华东师大版九年级数学下册26.2.3求二次函数的关系式习题课件（44张）
文档属性
| 名称 | 华东师大版九年级数学下册26.2.3求二次函数的关系式习题课件（44张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 907.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-17 11:34:54 | ||
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文档简介
(共44张PPT)
3.求二次函数的关系式
1.能利用待定系数法求二次函数的关系式.(重点)
2.能够通过分析已知条件,确定所求二次函数关系式的形式.(重点、难点)
确定二次函数关系式的方法
1.当已知抛物线上任意三点的坐标时,通常设二次函数的关系
式为一般式y=______________,然后列出_______________,解
方程组得出a,b,c的值,从而求得二次函数的关系式.
ax2+bx+c(a≠0)
三元一次方程组
2.当已知抛物线的顶点坐标为(h,k)和抛物线上另一点的坐标
时,通常设顶点式y=_________,求解二次函数的关系式.
3.当已知抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)或与x轴交点的
横坐标为x1,x2时,通常设交点式y=_____________,求解二次函
数的关系式.
a(x-h)2+k
a(x-x1)(x-x2)
(打“√”或“×”)
(1)已知对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2,3)且抛物
线经过点(3,1),那么在设抛物线关系式时最好选用的形式是
y=ax2+bx+c.( )
(2)抛物线y=ax2向上平移2个单位后,经过点P(1,3),则a=1.( )
(3)如果一条抛物线的形状与 的形状相同,且顶点坐
标是(4,-2),那么它的函数关系式为 ( )
×
√
×
知识点 1 确定二次函数的关系式
【例1】(2013·宁波中考)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点
A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).
(1)求抛物线的关系式和顶点坐标.
(2)请你写出一种平移的方法,使平
移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,
并写出平移后抛物线的关系式.
【思路点拨】(1)与x轴交于A,B两点,可设为交点式,再将点C代入,求出抛物线的关系式,再通过配方求出顶点坐标.
(2)根据点的平移规律及平移前后顶点坐标的变化进行解答.
【自主解答】(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),
可设抛物线关系式为y=a(x-1)(x-3),
把C(0,-3)代入得:3a=-3,
解得:a=-1,
故抛物线关系式为y=-(x-1)(x-3),
即y=-x2+4x-3,
∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴顶点坐标(2,1).
(2)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线的关系式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0)落在直线y=-x上.(答案不唯一)
【总结提升】确定二次函数关系式的四个步骤
1.设:按已知条件设出二次函数关系式的相关形式.
2.列:根据题意列出方程或方程组.
3.解:解方程或方程组.
4.定:确定函数关系式.
知识点 2 求实际问题中二次函数y=ax2+bx+c的关系式
【例2】为了落实国家的惠农政策,某地方政府制定了农户投资
购买收割机的补贴办法,其中购买Ⅰ、Ⅱ型收割机所投资的金
额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系:
型号
金额 Ⅰ型收割机 Ⅱ型收割机
投资金额x(万元) x 5 x 2 4
补贴金额y(万元) y1=kx
(k≠0) 2 y2=ax2+bx
(a≠0) 2.4 3.2
(1)分别求出y1和y2的函数关系式.
(2)尼玛次仁准备投资10万元购买Ⅰ型、Ⅱ型两种收割机.请你设计一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
【思路点拨】(1)利用待定系数法直接就可以求出y1与y2的关系式.
(2)设总补贴金额为W万元,购买Ⅰ型收割机a万元,购买Ⅱ型收割机(10-a)万元,建立函数关系式即可求解.
【自主解答】(1)将x=5,y1=2代入y1=kx,得2=5k,解得k=0.4,
将x=2,y2=2.4;x=4,y2=3.2代入y2=ax2+bx,得
解得
∴y1的函数关系式为y1=0.4x,
y2的函数关系式为y2=-0.2x2+1.6x.
(2)设总补贴金额为W万元,购买Ⅰ型收割机a万元,则购买Ⅱ型
收割机(10-a)万元,由题意,得
W=0.4a+[-0.2(10-a)2+1.6(10-a)]
=-0.2(a-7)2+5.8.
