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基本不等式（三）解析
班级______________ 姓名______________
一、选择题
1．若x>0，则函数y＝12x＋的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．8
解析：选C 因为x>0，所以y＝12x＋≥2 ＝4，当且仅当12x＝，即x＝时等号成立，故选C.
2．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
解析：选C 由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋＝5当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立，∴3x＋4y的最小值是5.
3．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
A. B.
C．2 D.
解析：选C 由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
4．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
解析：选B (1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.
5．已知m＝a＋(a>2)，n＝(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．mC．m＝n D．不确定
解析：选A 因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝<4，综上可知m>n.
6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1
C. D．3
解析：选B 由x2－3xy＋4y2－z＝0，
得z＝x2－3xy＋4y2，
∴＝＝.
又x，y，z为正实数，
∴＋≥4，即≤1，
当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2.
∴＋－＝＋－
＝－2＋＝－2＋1，
当＝1，即y＝1时，上式有最大值1.
二、填空题
7．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析：因为实数x，y满足xy＝1，所以x2＋2y2≥2＝2＝2，并且仅当x2＝2y2且xy＝1，即x2＝2y2＝时等号成立，故x2＋2y2的最小值为2.
答案：2
8．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat________loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．
解析：因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，
又a>0，所以a>1，
因为t>0，所以≥，
所以loga≥loga＝logat.
答案：≤
9．已知x>－1，则函数y＝的最小值为________．
解析：由x>－1，得x＋1>0，
则y＝
＝
＝(x＋1)＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立，
所以ymin＝16.
答案：16
10．已知a>b>c，则与的大小关系是________________．
解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立．
答案：≤
三、解答题
11．某厂家拟在2018年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2018年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2018年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2018年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
12．已知a，b，c为正实数， 且a＋b＋c＝1，求证：≥8.
证明：因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥.
同理，－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，
相乘得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号.
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基本不等式（三）
班级______________ 姓名______________
一、选择题
1．若x>0，则函数y＝12x＋的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．8
2．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
3．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
A. B.
C．2 D.
4．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
5．已知m＝a＋(a>2)，n＝(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．mC．m＝n D．不确定
6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1
C. D．3
二、填空题
7．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
8．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat________loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．
9．已知x>－1，则函数y＝的最小值为________．
10．已知a>b>c，则与的大小关系是________________．
三、解答题
11．某厂家拟在2018年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2018年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2018年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
12．已知a，b，c为正实数， 且a＋b＋c＝1，求证：≥8.
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