函数的a相同,得出点(1,n)是双曲线 与抛物
线y=nx2的一个交点.
答案：点(1,n)是双曲线 与抛物线y=nx2的一个交点
3.在同一坐标系中,抛物线 的共同特点
是( )
A.关于y轴对称,开口向上
B.关于y轴对称,y随x的增大而增大
C.关于y轴对称,y随x的增大而减小
D.关于y轴对称,顶点是原点
【解析】选D.因为抛物线 都符合抛物
线的最简形式y=ax2,其对称轴是y轴,顶点是原点.
4.在函数①y=x2;② ③ ④y=x+1的图象中，关
于原点中心对称的图形为______（填入序号）．
【解析】①y=x2的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对
称图形，故错误；
② 的图象是一条过原点的直线，是关于原点对称的中
心对称图形，故正确；
③ 的图象是双曲线，是关于原点中心对称的图形，故正
确；
④y=x+1的图象是一条不过原点的直线，不是关于原点对称的
中心对称图形，故错误．
答案：②③
5.如图，⊙O的半径为2，C1是函数
的图象，C2是函数
的图象，则阴影部分的面积是______.
【解析】由图形观察可知，把x轴上方的阴影部分对称到下
方就得到一个半圆，则阴影部分的面积
答案：2π
6.在坐标系中，画出函数 的图象.
【解析】列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
… -4 -1 0 -1 -4 …
描点连线，如图所示：
题组二：二次函数y=ax2的性质
1.（2012·龙岩中考）下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的
增大而增大的有( )
①y=x;②y=-2x+1;③ ④y=3x2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选B．①y=x是正比例函数，k=1＞0，y随x的增大而增
大，符合题意；
②y=-2x+1是一次函数，k=-2＜0，y随x的增大而减小，不符合
题意；
③ 是反比例函数，k=-1＜0，当x＜0时，函数值y随x的
增大而增大，符合题意；
④y=3x2是二次函数，a=3＞0，开口向上，对称轴为x=0，故当
x＜0时，图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，不符合题
意．
2.已知二次函数y=ax2的图象开口向上,则直线y=ax-1经过的
象限是(　　)
A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限
C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限
【解析】选D.因为二次函数开口向上,所以a>0,所以直线经过
第一、三、四象限.
3.函数y=-7x2的图象在对称轴右边的部分,y随x的增大
而______.
【解析】因为a=-7<0,
所以函数y=-7x2的图象在对称轴右边的部分,y随x的增
大而减小.
答案:减小
4.写出一个开口向下的二次函数的关系式________.
【解析】二次函数的图象开口向下,
则二次项系数为负,即a<0,所以答案不唯一.如满足条件的二
次函数的关系式为y=-x2.
答案:y=-x2(答案不唯一)
5.二次函数y=(3m+6)x2的图象在三、四象限,求m的取值范围,并说明当x取何值时,y随x的增大而增大.
【解析】因为二次函数y=(3m+6)x2的图象在三、四象限,所以3m+6<0,所以m<-2,所以当x<0时,y随x的增大而增大.
【想一想错在哪？】若点A(m,-2),B(n,-4)是二次函数y=-3x2
图象上的两点,则m,n的大小关系为(　　)
A.m>n B.mC.m≥n D.不能确定
提示:忽视点A,B的位置,它们可能在对称轴的两侧,也可能在同侧,给出的数值是点的纵坐标,因而需要分类讨论.