(共35张PPT)
§26.3 实践与探索
第1课时
1.通过分析已知条件、观察抛物线图象，建立适当的平面直角坐标系，把实际问题转化为二次函数问题.（重点、难点）
2.会根据已知条件，选取合适的形式，利用二次函数的性质，解决实际问题.（重点）
1.用二次函数解决问题的步骤：
（1）建立合适的平面直角坐标系.
（2）把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来.
（3）用待定系数法求出抛物线的关系式.
（4）用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
2.建立坐标系解决实际问题：
y轴
y=ax2
y轴
y=ax2+k
y
y=a(x-h)2
y
y=a(x-h)2+k
顶点
x
探 究 归 纳
以抛物线的_____为原点,对称轴为____建立
坐标系,抛物线关系式的形式为_____.
以抛物线的对称轴为____建立坐标系,抛物线的形式为_______.
使顶点在__轴,对称轴平行于__轴建立坐标系,抛物线的形式为_________.
使对称轴平行于__轴建立坐标系,抛物线的形式为___________.
(打“√”或“×”)
(1)一小球被抛出后,距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足
下面的函数关系式:h=-5t2+10t+1,则小球距离地面的最大高度
是5m.( )
(2)向空中发射一枚炮弹,经xs后的高度为ym,且时间与高度的
关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮弹在第5s与第16s时的高度相
等,当炮弹所在高度最高时是第10.5s.( )
×
√
(3)某涵洞是抛物线形,它的截面
如图所示.现测得水面宽AB=2m,涵
洞顶点O到水面的距离为3m.在如
图所示的平面直角坐标系内,涵洞
所在抛物线的函数关系式是y=3x2.( )
(4)在周长为13cm的矩形铁板上剪去一等边三角形(这个等边
三角形的一边是矩形的宽),则矩形的长为 时,剩下
的面积最大.( )
×
√
知识点 利用二次函数的图象和性质解决实际问题
【例】(2013·河北中考)某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩.Q=W+100,而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:一部分与x的平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.
(1)用含x和n的式子表示Q.
(2)当x=70,Q=450时,求n的值.
(3)若n=3,要使Q最大,确定x的值.
(4)设n=2,x=40,能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下,而
Q的值仍为420,若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是
次数n 2 1
速度x 40 60
指数Q 420 100
【思路点拨】(1)根据题目所给的信息,设W=k1x2+k2nx,然后根据Q=W+100,列出Q的关系式.
(2)将x=70,Q=450代入,求n的值即可.
(3)把n=3代入,确定函数关系式,然后求Q最大时x的值即可.
(4)根据题意列出关系式,求出Q=420时m的值即可.
【自主解答】（1）设W=k1x2+k2nx,
∴Q=k1x2+k2nx+100.
由表中数据，得
解得
（2）由题意，得
∴n=2.
（3）当n=3时，
由 可知，要使Q最大，
（4）由题意，得
即2（m%）2-m%=0.
解得 或m%=0（舍去）.
∴m=50.
【总结提升】实际问题中构建二次函数模型应注意的问题
1.分析实际问题中的各个变量间的数量关系，将实际问题抽象成数学问题.
2.结合已知平面直角坐标系,把实际问题中的数据与点的坐标联系起来.
3.利用二次函数的相关知识求解问题.
4.用实际背景检验答案的实际意义,舍去不符合题意的答案．
题组：利用二次函数的图象和性质解决实际问题
1.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组
成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈
钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m（如图），则这条
防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m
【解析】选C．如图建立平面直角坐标系，由题意得B（0，
0.5），C（1，0）.
设抛物线的关系式为：y=ax2+c，
代入B，C点的坐标得 解得
∴抛物线的关系式为：
当x=0.2时y=0.48,当x=0.6时y=0.32,
∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×（0.48+0.32）=1.6（m）,
∴所需不锈钢支柱的总长度为：1.6×100=160（m）．
2.竖直向上发射的小球的高度h(m)
关于运动时间t(s)的函数关系式为
h=at2+bt,其图象如图所示,若小球
在发射后第2s与第6s时的高度相等,
则下列时刻中小球的高度最高的是( )
A.第3 s B.第3.5 s C.第4.2 s D.第6.5 s
【解析】选C.由题意可知:h(2)=h(6),
即4a+2b=36a+6b,解得b=-8a,
函数h=at2+bt的对称轴
故在t=4s时,小球的高度最高,
题中给的四个数据只有C项第4.2s最接近4s,
故在第4.2s时小球最高.
