教 学 设 计
课题 17.2 勾股定理的逆定理 课时 1
班别 教 具
时间
教 学 目 标 1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
重点 掌握勾股定理的逆定理及证明
难点 勾股定理的逆定理的证明
教 学 过 程
内容及流程 教师与学生活动 备注
明 确 目 标 导入新课，明确目标 复习检测： 勾股定理的内容？ 什么是命题？ 什么是定理？ 2、导入：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？ ⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。 3、出示学习目标，同学齐读，理解。
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实 施 目 标 二、自主预习 梳理新知 1、勾股定理：直角三角形的两条_________的平方____等于______的_______，即___________. 2、直角三角形的性质 （1）有一个角是 ；（2）两个锐角 ， （3）两直角边的平方和等于斜边的平方： （4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的 边是 边的一半． 3、勾股定理的逆定理内容： 三、合作探究 生成能力 目标导学一：勾股定理的逆定理 例1：证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。 ⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。 ⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。 ⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。 ⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。 证明略。 例2：如图，已知在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝4 (1)AD.求证：CE⊥EF. 解析：根据题设提供的信息，可将需证明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形中，运用勾股定理的逆定理进行证明．
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实 施 目 标 证明：连接CF.设正方形的边长为4，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵点E为AB中点，AF＝4 (1)AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即EF⊥CE. 方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要的方法． 目标导学二：互逆命题与互逆定理 例3： 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行； (3)相等的角是内错角； (4)有一个角是60°的三角形是等边三角形． 解析：求一个命题的逆命题时，分别找出各命题的题设和结论将其互换即可得原命题的逆命题． 解：(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题； (2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)，真命题； (3)内错角相等，假命题； (4)等边三角形有一个角是60°，真命题． 方法总结：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例即可． 四、课堂总结 本节课我们学习了勾股定理的逆定理，并拓展了互逆命题和互逆定理，大家一定要熟记。
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检 测 目 标 1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________，能构成直角三角形的是____________．（填序号） ①3，4，5 ② 1，3，4 ③ 4，4，6 ④ 6，8，10 ⑤ 5，7，2 ⑥ 13，5，12 ⑦ 7，25，24 2、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A．5，6，7 B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12 3、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A、a=9，b=41，c=40 B、a=b=5，c= C 、a∶b∶c=3∶4∶5 D a=11，b=12，c=15 4、若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（ ） A．42 B．52 C．7 D．52或7 5、命题“全等三角形的对应角相等” （1）它的逆命题是 。 （2）这个逆命题正确吗？ （3）如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例。
板 书 设 计 17.2 勾股定理的逆定理（一） 1．勾股定理的逆定理及勾股数 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 2．互逆命题与互逆定理
领 导 评 课 意 见 学校检查记实
教学后记
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课题 17.2 勾股定理的逆定理 课时 1
班别 教 具
时间
教 学 目 标 1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
重点 掌握勾股定理的逆定理及证明
难点 勾股定理的逆定理的证明
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明 确 目 标 导入新课，明确目标 复习检测： 勾股定理逆定理的内容？ 什么是互逆命题？请举一例。 什么是互逆定理？请举一例。 2、导入： 3、出示学习目标，同学齐读，理解。
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实 施 目 标 二、自主预习 梳理新知 写出下列真命题的逆命题，并判断这些逆命题是否为真命题。 （1）同旁内角互补，两直线平行； 解：逆命题是： ；它是 命题。 （2）如果两个角是直角，那么它们相等； 解：逆命题是： ；它是 命题。 （3）全等三角形的对应边相等； 解：逆命题是： ；它是 命题。 （4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等； 解：逆命题是： ；它是 命题。 三、合作探究 生成能力 目标导学：勾股定理逆定理的应用 例1：如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 解析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，判断△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数． 解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC.可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°.在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°. 方法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题的关键是根据题意构造△APE为直角三角形． 例2：一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。 分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长； ⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13； ⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。
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实 施 目 标 例3：如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形． 解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格． 方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答． 例4：某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ （提示：只要能求出两艘轮船航向所成的角，即可解决问题） 四、课堂总结 今天，我们共同探究了利用勾股定理的逆定理来求角度、求边长以及生活中的实际问题，课下要反复思索理解。
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检 测 目 标 1、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。 2、如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。 3、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西n°，问：甲巡逻艇的航向？
板 书 设 计 17.2 勾股定理的逆定理（二） 1．利用勾股定理逆定理求角的度数 2．利用勾股定理逆定理求线段的长 3．利用勾股定理逆定理解决实际问题
领 导 评 课 意 见 学校检查记实
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