高中数学人教B版选修2-2 第一章 1.1.2瞬时速度与导数 上课课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
旧知回顾



平均变化率的定义
我们把式子 称为函数 f(x)从 到 的平均变化 率 . （ average rate of change）
平均速度不能反映物体在某段时间里的运动状态，那么用什么来衡量物体的状态呢？
新课导入



如何知道运动员在每一时刻的速度呢？
汽车在每一刻的
速度怎么知
道呢？
1.1.2 瞬时速度与导数



教学目标
知识与能力
（1）体会导数的思想及其内涵.
（2）能根据导数定义，求函数的导数.
（3）理解瞬时速度的概念.
过程与方法
（1）体会导数的思想及其内涵，通过分析实例，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数.
（2）通过函数图象直观地理解导数的意义.
情感态度与价值观
能够在已有的经验（生活经验，数学学习经验）的基础上，更好的学习瞬时速度，导数等概念 .
教学重难点



重点
体会导数的思想及其内涵，形成导数概念.
难点
导数的概念及其内涵.
瞬时速度的概念
在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instaneous velociy）.

平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也即需要通过瞬时速度来反映.
瞬时速度与平均速度的区别
例题1
已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s（t）(ｓ表示位移,t表示时间）,求物体在t0 时刻的速度．
物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻 t 的瞬时速度v，就是物体在t到 t+Δt这段时间内，当 Δt?0 时的平均速度:
物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位移单位是m，时间单位是s，g=10m/s2.求：
（1） 物体在时间区间[2，2.1]上的平均速度；
（2） 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
例题2
解:
(1)将 Δt=0.1代入上式，得:
你做对了吗？
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
从而平均速度 的极限为
还记得上节课讲的关于高台跳水问题吗？运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系:
例题3
通过列表看出平均速度的变化趋势?：
知道了瞬时速度的概念，那么在高台跳水运动中，如何求（比如，t=2)运动员的瞬时速度？
△t<0时，在[2+ △t,2]这段时间内
当△t=-0.01时， =-13.051；
当△t=-0.001时， =-13.0951；
当△t=-0.0001时， =-13.09951；
当△t=-0.00001时， =-13.099951；
当△t=-0.000001时， =-13.0999951；
…...
△t>0时，在[2,2+ △t]这段时间内
当△t=0.01时， =-13.149；
当△t=0.001时， =-13.1049；
当△t=0.0001时， =-13.10049；
当△t=0.00001时， =-13.100049；
当△t=0.000001时， =-13.1000049；
…...
观察 当 趋近于0时，平均速度 有什么样的变化？
我们发现，当 趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1 .
我们用



表示 “当t=2, Δt趋近于0 时,平均速度趋于确定值-13.1”.

探究
那么运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎么表示?

探究
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又怎么表示？
导数定义
一般地，函数 在 处的瞬时变化率是
我们称它为函数 在 处的导数（derivative）.
一般将导数 记作 ,或 者 ,即
表示函数y关于自变量x在 处的导数














有极限

f(x)在点x0处可导
f(x)在点x0处的导数

概念理解
是函数f(x)在以x0与x0+Δx 为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化率,而导数则是函数f (x)在点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．
概念理解
知识补充
事实上，导数也可以用下式表示：
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数，就说函数y=f(x)在点x0处可导，如果极限不存在，就说函数 f(x)在点x0处不可导.
知识补充
由导数的意义可知，求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
（1）求函数的增量
（2）求平均变化率
（3）取极限，求得导数
这里的增量不是一般意义上的增量，它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
注意！
例题4
求函数y=x2在x=1处的导数.



课堂小结
1.瞬时速度的定义
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
2.导数的定义
一般地，函数 在 处的瞬时变化率是
我们称它为函数 在 处的导数（derivative）.
3.求导数的步骤
（1）求 ?y；
?x
?y

（2）求 ；
（3）取极限得 f?(x)=lim .
?x
?y

?x?0
若f′(x0)=2，则
-1
随堂练习



1.

设函数 f(x)可导 ，则



=（ ）
A.

B.

C. 不存在
D. 以上都不对
B
2.

求函数y=x+1/x在x=2处的导数.
3.

4.

已知函数 在 处的附近有定义，且 ，求 的值.
设函数f(x)在点x0处可导,求下列极限值.

5.

再见