【变式备选】一块边缘呈抛
物线形的铁片如图放置,测得
AB=20cm,抛物线的顶点到AB
边的距离为25cm.现要沿AB边
向上依次截取宽度均为4cm的矩形铁皮,如图所示.已知截得的
铁皮中有一块是正方形,则这块正方形铁皮是( )
A.第七块 B.第六块 C.第五块 D.第四块
【解析】选B.如图,建立平面直角坐标系.
∵AB=20cm,抛物线的顶点到AB边的距离为25cm,
∴此抛物线的顶点坐标为(10,25),图象与x轴的交点坐标为
(0,0),(20,0),
∴抛物线的关系式为y=a(x-10)2+25,
把点(0,0)代入得0=100a+25,
现要沿AB边向上依次截取宽度均为4cm的矩形铁皮,
∴截得的铁皮中有一块是正方形时,正方形边长一定是4cm.
∴当四边形DEFM是正方形时,
DE=EF=MF=DM=4cm,
∴M点的横坐标为AN-MK=10-2=8,
即x=8,代入
解得y=24,
∴KN=24,24÷4=6,
∴这块正方形铁皮是第六块.
3.(2013·衢州中考)某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结
600个橘子.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少
结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y个,则
果园里增种________棵橘子树,橘子总个数最多.
【解析】由题意得y=(100+x)(600-5x),化简得y=-5x2+100x+
60 000,由二次函数的性质得当 时,y有最大
值,所以果园里增种10棵橘子树,橘子总个数最多.
答案:10
4.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=- (x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是________m.
【解析】当y=0时,- (x-4)2+3=0,解得x1=10,x2=-2(不合题意,舍去),铅球推出的距离是10m.
答案:10
5.某公园有一个抛物线形状
的观影拱桥ACB，其横截面
如图所示，在图中建立的直
角坐标系中，抛物线的关系
式为 且过顶点C（0，5）（长度单位：m）.
(1)直接写出c的值.
(2)现因搞庆典活动,计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为
1.5m的地毯,地毯的价格为20元/m2,则购买地毯需要多少元?
【解析】（1）c=5.
（2）由（1）知，OC=5，
令y=0，即
解得x1=10,x2=-10,
∴地毯的总长度为：AB+2OC=20+2×5=30，
∴30×1.5×20=900（元）.
答：购买地毯需要900元.
6.如图，在水平地面点A处有一网
球发射器向空中发射网球，网球
飞行路线是一条抛物线，在地面上
落点为B.有人在直线AB上点C（靠
点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆
柱形桶，试图让网球落入桶内.已知AB=4米，AC=3米，网球飞
行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网
球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）.如果竖直摆放5个圆柱
形桶时，网球能不能落入桶内？
【解析】以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如
图）.
则
设抛物线的关系式为y=ax2+k，
抛物线过点M和点B，则
即抛物线的关系式为
当x=1时， 当 时，
即 在抛物线上.
当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高为
∴网球不能落入桶内.
7.(2013·武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表).
温度x(℃) … -4 -2 0 2 4 4.5 …
植物每天
高度增长
量y(mm) … 41 49 49 41 25 19.75 …
由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.
(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由.
(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?
(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?直接写出结果.
【解析】（1）选择二次函数.设抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得 解得
∴y关于x的函数关系式为y=-x2-2x+49.
不选另外两个函数的理由：
点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以y不是x的
反比例函数；点（-4，41），（-2，49），（2，41）不在同
一直线上，所以y不是x的一次函数.
（2）由（1）得y=-x2-2x+49，∴y=-(x+1)2+50，
∵a=-1＜0，∴当x=-1时y的最大值为50.
即当温度为-1 ℃时，这种植物每天高度增长量最大.
(3)-6＜x＜4.
【想一想错在哪？】2013年4月20日08时02分，四川省雅安市
芦山县发生了7.0级地震，成都军区空军某部奉命赴灾区空投
救灾物资，已知空投物资在离开飞机后在空中沿抛物线降落，
抛物线的顶点在机舱舱口A处.
（1）如图所示，当空投物资从A处下
落的垂直高度AB=160米时，它到A处
的水平距离BC=200米，那么要使飞机
在垂直高度AO=1 000米的高空进行空投，物资恰好准确落在居
民点P处，飞机到P处的水平距离OP应为多少米？
（2）如果根据当时空投时的实际风力及风速测算，当空投物资离开A处的垂直距离为160米时，它到A处的水平距离将增加到400米，要使飞机仍在（1）中O点的正上方进行空投，且使空投物资准确落在点P处，那么飞机空投时离地面的高度应调整为多少米？
提示:第(2)问中抛物线的关系式已经发生变化,不能应用第(1)问中的关系式直接带入求解.
