2020年中考数学二轮专项——二次函数与几何图形综合题（含答案）

2020年中考数学二轮专项——二次函数与几何图形综合题
类型一　线段数量关系/最值问题


1. (2019滨州)如图①，抛物线y＝－x2＋x＋4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D.
(1)求直线AD的函数解析式；
(2)如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点．
①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；
②当点P到直线AD的距离为eq \f(5,4)时，求sin∠PAD的值．

第1题图










2. 如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6相交于A(，)和B(4，c)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB上的动点，设点P的横坐标为n，过点P作PC⊥x轴，交抛物线于点C，交x轴于点M.
①当点P在线段AB上运动时(点P不与点A，B重合)，是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
②点P在直线AB上自由移动，当点C、P、M中恰有一点是其他两点所连线段的中点时，请直接写出n的值．

第2题图










类型二　面积数量关系/最值问题

1. (2019成华区一诊)如图，抛物线经过原点O，与x轴交于点A(－4，0)，且经过点B(4，8)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设直线y＝kx＋4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2(x1(3)连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点C，连接OC、OP，当S△POC∶S△BOC＝1∶2时，求点P的坐标．

第1题图


















。

2. (2019武侯区一诊)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx＋3与抛物线交于点A(9，－6)，与y轴交于点B，抛物线的顶点C的坐标是(4，－11)．
(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；
(2)D是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD的面积为，求点D的坐标；
(3)在y轴上是否存在一点P，使∠APC＝45°？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．









类型三　特殊三角形存在性问题

1. (2019武侯区二诊)如图，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上一点，若S△PAB＝2S△ABC，求点P的坐标；
(3)将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x＋t与抛物线交于A′、B′两点(A′在B′的左侧)，当以点A′、B′、(2)中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．














类型四　特殊四边形存在性问题

1. (2019高新区二诊)如图，在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧，交y轴于点D.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)过抛物线C2：y＝x2＋mx＋n在第三象限上的一点P，作PF⊥x轴于点F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点的坐标；
(3)在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．




















类型五　相似三角形问题

1. (2019金牛区一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(－3，0)、B(1，0)，与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
(2)连接AD、CD，若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合)，当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；
(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．

第1题图 备用图
















参考答案
类型一　线段数量关系/最值问题
1. 解：(1)抛物线y＝－x2＋x＋4，
令x＝0，可得A点的坐标为(0，4)，
令y＝0，可得B点的坐标为(－4，0)，C点的坐标为(8，0)．
易得直线AB的函数解析式为y＝x＋4，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝45°.
又∵直线AD由直线AB逆时针旋转90°而来，
∴∠BAD＝90°，
∴∠OAD＝45°，△OAD为等腰直角三角形，
∴OD＝OA＝4，D(4，0)，
易得直线AD的函数解析式为y＝－x＋4；
(2)①如解图①，过点P作PE⊥x轴交AD于点E，PF⊥AD于点F，

第1题解图①
易得△PEF为等腰直角三角形，
∴PF＝PE，
∴当PE取得最大值时，PF取得最大值，
设P(x，－x2＋x＋4)，
则E(x，－x＋4)，
∴PE＝－x2＋x＋4－(－x＋4)＝－x2＋x＝－(x－6)2＋，
∴当x＝6时，PE有最大值，
此时PF有最大值，
∴当x＝6时，－x2＋x＋4＝，
∴当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标为(6，)，最大距离为；
②如解图②，连接AP，过点P作PE⊥x轴，交AD于点E，PF⊥AD于点F，当点P到AD的距离为时，PF＝，
则此时PE＝PF＝，
将PE＝代入PE＝－(x－6)2＋中，
解得x1＝10，x2＝2，
∴此时点P的坐标为(10，－)或(2，)，
当点P的坐标为(2，)时，AP＝＝，
∴sin∠PAD＝＝；
当点P的坐标为(10，－)时，
AP＝＝，
∴sin∠PAD＝＝＝.
综上，sin∠PAD的值是或.

