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2020年高中数学必修五第三章不等式
单元达标测评(B卷)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设，其中满足，若的最小值是-9，则的最大值为
A． B． C． D．
2．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则“”是“”成立的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
4．设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
5．（2019秋?苏州期末）关于x的不等式（ax﹣1）2＜x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，]∪（，] B．（，]∪[，）
C．[，）∪（，] D．[，）∪[，）
6．（2019春?广东期中）若存在唯一的正整数x0，使关于x的不等式x3﹣3x2﹣ax+5﹣a＜0成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019秋?沙坪坝区校级月考）已知等腰梯形的上底与高相等，腰长为，则该梯形的面积最大值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．
8．已知函数满足：则应满足（ ）
A． B．
C． D．
9．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题中正确的是（ ）
A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2
C．＜ D．＞
10．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
11.已知函数（， ）的两个零点分别在区间[和内，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则函数的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题
1．函数的最大值是______.
14．若关于不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ．
15．设变量满足约束条件，则的最大值为 ．
16．不等式组所表示的平面区域的面积是 .
三．解答题（共3小题，每小题10分，满分30分）
17．（2019秋?渭南期末）已知关于x的不等式2kx2+kx0，k≠0．
（Ⅰ）若不等式的解集为（，1），求k的值．
（Ⅱ）若不等式的解集为R，求k的取值范围．
18．（1）已知，，函数的图象过点，求的最小值；
（2）类比（1）中的解题思路，证明：在平面四边形中，式子不可能小于.
19．设不等式的解集为.
（1）求集合；
（2）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
20．已知函数.
（1）若，使不等式成立，求满足条件的实数的集合；
（2）为中最大正整数，，，，，求证：.
21．解关于的不等式， .
22．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求bc的最大值．
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2020年高中数学必修五第三章不等式
单元达标测评(B卷)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设，其中满足，若的最小值是-9，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出可行域，平移直线，由图可知,目标函数在点处取到最小值，可求得，从而可得结果.
【解答】
满足条件的点的可行域如图，
平移直线，
由图可知,目标函数在点处取到最小值，
即
解得，
平移直线，
目标函数在即，
处取到最大值.故选B.
2．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为,所以,选C.
3．若，则“”是“”成立的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】B
【分析】
设，由，，可得，充分性不成立；反之成立．
【解答】
解：设，由，，则，故充分性不成立；
由，则，所以，，即必要性成立．
所以“”是“”必要不充分条件.
故选：．
4．设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
变量x,y满足约束条件的可行域如图：
目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，
由可得A(0,3)，目标函数z=x+y的最大值为：3.
故选A.
5．（2019秋?苏州期末）关于x的不等式（ax﹣1）2＜x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，]∪（，] B．（，]∪[，）
C．[，）∪（，] D．[，）∪[，）
【解析】解：由题（ax﹣1）2＜x2恰有2个整数解，即（ax﹣1）2﹣x2＜0?（（a+1）x﹣1）（（a﹣1）x﹣1）＜0恰有两个解，
∴（a+1）（a﹣1）＞0，即a＞1，或a＜﹣1．
当a＞1时，不等式解为x，
∵∈（0，），恰有两个整数解即：1，2，
∴23，2a﹣2＜1≤3a﹣3，解得：a；
当a＜﹣1时，不等式解为x，
∵∈（，0），恰有两个整数解即：﹣1，﹣2，
∴﹣32，﹣2（a+1）＜1≤﹣3（a+1），解得：a，
综上所述：a，或a．
故选：B．
【名师点评】此题考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论．
6．（2019春?广东期中）若存在唯一的正整数x0，使关于x的不等式x3﹣3x2﹣ax+5﹣a＜0成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：设f（x）＝x3﹣3x2﹣ax+5﹣a，
则存在唯一的正整数x0，f（x0）＜0，
再设g（x）＝x3﹣3x2+5，h（x）＝a（x+1），
两个函数图象如图：要使存在唯一的正整数x0，
使得f（x0）＜0，只要，即，
解得a；
故选：B．
【名师点评】本题考查了函数图象以及不等式整数解问题；关键是将问题转化为两个函数图象交点问题；属于难题．
7．（2019秋?沙坪坝区校级月考）已知等腰梯形的上底与高相等，腰长为，则该梯形的面积最大值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．
【解析】解：设上底与高均为x（0＜x），则下底长为2x．
∴梯形的面积S
令，则
S＝2sin2α+2sinαcosα，
∵，∴，
∴当，即时，．
故选：C．
【名师点评】本题考查了函数的性质及其应用和三角函数的图象与性质，考查了函数思想和整体思想，属中档题．
8．已知函数满足：则应满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
列出不等式组，作出其可行域，利用线性规划求出f（3）的最值即可．
【解答】
：∵﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤5，
∴，
作出可行域如图所示：
令z=f（3）=9a﹣c，则c=9a﹣z，
由可行域可知当直线c=9a﹣z经过点A时，截距最大，z取得最小值，
当直线c=9a﹣z经过点B时，截距最小，z取得最大值．
联立方程组可得A（0，1），
∴z的最小值为9×0﹣1=﹣1，
联立方程组，得B（3，7），
∴z的最大值为9×3﹣7=20．
∴﹣1≤f（3）≤20．
故选：C．
9．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题中正确的是（ ）
A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2
C．＜ D．＞
【答案】B
【分析】
利用不等式的性质，特值法，作差法对每一个选项逐一分析判断得解.