(共40张PPT)
§26.3 实践与探索
第2课时
1.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的关系,掌握二次函数图象与x轴的交点的个数的条件.(重点)
2.了解二次函数图象与一元二次方程、一元二次不等式的关系.(重点)
3.能利用二次函数图象求一元二次方程的近似解,进一步提高估算能力.(难点)
1.二次函数与一元二次方程的联系：
(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,即方程
ax2+bx+c=0有___________的实数根,b2-4ac__0.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点,即方程
ax2+bx+c=0有_________的实数根,b2-4ac__0.
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点,即方程
ax2+bx+c=0_____实数根,b2-4ac__0.
两个不相等
>
两个相等
=
没有
<
2.二次函数与一元二次不等式的联系：
(1)当二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴_____时,自变量x的取
值范围即为不等式ax2+bx+c>0的解集.
(2)当二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴_____时,自变量x的取
值范围即为不等式ax2+bx+c<0的解集.
上方
下方
(打“√”或“×”)
(1)已知二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点为(1,0),
则它与x轴的另一个交点坐标是(2,0).( )
(2)二次函数y=-2x2-8x-11与x轴有两个交点.( )
(3)已知函数y=-x2+x+2,则当y<0时,自变量x的取值范围是x<-1
或x>2.( )
(4)对于二次函数y=x2+2x-5,当x=1.4时,y=-0.24<0,当x=1.45
时,y=0.0025>0;所以方程x2+2x-5=0的一个正根的近似值是
1.4.(精确到0.1)( )
×
×
√
√
知识点 1 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
【例1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象
解答下列问题:
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根.
(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集.
(3)写出y随x的增大而减小的自变
量x的取值范围.
(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
【思路点拨】(1)找出二次函数与x轴交点的横坐标即可.
(2)找出x轴上方的二次函数的图象相对应的x的范围即可.
(3)在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小.
(4)求出二次函数的关系式,利用平移知识解题即可.
【自主解答】(1)由抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,可得方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1,x2=3.
(2)依题意,ax2+bx+c>0,得出x的取值范围为1(3)由题图可知,当y随x的增大而减小时,自变量x的取值范围为x>2.
(4)由二次函数的顶点(2,2)可设方程为a(x-2)2+2=0,
∵二次函数与x轴的两个交点为(1,0),(3,0),
代入a(x-2)2+2=0得a=-2,
∴抛物线方程为y=-2(x-2)2+2,
y=-2(x-2)2+2-k实际上是原抛物线下移或上移|k|个单位.由图象知,当2-k>0时,抛物线与x轴有两个交点,故k<2.
【总结提升】
关键要点 方法
技巧
二次
函数
与一
元二
次方
程的
关系 b2-4ac 一元二次方程ax2+bx+c=0 二次函数y=ax2+bx+c 转
化
法
b2-4ac>0 图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)
b2-4ac=0 图象与x轴只有一个交点
b2-4ac<0 没有实数根 图象与x轴没有交点
知识点 2 利用函数图象求一元二次方程(组)的解
【例2】利用函数图象,求方程x2+2x-3=0的解.
【解题探究】(1)如何利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定一元
二次方程ax2+bx+c=0的解?
提示:画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,找到二次函数图象与x
轴的交点的横坐标,所得的横坐标的值就是一元二次方程
ax2+bx+c=0的解.
(2)根据1的分析,作出二次函数y=x2+2x-3的图象.
(3)根据图象找出二次函数与x轴的交点的坐标分别为:
A_______;B______.
(4)根据以上分析可知一元二次方程x2+2x-3=0的解为:
x1=___;x2=__.
(-3,0)
(1,0)
-3
1
【总结提升】利用函数图象求ax2+bx+c=0(a≠0)的近似解的两
种方法
1.先画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,再列表取值,即在函数图
象与x轴的交点两侧的两个整数之间,根据精确度要求写出方程
的近似解.
2.把方程ax2+bx+c=0化为 然后分别画出函数
y=x2和 的图象,交点的横坐标即是一元二次方程的
解.
题组一:二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
1.(2013·株洲中考)二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m
的值是( )
A.-8 B.8 C.±8 D.6
【解析】选B.∵抛物线与x轴只有一个交点,∴Δ=0,
即m2-4×2×8=0,解得m=±8,又因对称轴在y轴左侧,
∴根据“同左异右”可得m与2同号,故m=8.
2.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.-1B.x>5
C.x<-1且x>5
D.x<-1或x>5
【解析】选D.由图象得:对称轴是直线x=2,其中与x轴一个交点的坐标为(5,0).
