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2020年高中数学必修五第三章不等式
单元达标测评(A卷)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若角α，β满足－＜α＜0＜β＜，则α－β的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列不等式中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．对于任意实数 EMBED Equation.3 ，下列结论中正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；③若，则.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设动点满足条件,则取得最大值时,点P的坐标是
A． B． C． D．
6．（2019年诸暨市月考）不等式组的解集为( )
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．?
7．（2019年湖北月考）已知点(x，y)是如图3?1所示的平面区域内(阴影部分且包括边界)的点，若目标函数z＝x＋ay取最小值时，其最优解有无数个，则的最大值是( )
A. B.
C. D.
8．（2019年洛阳月考）若x，y满足则x＋2y的最大值为( )
A．1 B．3
C．5 D．9
9．（2019秋?浙江期中）已知关于x的不等式a（x+1）（x﹣3）+1＞0（a≠0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则下列结论中错误的是（ ）
A．x1+x2＝2 B．x1x2＜﹣3 C．x2﹣x1＞4 D．﹣1＜x1＜x2＜3
10．（2019秋?无锡期末）已知关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a﹣2）x﹣1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，] B．[﹣2，）
C．（，2] D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）
二、填空题
11．给出以下四个结论：
①过点，在两轴上的截距相等的直线方程是；
②若是等差数列的前n项和，则；
③在中，若，则是等腰三角形；
④已知，，且，则的最大值是2.
其中正确的结论是________（写出所有正确结论的番号）.
12．设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为_______．
13．已知，满足若目标函数的最大值为10，则的最小值为__________．
14.若实数x、y满足则s＝x＋y的最大值为___________.
三、解答题
15．已知函数（，且）.
（1）若函数的反函数是其本身，求实数的值；
（2）当时，求函数的值域.
16．已知，为正数，求证：
（1）若则对于任何大于1的正数，恒有成立；
（2）若对于任何大于1的正数，恒有成立，则.
17．在中，满足：，M是的中点.
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值：
（3）若点P是内一点，且，，，求的最小值.
18．已知某手机品牌公司的年固定成本为40万元，每生产1万部手机还需要另投入16万元，设该公句一年内生产x万部并全部销售完，每1万部手机的销售收入为万元，且．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；
（2）当年产量多少万部时，公司在该款手机生产获得最大利润，并求出最大利润．
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2020年高中数学必修五第三章不等式
单元达标测评(A卷)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若角α，β满足－＜α＜0＜β＜，则α－β的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
角，满足
，α－β的取值范围是，故选B.
2．下列不等式中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
由不等式的对称性可知选项A正确，
由不等式的传递性可知选项B正确，
结合不等式的性质可知选项C正确，
时，有，选项D错误.
本题选择D选项.
3．对于任意实数 EMBED Equation.3 ，下列结论中正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；③若，则.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】结论①中，当时，错误；结论②中，当时，错误；结论③正确.故选B
考点：不等式性质的应用.
4．设变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
本题考查线性规划的应用.
首先作出可行域，如图中的阴影部分.
由知表示可行域内任意一点与定点的连线的斜率.
由图可知，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最小值.
由得，则，则，故最小值为；
由得，则，则，故最大值为
故正确答案为D
5．设动点满足条件,则取得最大值时,点P的坐标是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
作出约束条件表示的平面区域如图所示:
平移直线，当直线经过点B(1,-1)时,取最大值.
故选B.
6．（2019年诸暨市月考）不等式组的解集为( )
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．?
【答案】A [?
??－4≤x≤－3.]
7．（2019年湖北月考）已知点(x，y)是如图3?1所示的平面区域内(阴影部分且包括边界)的点，若目标函数z＝x＋ay取最小值时，其最优解有无数个，则的最大值是( )
A. B.
C. D.
【答案】A [目标函数z＝x＋ay可化为y＝－x＋z，由题意知，当a<0，且直线y＝－x＋z与直线AC重合时，符合题意，此时kAC＝＝1，所以－＝1，a＝－1，而＝表示过可行域内的点(x，y)与点(－1,0)的直线的斜率，显然过点C(4,2)与点(－1,0)的直线的斜率最大，即＝.]
8．（2019年洛阳月考）若x，y满足则x＋2y的最大值为( )
A．1 B．3
C．5 D．9
【答案】D [作出可行域如图阴影部分所示．
设z＝x＋2y，则y＝－x＋z.
作出直线l0：y＝－x，并平移该直线，可知当直线y＝－x＋z过点C时，z取得最大值．
由得故C(3,3)．
∴zmax＝3＋2×3＝9.
故选D.]