∴当a=7时,W有最大值5.8万元,
∴买Ⅰ型收割机7万元,Ⅱ型收割机3万元可以获得最大补贴5.8
万元.
【总结提升】求与抛物线有关的问题的函数关系式的三个步骤及两点注意
1.三个步骤：
(1)根据二次函数关系式及已知条件列出关于未知系数的方程组.
(2)解方程组,求出未知系数,求出二次函数的关系式.
(3)利用二次函数的关系式解决有关问题.
2.两点注意:
(1)列方程组时,数值不要代错.
(2)列出实际问题的函数关系式时,应注意自变量的取值范围.
题组一:确定二次函数的关系式
1.一个二次函数的图象经过点A(0,0),B(-1,-11),C(1,9)三点,则这个二次函数的关系式是( )
A.y=-10x2+x B.y=-10x2+19x
C.y=10x2+x D.y=-x2+10x
【解析】选D．由于抛物线经过原点，则可以设其函数关系式
为y=ax2+bx，将B，C两点坐标代入，
得
解得
所以抛物线的函数关系式为y=-x2+10x．
2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(-1,0),(3,0),其形状
与抛物线y=-2x2相同,则y=ax2+bx+c的函数关系式可以为( )
A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4x+5
C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6
【解析】选D.结合选项,根据题意知a=-2,
所以设y=-2(x-x1)(x-x2),
求出关系式y=-2(x+1)(x-3),
即y=-2x2+4x+6.
【变式备选】形状与抛物线y=-x2-2相同,对称轴是x=-2,且过
点(0,3)的抛物线是( )
A.y=x2+4x+3
B.y=-x2-4x+3
C.y=-x2+4x+3
D.y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
【解析】选D.设所求抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c,由抛
物线过点(0,3),可得:c=3,
由抛物线形状与y=-x2-2相同,
分为两种情况:①开口向下,则a<0,
又∵对称轴x=-2,则 则b<0,
由此可得出y=-x2-4x+3符合题意;
②开口向上,则a>0,
又∵对称轴x=-2,则 则b>0,
由此可得出y=x2+4x+3符合题意,
综合上述,符合条件的是选项D.
3.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛
物线的函数关系式为________.
【解析】设抛物线的关系式为y=a(x-2)2+1,由抛物线过点
B(1,0),可得a=-1,所以y=-x2+4x-3.
答案:y=-x2+4x-3
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分
对应值如下表:
则该二次函数的关系式为________.
x … -1 0 1 …
y … -2 -2 0 …
【解析】由于二次函数经过（-1，-2），（0，-2），（1，
0），
则有： 解得
∴该二次函数的关系式为y=x2+x-2．
答案：y=x2+x-2
5．（2013·湖州中考）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点
A(3,0)，B(-1,0).
（1）求抛物线的关系式.
（2）求抛物线的顶点坐标.
【解析】（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0)，B(-1,0)，
∴
解得
∴抛物线的关系式为y=－x2+2x+3.
（2）抛物线的顶点坐标为（1,4）.
题组二：求实际问题中二次函数y=ax2+bx+c的关系式
1.巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一
支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米,此时喷水水平距
离为 米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式
是( )
【解析】选C．根据图象知：
抛物线开口向下，顶点为
∴可设这支喷泉的函数关系式为
把点（0，1）代入 中，得a=-8，
∴这支喷泉的函数关系式为
2.在美丽的青岛市举行的苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛的比
赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线
的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1 m，球
落地点A到O点的距离是4 m，那么这条抛物线的函数关系式
是( )
【解析】选A．∵出球点B离地面点O的距离是1 m，球落地点A
到点O的距离是4 m，
∴点B的坐标为（0，1），点A的坐标为（4，0），
将两点代入函数关系式得
∴这条抛物线的函数关系式是
3.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16m,跨度是40m,
在线段AB上离中心M处5m的地方,桥的高度是________m.