第1题解图②
2. 解：(1)∵B(4，c)在直线y＝x＋2上，
∴c＝6，则B(4，6)，
∵A(，)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx＋6上，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为y＝2x2－8x＋6；
(2)①存在．
设点P的坐标为(n，n＋2)(∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－)2＋.
∵－2<0，∴当n＝时，线段PC的长取得最大值.
② n的值为或.
【解法提示】设P的坐标为(n，n＋2)，则点C的坐标为(n，2n2－8n＋6)，易知抛物线与x轴交点坐标为(1，0)，(3，0)，直线与x轴交点坐标为(－2，0)．(Ⅰ)若M点为PC的中点，此时n<－2或14或－2类型二　面积数量关系/最值问题
1. 解：(1)∵抛物线经过原点O，
∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，
把点A(－4，0)，B(4，8)代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2＋x；
(2)联立，
消去y，得x2＋(1－k)x－4＝0，
∴x1＋x2＝4(k－1)，x1x2＝－16，
∵－＝，
∴＝，
即＝，
解得k＝3或k＝－1，
经检验都符合题意，
∴k的值为3或－1；
(3)∵OB∥PC，S△POC∶S△BOC＝1∶2，
∴PC∶OB＝1∶2，
∵B(4，8)，
∴OB＝4，直线OB的解析式为y＝2x，
∴PC＝2，
设点P的坐标为(a，a2＋a)(－4＜a＜0)，直线PC的解析式为y＝2x＋t，
把P(a，a2＋a)代入y＝2x＋t，整理得t＝a2－a，
∴直线PC的解析式为y＝2x＋a2－a，
易得直线AB的解析式为y＝x＋4，
联立，
解得x＝4＋a－a2，
∴PC＝(xC－xP)＝×(4＋a－a2－a)＝2，
解得a＝2(舍去)或a＝－2，
将a＝－2代入抛物线的解析式，得y＝×(－2)2－2＝2－2，
∴点P的坐标为(－2，2－2)．
2. 解：(1)把点A(9，－6)代入y＝mx＋3中，
得m＝－1，
∴直线的函数表达式为y＝－x＋3；
∵抛物线的顶点C的坐标是(4，－11)且过点A(9，－6)，
设抛物线的函数表达式为y＝a(x－4)2－11，
∴a(9－4)2－11＝－6，
解得a＝，
∴抛物线的函数表达式为y＝(x－4)2－11＝x2－x－；
(2)设点D的横坐标为n.∵抛物线对称轴为直线x＝4，
∴分两种情况讨论
①当0＜n＜4时，如解图①，
过点D作x轴的垂线交直线AB于点E，
则D(n，n2－n－)，E(n，－n＋3)，
∴DE＝－n＋3－(n2－n－)＝－n2＋n＋，
∴S△ABD＝S△BDE＋S△ADE＝DE·(xE－xB)＋DE·(xA－xE)
＝DE·(xA－xB)＝(－n2＋n＋)×9＝，
解得n1＝(不合题意，舍去)，n2＝(不合题意，舍去)；

第2题解图①
②当n＜0时，如解图②，过点D作x轴的垂线交直线AB于点E，
S△ABD＝S△ADE－S△BDE＝DE·(xA－xE)－DE·(xB－xE)＝DE·(xA－xB)＝(－n2＋n＋)×9＝，
解得n1＝，n2＝(不合题意，舍去)．
当n＝时，y＝×()2－×－＝.
∴D(，)；

第2题解图②
(3)在y轴上存在一点P，使∠APC＝45°，
如解图③，分别过点C、A作y轴、x轴的平行线，两线交于点G，则∠CGA＝90°，
∵A、C的坐标分别为(9，－6)，(4，－11)，
∴点G的坐标为(4，－6)．
∴GA＝GC＝5.
作以G为圆心，GA的长度为半径的圆，交y轴于点P，P′，连接AP、CP、AP′、P′C，此时∠APC＝∠AP′C＝∠CGA＝45°，
∴GP＝5.
设点P的坐标为(0，k)，过点G作GH⊥y轴于点H，
则H(0，－6)．
在Rt△PGH中，PH2＋HG2＝PG2，
即(k＋6)2＋42＝52，
解得k1＝－3，k2＝－9，
∴P(0，－3)，P′(0，－9)．