【解答】
A选项，若，则，故不正确；
B选项，，，且，，故正确；
C选项，，，，故错误；
D选项，，，，故错误；
故选．
10．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】
按，，分类讨论.
【解答】
当时，不等式为恒成立，符合题意；
当时，若不等式对任意恒成立，
则，解得；
当时，不等式不能对任意恒成立．
综上，的取值范围是.
【名师点评】
二次型不等式恒成立问题，要按二次项的系数分类，再结合二次函数的性质分类讨论.
11.已知函数（， ）的两个零点分别在区间[和内，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，可行域如图阴影部分，则直线过点A时取最大值，选B.
12．已知，则函数的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】
先分离，再根据基本不等式求最值，即得结果.
【解答】
，当且仅当，即时，等号成立.
选A.
二、填空题
1．函数的最大值是______.
【答案】
【分析】
方法一：利用导数求函数的最大值，
方法二：利用基本不等式构造，再求原式的最值.
【解答】
方法一：
，
令，得或，因为函数的定义域为，所以函数若存在最大值，则最大值应在极大值处取到，当，时，函数的最大值为.
方法二：因为，当时，等号成立；
，当时，等号成立，
所以，
即，，
，当，时，等号成立，因此函数的最大值是.
故答案为：
14．若关于不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：由题意知，则必有，即，从而解得．
考点：1．二次函数与对数函数及其单调性；2．不等式恒成立问题．
【方法点晴】此题主要考查的内容有二次函数及其单调性、不等式恒成立等，由题意可转化为不等式在区间上恒成立，再根据函数与图象的特点，在区间上函数的图象要函数的图象上，从而可得解．
15．设变量满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：画出可行域（如图）.表示可行域内的点与原点连线的斜率，其最大值为
考点：1.简单线性规划；2.直线的斜率.
16．不等式组所表示的平面区域的面积是 .
【答案】1
【分析】
画出可行域，利用三角形面积公式可得结果.
【解答】
画出等式组表示的可行域，
如图，阴影部分三角形，三角形三个顶点坐标为，
由三角形面积公式可得不等式组所表示的平面区域的面积是，故答案为1.
三．解答题（共3小题，每小题10分，满分30分）
17．（2019秋?渭南期末）已知关于x的不等式2kx2+kx0，k≠0．
（Ⅰ）若不等式的解集为（，1），求k的值．
（Ⅱ）若不等式的解集为R，求k的取值范围．
【解析】解：（I）由题意可得，和1是 方程2kx2+kx0的两个根，
由方程的根与系数关系可得，，
解可得，k，
（II）由题意可得，2kx2+kx0恒成立，
则，
﹣3＜k＜0，
故k的范围为（﹣3，0）．
【名师点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．
18．（1）已知，，函数的图象过点，求的最小值；
（2）类比（1）中的解题思路，证明：在平面四边形中，式子不可能小于.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
分析：（1）由函数的图象过点，可得，，利用基本不等式可得结果；（2），则 ，从而可得结果.
解答：（1）∵函数的图象过点，
∴，
又，，
∴ ，
当且仅当时，“”成立，所以的最小值为.
（2）∵，
∴
.
当且仅当时，“”成立，
∴，即不可能小于.
名师点评：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
19．设不等式的解集为.
（1）求集合；
（2）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）A={x|1≤x≤4}（2）的取值范围为．
【解析】试题分析：（1）求出不等式x2≤5x-4的解集确定出集合A，
（2）若B?A，求实数m的取值范围进要注意B是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可．
试题解析：（1）原不等式即为x2-5x+4=（x-1）（x-4）≤0，所以1≤x≤4,
所以不等式的解集A={x|1≤x≤4}.
（2）原不等式等价于
若，则，要，只需
若，则，要，只需
若，则，符合
综上所述，的取值范围为．
考点：一元二次不等式的解法;集合中的参数取值问题;集合包含关系的判断.
20．已知函数.
（1）若，使不等式成立，求满足条件的实数的集合；
（2）为中最大正整数，，，，，求证：.
【答案】（1）;（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据题意，由零点分段讨论法分析不等式，得到的解析式，即可得到.
（2）由（1）可得，即可得，由基本不等式的性质可得，，，将3个式子相乘，可得．
试题解析：（1）由已知得
则，
由于，使不等式成立，所以，
即
（2）由（1）知，则
因为，，，所以，，，
则，（当且仅当时等号成立），
，（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），
则（当且仅当时等号成立），
即.
21．解关于的不等式， .
【答案】见解析
【解析】试题分析：将原不等式转化为，当时，化为分式不等式来求解.当时，原不等式可化为，由于对应三个根为，故对分成三类，讨论根的分布，由此求得不等式的解析.
试题解析：
原不等式可转化为 （*）
（1）当时，（*）式为，解得或
（2）当时，（*）式为
①若，则， ，解得，或；
②若，则， ，解得或
③若，则， ， ，解得，或；
综上，当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
22．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求bc的最大值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2．
【分析】（Ⅰ）先利用降幂扩角公式及二倍角公式将化简，再将代入求解即可；
（Ⅱ）利用余弦定理可得，再利用基本不等式可得，利用，即可求bc的最大值．
【解答】
解：（Ⅰ）
，
，
∵．
∴
（Ⅱ）∵
∴，
∴
又∵
∴bc≤2．
当且仅当 b＝c时，bc＝2，故bc的最大值是2．
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