【解析】建立如图所示坐标系,设抛物线的关系式为y=
ax2+bx+c,
已知抛物线经过(0,16),(-20,0),(20,0),
可得
解得
故抛物线的关系式为
当x=5时，y=15．
答案：15
4.“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老
桥.如图1,桥上有五个拱形桥架紧密相连,每个桥架的内部有一
个水平横梁和八个垂直于横梁的立柱,气势雄伟,素有“天下黄
河第一桥”之称;如图2,一个拱形桥架可以近似看作是由等腰
梯形ABD3D1和其上方的抛物线D1OD3组成.若建立如图所示的直
角坐标系,跨度AB=44m,∠A=45°,AC1=4m,点D2的坐标为(-13,
-1.69),则桥架的拱高OH=________m.
【解析】设抛物线D1OD3的关系式为y=ax2,
将x=-13,y=-1.69代入,
解得a=-0.01.
∴抛物线D1OD3的关系式为y=-0.01x2.
∵横梁D1D3=C1C3=AB-2AC1=36(m),
∴点D1的横坐标是-18,
代入y=-0.01x2得y=-3.24,
又∵∠A=45°,∴D1C1=AC1=4m,
∴OH=3.24+4=7.24(m).
答案:7.24
5.某经销商销售一种圆盘,圆盘的半径为x(cm),圆盘的售价y
与x成正比例,圆盘的进价与x2成正比例,售出一个圆盘的利润
是P(元).当x=10时,y=80,P=30(利润=售价-进价).
(1)求y与x满足的函数关系式.
(2)求P与x满足的函数关系式.
(3)当售出一个圆盘所获得的利润是32元时,求这个圆盘的半径.
【解析】(1)由题意得,y=kx(k≠0),
∵x=10时,y=80,
∴10k=80,k=8.
∴y与x满足的函数关系式为y=8x.
(2)由题意,设进价为mx2,
则P=y-mx2=-mx2+8x.
∵当x=10时,P=30,
∴30=-m·102+8×10,
∴P与x满足的函数关系式为
(3)由题意得,
化简得,x2-16x+64=0,
解得x1=x2=8.
即这个圆盘的半径是8cm.
【想一想错在哪？】已知二次函数的图象经过原点及点（-2，
-2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二
次函数的关系式为______.
提示:二次函数与x轴的另一交点到原点的距离为4,分这个交点坐标为(-4,0),(4,0)两种情况,解题时忽略交点坐标为(-4,0)的情况,导致解题错误.
3.求二次函数的关系式
1.能利用待定系数法求二次函数的关系式.(重点)
2.能够通过分析已知条件,确定所求二次函数关系式的形式.(重点、难点)
确定二次函数关系式的方法
1.当已知抛物线上任意三点的坐标时,通常设二次函数的关系
式为一般式y=______________,然后列出_______________,解
方程组得出a,b,c的值,从而求得二次函数的关系式.
ax2+bx+c(a≠0)
三元一次方程组
2.当已知抛物线的顶点坐标为(h,k)和抛物线上另一点的坐标
时,通常设顶点式y=_________,求解二次函数的关系式.
3.当已知抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)或与x轴交点的
横坐标为x1,x2时,通常设交点式y=_____________,求解二次函
数的关系式.
a(x-h)2+k
a(x-x1)(x-x2)
(打“√”或“×”)
(1)已知对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2,3)且抛物
线经过点(3,1),那么在设抛物线关系式时最好选用的形式是
y=ax2+bx+c.( )
(2)抛物线y=ax2向上平移2个单位后,经过点P(1,3),则a=1.( )
(3)如果一条抛物线的形状与 的形状相同,且顶点坐
标是(4,-2),那么它的函数关系式为 ( )
×
√
×
知识点 1 确定二次函数的关系式
【例1】(2013·宁波中考)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点
A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).
(1)求抛物线的关系式和顶点坐标.
(2)请你写出一种平移的方法,使平
移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,
并写出平移后抛物线的关系式.
【思路点拨】(1)与x轴交于A,B两点,可设为交点式,再将点C代入,求出抛物线的关系式,再通过配方求出顶点坐标.
(2)根据点的平移规律及平移前后顶点坐标的变化进行解答.
【自主解答】(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),
可设抛物线关系式为y=a(x-1)(x-3),
把C(0,-3)代入得:3a=-3,
解得:a=-1,
故抛物线关系式为y=-(x-1)(x-3),
即y=-x2+4x-3,
∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴顶点坐标(2,1).