第2题解图③
类型三　特殊三角形存在性问题
1. 解：(1)∵抛物线的顶点C在x轴的正半轴上，
∴＝＝0，
解得m＝2或－6，
∵顶点在x轴正半轴上，
∴－>0.解得m<－2，
∴m＝－6，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋4；
(2)如解图①，过点C作抛物线的对称轴，交直线AB于点D，
由y＝x2－4x＋4得抛物线的对称轴是直线x＝2，
则D(2，4)，DC＝4.
在点D上方的抛物线的对称轴上取一点E，使DE＝2DC，
则E(2，12)．
连接AE，BE，则S△ABE＝2S△ABC.
过点E(2，12)作直线AB的平行线交抛物线于点P1，P2，
此时满足S△PAB＝S△ABE＝2S△ABC.
设直线P1P2的函数表达式为y＝x＋k，
∵点E(2，12)在直线P1P2上，
∴2＋k＝12，
∴k＝10.
∴直线P1P2的函数表达式为y＝x＋10.
联立，
解得或，
综上所述，满足条件的点P的坐标为(－1，9)，(6，16)；

第1题解图①
(3)设A′(x1，y1)，B′(x2，y2)，
显然，∠PA′B′≠90°.
①如解图②，当∠A′B′P＝90°时，过点B′作直线MN∥y轴，A′M⊥MN于点M，PN⊥MN于点N，
∵直线A′B′的解析式是y＝x＋t，
∴∠B′A′M＝45°，
∴△A′B′M和△PB′N都是等腰直角三角形，
∴PN＝NB′，
∴x2＋1＝9－y2，即x2＋y2＝8，
联立，
解得，
将点(4－t，4＋t)代入抛物线的函数表达式，得4＋t＝(4－t)2－4×(4－t)＋4.
解得 t1＝0，t2＝10(此时点A′与点P重合，舍去)；

第1题解图②
如解图③，若∠A′PB′＝90°，过点P作EF∥y轴，A′E⊥EF于E，B′F⊥EF于点F，
则△A′EP∽△PFB′，
∴＝.
∴＝.
∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝9(y1＋y2)－y1y2－81，
令x2－4x＋4＝x＋t，即x2－5x＋4－t＝0，
则x1＋x2＝5，x1x2＝4－t，
y1＋y2＝(x1＋t)＋(x2＋t)＝x1＋x2＋2t＝5＋2t，
y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝x1x2＋t(x1＋x2)＋t2＝t2＋4t＋4，
∴(4－t)＋5＋1＝9(5＋2t)－(t2＋4t＋4)－81，
整理得t2－15t＋50＝0，
解得t1＝5，t2＝10(此时A′与P重合，舍去)，
综上，t的值为0或5.

第1题解图③
类型四　特殊四边形存在性问题
1. 解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状，大小均相同，
∴a＝1，n＝－3，
∴C1的对称轴为直线x＝1，
∴C2的对称轴为直线x＝－1，
∴m＝2，
∴C1的函数表达式为y＝x2－2x－3，C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3＝0，
在C2的函数表达式y＝x2＋2x－3中，当y＝0可得x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3或x＝1，
∴A(－3，0)，B(1，0)；
(2)根据题意可得点D的坐标为(0，－3)，设直线AD的表达式为y＝kx＋b.
把(0，－3)和(－3，0)代入到y＝kx＋b中得，
解得，
∴直线AD的表达式为y＝－x－3，
设P(a，a2＋2a－3)，
则E(a，－a－3)，
则PE＝－a－3－(a2＋2a－3)＝－a2－3a，根据对称可得四边形PEDE′是菱形，则DE′＝PE＝－a2－3a，
如解图，过点P作PG⊥y轴于点G，
∵ED∥PE′，ED所在直线斜率k＝－1
∴∠E′＝∠AEF＝45°，GE′＝－a，PG＝GE′.
在Rt△PGE′中，根据勾股定理得：PE′＝－a，根据菱形性质可得：PE′＝DE′，
∴－a＝－a2－3a，
解得a＝－3，
∴P(－3，2－4)；

