人教A版高中数学选修4-7 第一讲 优选法 四 分数法 上课课件(共40张PPT)

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知识回顾

1.试验点的选取：
x1=小+0.618× (大－小)；
x2=小+大－x1.
一般：xn=小+大-xm.
概括为“加两头，减中间”.


新课导入

在实际生活中，我们经常用0.618法来优选解决.但它也不能用于一切的优选问题，例如某些问题的试验范围是由不连续的点组成，试点只能去取特定数，用0.618法就不适用，因此，我们需要寻求其他方法来解决问题.
既然不能采用0.618法来解决问题，那究竟我们要采用什么方法来解决上面的问题呢？

针对上面的问题，后来有人采用分数近似数来代替黄金分割常数来解决上面的问题，此方法，后来被称为分数法.
下面，我们就对分数法进行进一步的讲解……
第四节 分数法


教学目标
1. 知识与技能
(1) 了解并掌握分数法的基本概念.
(2) 了解什么是斐波那数列.
(3) 学会使用斐波那数列来解决问题.
(4) 能够使用分数法解决实际的优选问题.
(5) 了解并掌握什么是分数法的最优性.
2.过程与方法
　　（１）教师案例引入分数法，通过演示案例，指导学生观察分析，总结归纳.
　　（２）学生积极思考认真学习，理解分数法的概念，通过自己动手演算，进行推导.
　　（3）通过学生的自主学习，掌握分数法的使用方法，并能通过分数法解决实际的优选问题.
3.情感态度与价值观
　　（１）通过学生之间的讨论、交流与协作探究，培养学生之间的团队合作精神.
　　（２）让学生在探究过程中体验解决问题的成功喜悦，增强学生的学习兴趣.
　　（ 3 ）通过学生的自主探究学习，培养学生的创新能力，开阔学生的思维空间.


教学重难点
重点
　　（1）了解并掌握分数法的概念.
　　（2）学会使用分数法解决实际的优选问题.
　　（3）利用优选法的最优性找出最佳点.
难点
努力
　　（1） 用分数法解决实际的优选问题.
　 （2） 比较分数法和黄金分割法解决优选问题的不同.
　　（3） 利用分数法的最优性找出最佳点.


本节导航

一、分数法
二、分数法的最优性
一、分数法
案例1 ：
在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的锥形量杯计量加入量,该量杯的量程分为15格，每格代表10ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.



上述的问题能否用0.618法来解决呢？如果不能，该如何安排试验？
接下来，我们就来解决案例……
我们利用分数代替黄金分割常数来解决问题……
解：

案例1中，加入量大于130ml时肯定不好，因此试验范围就定在0～130ml.
我们看到，10ml、20ml、30ml,……,120ml把试验范围分为13格，对照ω的渐进分数列，如果8/13=F5/F6来代替0.618，那么我们有
X1=0+(8/13)*(130-0)=80,
这样，第1个试点安排在80ml处，其对称点用“加两头，减中间”的方法，得：
X2=0+130-80=50,
即第2个试点安排在50ml处，在整个因素范围的5/13=F4/F6位置，
比较两次试验结果，如果x1时好点，则去掉x2一下部分，存优范围为50~130ml，其中有8格（7个试点，包括一个已做过试验的80ml处）.
在存优范围50~130ml内，用“加两头，减中间”的方法求x1的对称点，得：
X3=50+130-80=100,
所以第3个试点在100ml处，这个点相当于存优范围重新进行编号后的F4/F5位置，而x1在存优范围的F3/F5位置.
继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果.
针对上述的介绍，究竟什么是分数法呢？
优选法中，像上面这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.
如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这时只能采用分数法.


案例2 ：
调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5KΩ,1KΩ, 1.3KΩ, 2KΩ,3KΩ, 5KΩ,5.5 KΩ等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值？
针对上述问题，我们进行解决：
解：
如果采用0.618法，则计算出来的电阻测试者手里可能没有，这时，可以先把这些电阻由小到大顺序排列：



阻值（KΩ）
排列
0.5
1
1.3
2 3 5
5.5

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
这样，就把阻值优选变为排列序号的优选，问题就容易解决了.
为了便于用分数法，可在两端增加虚点(0),(8),使因素范围凑成为8格，用5/8来代替0.618.第一个试点序号(5)，即3KΩ；第二个试点按“加两头，减中间”的方法得(0)+(8)- (5)= (3),即取1.3KΩ.以下按分数法顺序确定试点，就可以较快的找到较好的试点.
通过以上例题，我们学会了解决分数法的最优点问题.
结论
总结
一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.

（1）可能的试点总数正好是某一个（Fn-1）.


（2）所有可能的试点总数大于某一（Fn-1） ，
而小于（Fn+1-1）.

总而言之，分数法也是适合单因素单峰函数的方法，它与0.618法的本质是相同的，两者的区别只是用分数代替0.618和0.382来确定试点，后续的步骤都是相同的.


归纳
二、分数法的最优性
根据第一节的学习，我们知道，当有(Fn+1-1)个试点时，用分数法安排试验，最多只需要作n次试验就能找出其中的最佳点.现在，反过来考虑问题，无论用什么方法安排试验，作n次试验最多能从多少个试点中找出最优点.
以下假设目标函数为单峰的，我们分两种情况进行讨论.
当有2个试点时，在每个试点各做一次试验，通过比较就能找出其中的最佳点.
当有3个试点时，只在其中两个试点各做一次试验，不能确定全部试点中的最佳点.
因此，作两次试验最多能从2个试点中保证找出最佳点.
注意到当n=2时，Fn+1-1=F3-1=2,事实上，我们可以将上面做2次试验的情形，推广到一般情形：作n次试验，最多能从（Fn+1-1）个试点中保证找出最佳点.
结论
　　（1）在目标函数为单峰的情形，通过n次试验，最多能从（Fn+1-1）个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点.
　　（2）在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从（Fn+1-1）个试点中找出最佳点.
综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数法的最优性.分数法在有有限个试点的优选问题中被广泛使用.


总结：
讨论





大
家
谈

　　今天课堂我们学到了哪些知识呢？


课堂小结

分数法
优选法中，像上面这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.
分数法使用
具体就是利用分数作为黄金分割数的近似数来解决优选问题.
分数法的最优性
（1）在目标函数为单峰的情形，通过n次试验，最多能从（Fn+1-1）个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点.
（2）在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从（Fn+1-1）个试点中找出最佳点.



课堂练习


1
什么是分数法？
优选法中，像上面这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.


2.
分数法的最优性的结论？

（1）在目标函数为单峰的情形，通过n次试验，最多能从（Fn+1-1）个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点.
（2）在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从（Fn+1-1）个试点中找出最佳点.