(2)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线的关系式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0)落在直线y=-x上.(答案不唯一)
【总结提升】确定二次函数关系式的四个步骤
1.设:按已知条件设出二次函数关系式的相关形式.
2.列:根据题意列出方程或方程组.
3.解:解方程或方程组.
4.定:确定函数关系式.
知识点 2 求实际问题中二次函数y=ax2+bx+c的关系式
【例2】为了落实国家的惠农政策,某地方政府制定了农户投资
购买收割机的补贴办法,其中购买Ⅰ、Ⅱ型收割机所投资的金
额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系:
型号
金额 Ⅰ型收割机 Ⅱ型收割机
投资金额x(万元) x 5 x 2 4
补贴金额y(万元) y1=kx
(k≠0) 2 y2=ax2+bx
(a≠0) 2.4 3.2
(1)分别求出y1和y2的函数关系式.
(2)尼玛次仁准备投资10万元购买Ⅰ型、Ⅱ型两种收割机.请你设计一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
【思路点拨】(1)利用待定系数法直接就可以求出y1与y2的关系式.
(2)设总补贴金额为W万元,购买Ⅰ型收割机a万元,购买Ⅱ型收割机(10-a)万元,建立函数关系式即可求解.
【自主解答】(1)将x=5,y1=2代入y1=kx,得2=5k,解得k=0.4,
将x=2,y2=2.4;x=4,y2=3.2代入y2=ax2+bx,得
解得
∴y1的函数关系式为y1=0.4x,
y2的函数关系式为y2=-0.2x2+1.6x.
(2)设总补贴金额为W万元,购买Ⅰ型收割机a万元,则购买Ⅱ型
收割机(10-a)万元,由题意,得
W=0.4a+[-0.2(10-a)2+1.6(10-a)]
=-0.2(a-7)2+5.8.
∴当a=7时,W有最大值5.8万元,
∴买Ⅰ型收割机7万元,Ⅱ型收割机3万元可以获得最大补贴5.8
万元.
【总结提升】求与抛物线有关的问题的函数关系式的三个步骤及两点注意
1.三个步骤：
(1)根据二次函数关系式及已知条件列出关于未知系数的方程组.
(2)解方程组,求出未知系数,求出二次函数的关系式.
(3)利用二次函数的关系式解决有关问题.
2.两点注意:
(1)列方程组时,数值不要代错.
(2)列出实际问题的函数关系式时,应注意自变量的取值范围.
题组一:确定二次函数的关系式
1.一个二次函数的图象经过点A(0,0),B(-1,-11),C(1,9)三点,则这个二次函数的关系式是( )
A.y=-10x2+x B.y=-10x2+19x
C.y=10x2+x D.y=-x2+10x
【解析】选D．由于抛物线经过原点，则可以设其函数关系式
为y=ax2+bx，将B，C两点坐标代入，
得
解得
所以抛物线的函数关系式为y=-x2+10x．
2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(-1,0),(3,0),其形状
与抛物线y=-2x2相同,则y=ax2+bx+c的函数关系式可以为( )
A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4x+5
C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6
【解析】选D.结合选项,根据题意知a=-2,
所以设y=-2(x-x1)(x-x2),
求出关系式y=-2(x+1)(x-3),
即y=-2x2+4x+6.
【变式备选】形状与抛物线y=-x2-2相同,对称轴是x=-2,且过
点(0,3)的抛物线是( )
A.y=x2+4x+3
B.y=-x2-4x+3
C.y=-x2+4x+3
D.y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
【解析】选D.设所求抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c,由抛
物线过点(0,3),可得:c=3,
由抛物线形状与y=-x2-2相同,
分为两种情况:①开口向下,则a<0,
又∵对称轴x=-2,则 则b<0,
由此可得出y=-x2-4x+3符合题意;
②开口向上,则a>0,
又∵对称轴x=-2,则 则b>0,
由此可得出y=x2+4x+3符合题意,
综合上述,符合条件的是选项D.
3.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛
物线的函数关系式为________.