第1题解图
(3)存在．
∵AB的中点为(－1，0)，且点G在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，
∴AB只能为平行四边形的一边，
∴GQ∥AB且GQ＝AB，
由(1)可知AB＝1－(－3)＝4，
∴GQ＝4，
设G(t，t2－2t－3)，则Q(t＋4，t2－2t－3)或(t－4，t2－2t－3)，
①当Q(t＋4，t2－2t－3)时，则t2－2t－3＝(t＋4)2＋2(t＋4)－3，
解得t＝－2，
∴t2－2t－3＝4＋4－3＝5，
∴G(－2，5)，Q(2，5)；
②当Q(t－4，t2－2t－3)时，则t2－2t－3＝(t－4)2＋2(t－4)－3，
解得t＝2，
∴t2－2t－3＝4－4－3＝－3，
∴G(2，－3)，Q(－2，－3)，
综上可知，存在满足条件的点G、Q，其坐标为G(－2，5)，Q(2，5)或G(2，－3)，Q(－2，－3)．
类型五　相似三角形问题
1. 解：(1)把点A、B、D的坐标分别代入抛物线的解析式中得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝－1，
∴点C的坐标为(－1，4)；
(2)如解图①，过点C作CE∥AD交抛物线于点E，交y轴于点T，
则△ADE与△ACD面积相等，
直线AD过点D，设其解析式为y＝mx＋3，
将点A的坐标代入得：0＝－3m＋3，解得m＝1，
则直线AD的解析式为y＝x＋3，
∵CE∥AD，设直线CE的解析式为y＝x＋n，
将点C的坐标代入上式得：4＝－1＋n，解得n＝5，
则直线CE的解析式为y＝x＋5，
则点T的坐标为(0，5)，
联立，
解得x＝－1或x＝－2(x＝－1为点C的横坐标)，
即点E的坐标为(－2，3)；
在y轴取一点H′，使DT＝DH′＝2，
过点H′作直线E′E″∥AD，
则△ADE′和△ADE″都与△ACD面积相等，
同理可得直线E′E″的解析式为y＝x＋1，
联立，
解得x＝，
∴点E″、E′的坐标分别为(，)、(，)，
综上，满足要求的点E的坐标为(－2，3)或(，)或(，)；

第1题解图①
(3)如解图②，设点P的坐标为(m，n)，则n＝－m2－2m＋3，
把点C、D的坐标代入一次函数的解析式y＝kx＋b得：，
解得，
即直线CD的解析式为y＝－x＋3，
由(1)得，直线AD的解析式为y＝x＋3，
∴AD⊥CD，
而直线PQ⊥CD，故直线PQ的解析式中的k值与直线AD的解析式中的k值相同，
同理可得直线PQ的解析式为y＝x＋(n－m)，
联立，
解得x＝，
即点Q的坐标为(，)，
则PQ2＝(m－)2＋(n－)2＝＝(m＋1)2·m2，
同理可得：PC2＝(m＋1)2[1＋(m＋1)2]，
AH＝2，CH＝4，则AC＝2，
当△ACH∽△CPQ时，＝＝，
即4PC2＝5PQ2，
整理得3m2＋16m＋16＝0，
解得m＝－4或m＝－，
∴点P的坐标为(－4，－5)或(－，)；
当△ACH∽△PCQ时，
同理可得，点P的坐标为(－，)或(2，－5)，
综上所述，点P的坐标为(－4，－5)或(－，)或(－，)或(2，－5)．

第1题解图②

针对训练

针对训练

针对训练

针对训练

针对训练