∴图象与x轴的另一个交点坐标为(-1,0).
利用图象可知:
ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,
∴x<-1或x>5.
【变式备选】如图，已知函数 与y=ax2+bx（a＞0，
b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式
的解为( )
A．-3＜x＜0 B．x＜-3
C．x＞0 D．x＜-3或x＞0
【解析】选D．∵点P的纵坐标为1，
且在函数 上，∴
∴x=-3，∴点P（-3，1）.
由图可知，当 即 时，x的取值范围
是x＜-3或x＞0．
3.（2013·常州中考）二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且
a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
给出了结论：
(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为-3.
(2)当 时，y<0.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧.
则其中正确结论的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】选B.由表格可知，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点
坐标为（1，-4）,所以二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值
为-4；由表可知抛物线与x轴的交点为（-1,0）和（3，0），
开口向上，所以当-1确,(3)也正确.即正确的有（2）（3）两个.
4.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是________.
【解析】由图可得，函数y=x2-2x-3与x轴交点的坐标分别为
(-1,0),(3,0).
∵y＜0时，函数图象在x轴的下方，
∴自变量x的取值范围是-1＜x＜3.
答案：-1＜x＜3
5．已知抛物线
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标.
（3）画出草图.
（4）观察草图，指出x为何值时，y＞0，y=0，y＜0．
【解析】 （1）
抛物线开口向下，对称轴为x=-3，顶点坐标为（-3，2）.
（2）令x=0，得
∴抛物线与y轴的交点坐标为
令y=0，得到
解得：x=-1或x=-5，
故抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）和（-5，0）.
（3）草图为：
（4）根据草图知：当x=-1或x=-5时，y=0，
当-5＜x＜-1时,y＞0，
当x＜-5或x＞-1时,y＜0．
题组二:利用函数图象求一元二次方程(组)的解
1.根据下列表格中的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)
的自变量x与函数y的对应值,判断ax2+bx+c=0的一个解x的取值
范围为( )
A.1.40C.1.44x 1.43 1.44 1.45 1.46
y=ax2+bx+c -0.095 -0.046 0.003 0.052
【解析】选C.由表可以看出,当x取1.44与1.45之间的某个数时,y=0,即这个数是ax2+bx+c=0的一个根.所以ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.442.根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0,可列表如下,则方程
x2+px+q=0的正解满足( )
A.解的整数部分是0,十分位是5
B.解的整数部分是0,十分位是8
C.解的整数部分是1,十分位是1
D.解的整数部分是1,十分位是2
x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3
x2+px+q -15 -8.75 -2 -0.59 0.84 2.29
【解析】选C.根据表中函数的增减性,可以确定函数值是0时,
x应该是大于1.1而小于1.2.所以解的整数部分是1,十分位是1.
3.抛物线y=x2-2x+0.5如图所示,利用图象可得方程x2-2x+0.5
=0的近似解为______(精确到0.1).
【解析】由图象可得抛物线y=x2-2x+0.5与x轴的两个交点大致为(0.3,0),(1.7,0).
又∵抛物线y=x2-2x+0.5与x轴的两个交点就是方程x2-2x+0.5=0的两个根,
∴方程x2-2x+0.5=0的两个近似解为1.7或0.3.
答案:1.7或0.3
4.根据下列表格的对应值:请你写出方程ax2+bx+c=0(a≠
0,a,b,c为常数)的一个近似解为______(精确到0.1).
x 2 3 2.5 2.7 2.6 2.65
ax2+bx+c -1 1 -0.25 0.19 -0.04 0.072 5
【解析】由表格可知,当x=2.6时,ax2+bx+c=-0.04<0,
当x=2.65时,ax2+bx+c=0.0725>0,
根据ax2+bx+c的值由负到正,
又|-0.04|<|0.0725|,
可知ax2+bx+c=0的一个近似解为2.6.
答案:2.6
5.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似解.
(1)x2-2x-1=0.(2)x2+5=4x.
【解析】(1)从图象看抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点大概是2.4与-0.4,所以一元二次方程x2-2x-1=0的解是x1≈2.4,x2≈-0.4.
(2)抛物线y=x2-4x+5与x轴没有交点,所以一元二次方程
x2+5=4x无实数根.
【想一想错在哪？】已知函数y=(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2的图象
位于x轴的上方,求a的取值范围.
提示:函数y=(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2的图象位于x轴的上方,说明该函数图象的开口向上,并且与x轴无交点,据此可知a2-3a+2>0,(a-1)2-8(a2-3a+2)<0.忽略隐含条件函数图象的开口向上,导致解题过程出现错误.