【解析】设抛物线的关系式为y=a(x-2)2+1,由抛物线过点
B(1,0),可得a=-1,所以y=-x2+4x-3.
答案:y=-x2+4x-3
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分
对应值如下表:
则该二次函数的关系式为________.
x … -1 0 1 …
y … -2 -2 0 …
【解析】由于二次函数经过（-1，-2），（0，-2），（1，
0），
则有： 解得
∴该二次函数的关系式为y=x2+x-2．
答案：y=x2+x-2
5．（2013·湖州中考）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点
A(3,0)，B(-1,0).
（1）求抛物线的关系式.
（2）求抛物线的顶点坐标.
【解析】（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0)，B(-1,0)，
∴
解得
∴抛物线的关系式为y=－x2+2x+3.
（2）抛物线的顶点坐标为（1,4）.
题组二：求实际问题中二次函数y=ax2+bx+c的关系式
1.巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一
支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米,此时喷水水平距
离为 米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式
是( )
【解析】选C．根据图象知：
抛物线开口向下，顶点为
∴可设这支喷泉的函数关系式为
把点（0，1）代入 中，得a=-8，
∴这支喷泉的函数关系式为
2.在美丽的青岛市举行的苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛的比
赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线
的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1 m，球
落地点A到O点的距离是4 m，那么这条抛物线的函数关系式
是( )
【解析】选A．∵出球点B离地面点O的距离是1 m，球落地点A
到点O的距离是4 m，
∴点B的坐标为（0，1），点A的坐标为（4，0），
将两点代入函数关系式得
∴这条抛物线的函数关系式是
3.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16m,跨度是40m,
在线段AB上离中心M处5m的地方,桥的高度是________m.
【解析】建立如图所示坐标系,设抛物线的关系式为y=
ax2+bx+c,
已知抛物线经过(0,16),(-20,0),(20,0),
可得
解得
故抛物线的关系式为
当x=5时，y=15．
答案：15
4.“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老
桥.如图1,桥上有五个拱形桥架紧密相连,每个桥架的内部有一
个水平横梁和八个垂直于横梁的立柱,气势雄伟,素有“天下黄
河第一桥”之称;如图2,一个拱形桥架可以近似看作是由等腰
梯形ABD3D1和其上方的抛物线D1OD3组成.若建立如图所示的直
角坐标系,跨度AB=44m,∠A=45°,AC1=4m,点D2的坐标为(-13,
-1.69),则桥架的拱高OH=________m.
【解析】设抛物线D1OD3的关系式为y=ax2,
将x=-13,y=-1.69代入,
解得a=-0.01.
∴抛物线D1OD3的关系式为y=-0.01x2.
∵横梁D1D3=C1C3=AB-2AC1=36(m),
∴点D1的横坐标是-18,
代入y=-0.01x2得y=-3.24,
又∵∠A=45°,∴D1C1=AC1=4m,
∴OH=3.24+4=7.24(m).
答案:7.24
5.某经销商销售一种圆盘,圆盘的半径为x(cm),圆盘的售价y
与x成正比例,圆盘的进价与x2成正比例,售出一个圆盘的利润
是P(元).当x=10时,y=80,P=30(利润=售价-进价).
(1)求y与x满足的函数关系式.
(2)求P与x满足的函数关系式.
(3)当售出一个圆盘所获得的利润是32元时,求这个圆盘的半径.
【解析】(1)由题意得,y=kx(k≠0),
∵x=10时,y=80,
∴10k=80,k=8.
∴y与x满足的函数关系式为y=8x.
(2)由题意,设进价为mx2,
则P=y-mx2=-mx2+8x.
∵当x=10时,P=30,
∴30=-m·102+8×10,
∴P与x满足的函数关系式为
(3)由题意得,
化简得,x2-16x+64=0,
解得x1=x2=8.
即这个圆盘的半径是8cm.
【想一想错在哪？】已知二次函数的图象经过原点及点（-2，
-2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二
次函数的关系式为______.
提示:二次函数与x轴的另一交点到原点的距离为4,分这个交点坐标为(-4,0),(4,0)两种情况,解题时忽略交点坐标为(-4,0)的情况,导致解题错误.