9．（2019秋?浙江期中）已知关于x的不等式a（x+1）（x﹣3）+1＞0（a≠0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则下列结论中错误的是（ ）
A．x1+x2＝2 B．x1x2＜﹣3 C．x2﹣x1＞4 D．﹣1＜x1＜x2＜3
【解析】解：由关于x的不等式a（x+1）（x﹣3）+1＞0（a≠0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），
∴a＜0，x1，x2是一元二次方程ax2﹣2ax+1﹣3a＝0．
∴x1+x2＝2，x1x23＜﹣3．
x2﹣x124．
由x2﹣x1＞4，可得：﹣1＜x1＜x2＜4是错误的．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、不等式、配方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（2019秋?无锡期末）已知关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a﹣2）x﹣1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，] B．[﹣2，）
C．（，2] D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）
【解析】解：①当a2﹣4＝0，即a＝±2．
当a＝2时，不等式（a2﹣4）x2+（a﹣2）x﹣1≥0化为﹣1≥0，其解集为空集，因此a＝2满足题意；
当a＝﹣2时，不等式（a2﹣4）x2+（a﹣2）x﹣1≥0化为﹣4x﹣1≥0，即，其解集不为空集，因此a＝﹣2满足题意，应舍去；
②当a2﹣4≠0，即a≠±2时．
∵关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a﹣2）x﹣1≥0的解集为空集，
∴，解得a＜2．
综上可得：a的取值范围是（，2]．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了计算能力，属于中档题．
二、填空题
11．给出以下四个结论：
①过点，在两轴上的截距相等的直线方程是；
②若是等差数列的前n项和，则；
③在中，若，则是等腰三角形；
④已知，，且，则的最大值是2.
其中正确的结论是________（写出所有正确结论的番号）.
【答案】②④
【分析】①中满足题意的直线还有，②中根据等差数列前项和的特点，得到，③中根据同角三角函数关系进行化简计算，从而进行判断，④中根据基本不等式进行判断.
【解答】
①中过点，在两轴上的截距相等的直线还可以过原点，即两轴上的截距都为，即直线，所以错误；
②中是等差数列的前n项和，根据等差数列前项和的特点，，是一个不含常数项的二次式，从而得到，即，所以正确；
③中在中，若，则可得，
所以可得或，所以可得或，从而得到为直角三角形或等腰三角形，所以错误；
④中因为，，且，
由基本不等式，得到，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以，
即的最大值是，所以正确.
12．设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为_______．
【答案】7
【解析】
试题分析：根据已知条件作出可行域：在区域内，目标函数变形为，平移直线可得在直线经过点时，目标函数达到最大值，所以的最大值为
考点：线性规划
13．已知，满足若目标函数的最大值为10，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
试题分析：由题作出可行域，当直线经过点时，目标函数取得最大值，代入得，则当直线经过点时，取得最小值，且最小值为．
考点：简单线性规划．
【方法点睛】求解关于满足线性约束条件的最值时，可以现根据约束条件在直角坐标系中画出可行域，再将所求函数写作一次函数（直线）的形式，将直线在可行域中进行平行（旋转），然后确定纵截距（斜率）的最值，由这些最值便可确定待求量的最值；也可直接求得可行域边界处的端点，即两条直线的交点，而直线的纵截距（斜率）的最值必定会在这些端点处取得，所以将这些端点值代入直线方程便可求得待求量的值，从中选择最大（小）值即可．
14.若实数x、y满足则s＝x＋y的最大值为___________.
【答案】9
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【解答】
画出表示的可行域，如图，
由可得，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最大，
此时最大值为，故答案为.
【名师点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
三、解答题
15．已知函数（，且）.
（1）若函数的反函数是其本身，求实数的值；
（2）当时，求函数的值域.
【答案】（1）2；（2）.
【分析】（1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出的值；
（2）当时，先求函数的定义域，化简函数的解析式，利用基本不等式，即可求解.
【解答】
（1）令，
；
（2）当时，由题意可得，
函数的定义域为，
函数
，
而，当且仅当时，等号成立，
，
，
函数的值域是.
16．已知，为正数，求证：
（1）若则对于任何大于1的正数，恒有成立；
（2）若对于任何大于1的正数，恒有成立，则.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：
（1）将不等式左边变形为，然后根据基本不等式证明即可．（2）由题意得，根据基本不等式可求得，所以由可得结论成立．
试题解析：
（1）∵，
∴
∴，
当且仅当，即时等号成立．
∴ ．
（2）∵恒成立，
∴．
∵，
当仅且当，即时等号成立．
故．
∴，
∴．
17．在中，满足：，M是的中点.
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值：
（3）若点P是内一点，且，，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用向量的数量积公式得到，利用向量的数量积公式展开，求出向量与向量的夹角的余弦值；
（2）通过解三角形求出的长，设，则，利用向量的平行四边形法则得到而，利用向量的数量积公式将表示成关于的二次函数，通过求二次函数的最值求出最小值；
（3）设，将已知条件利用向量的数量积公式表示成关于的三角函数，将平方转化为关于的三角函数，然后利用基本不等式求出其最小值．
【解答】
解：（1）设向量，与向量的夹角为
，
令，.
（2），，
设，则，而，
，
当且仅当时，的最小值是.
（3）设，
，，，
，
同理：，
当且仅当时，
所以.
18．已知某手机品牌公司的年固定成本为40万元，每生产1万部手机还需要另投入16万元，设该公句一年内生产x万部并全部销售完，每1万部手机的销售收入为万元，且．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；
（2）当年产量多少万部时，公司在该款手机生产获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】（1） ；（2）50；6760.
【分析】（1）根据利润公式分段求解函数得出解析式；
（2）利用分段函数，结合二次函数的最值以及基本不等式求解时的最大利润，从而得出结论．
【解答】
（1）设年利润为万元，
当时，，
当时，，
所以．
（2）①当时，，
所以当时，取得最大值6104，
②当时，．
当且仅当即时取等号，
所以当时，取得最大值6760，
综合①②知，
当年产量为50万部时所获利润最大，最大利润为6760万元．
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