18.2 勾股定理的逆定理 第1课时 勾股定理的逆定理
一、选择题
1.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 14,36,39 B. 8,24,25 C. 8,15,17 D. 10,20,26
2．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．
A.1∶1∶2 B.1∶3∶4 C.9∶25∶26 D.25∶144∶169
3.(易错题)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A.∠B=∠C-∠A B.a2 = (b+c) (b-c) C.∠A：∠B：∠C=5 ：4 ：3 D.a : b : c=5 : 4 : 3
4.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成各选项所示的两个直角三角形，其中正确的是（ ）
二、填空题
5．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；②若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；
③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．
6．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．
7．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为______，此三角形为______．
8.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知 AB = 13，AD = 12，AC =15，BD=5，则BC的长为 .
三、解答题
9．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
10．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
11．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．
12 (教材习题变式）如图所示，在四边形 ABCD 中，∠B= 90°，AB=4，BC=3,CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
13.观察下列各组勾股数的组成特点，你能求出第7组勾股数a，b，c各是多少吗？第n组呢？
第 1 组:3=2X1+1，4=2X1X(1+1),5=2X1X(1 + 1)+1；
第 2 组:5=2X2+1，12=2X2X(2+1),13=2X2X(2+1) + 1；
第 3 组:7=2X3+1，24=2X3X(3+1),25=2X3X(3+1) + 1；
第 4 组:9=2X4+1，40=2X4X(4+1),41=2X4X(4+1) + 1；
…；
第 7 组:a，b，c.
参考答案
1. C 解析 ∵142+362=1492.392=1521≠1492，
∴A项不是勾股数；
∵82+242=640，252=625≠640，∴B项不是勾股数；
∵82+152=289，172=289，∴C项是勾股数；
∵102+202=500，262=676≠500，∴D项不是勾股数.
点拨：一组数是勾股数，必须符合两个条件：（1）三个数必须是正整数.（2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.
2．C．
3. C 解析 A选项，∵∠B=∠C-∠A，∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠C-∠A+∠C=180°，∴∠C=90°，∴ΔABC是直角三角形；B选项，a2=（b+c）（b-c），即a2+c2=b2，∴ΔABC为直角三角形；C选项，∠A：∠B：∠C=5：4：3，则最大角∠A=180°×=75°，则ΔABC为锐角三角形；D选项，a：b：c=5：4：3，则a2=b2+c2，则ΔABC为直角三角形，故选C.
4 C 解析 因为72+242=252，152+202=252，所以用长度为7，24，25和15，20，25的小木棒能分别摆成直角三角形，故选C.
5．①锐角；②直角；③钝角．
6．24．提示：7＜a＜9，∴a＝8．
7．13，直角三角形．提示：7＜c＜17．
8. 14 解析 由AD2+BD2=AB2可知ΔABC为直角三角形，则AD为ΔABC的BC边上的高，在RtΔACD中，CD2=AC2-AD2=152-122=81，所以CD=9，BC=BD+CD=5+9=14.
9．
10．南偏东30°．
11．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0．
12 解：如图所示，连接AC.
∵∠B=90°，
∴ΔABC是直角三角形.
依据勾股定理的AC2=AB2+BC2=42+32=25=52，∴AC=5.
在ΔACD中，AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=169，∴AD2=AC2+CD2.
∴ΔACD是直角三角形，∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SΔABC+SΔACD=AB?BC+AC?CD=×4×3+×5×12=6+30=36.
∴四边形ABCD的面积为36.
方法：要求不规则四边形ABCD的面积，可把四边形分割成几个三角形，这是常用的方法.此题是先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断ΔACD为直角三角形，即原四边形ABCD可分割成两个直角三角形.
13. 分析：观察已知勾股数的特点，找出规律.
解：第7组：a=2×7+1=15，b=2×7×（7+1）=112，c=2×7×（7+1）+1=113.
第n组：a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1.
18.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理的逆定理应用
一、选择
1．在△ABC中，AB=，BC=，AC=，则（ ）
A．∠A=90° B．∠B=90° C．∠C=90° D．∠A=∠B
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形
3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3 B．a=4，b=2，c=3 C．a=4，b=2，c=5 D．a=4，b=5，c=3
4．已知四个三角形分别满足下列条件：①三角形的三边之比为1：1：；②三角形的三边分别是9、40、41；③三角形三内角之比为1：2：3；④三角形一边上的中线等于这边的一半.其中直角三角形有（ ）个。
A．4 B．3 C．2 D．1
5．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c=
C．（b+a）（b-a）=c2 D．∠A：∠B：∠C=5：3：2
二、解答
6．一个三角形三条边的比为5：12：13，且周长为60cm，求它的面积.
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状.
8．如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积。
9．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边长如图2所示。
（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
（2）求这个零件的面积.
10．如图所示，如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角？简述你的作法，并说明理由。
龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？
12．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？
参考答案
一、选择
1．【答案】A
【解析】∵AB2=（）2=2，BC2=（）2=5，AC2=（）2=3，
∴AB2+AC2=BC2，
∴BC边是斜边，
∴∠A=90°。
故选A．
2．【答案】B
【解析】如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2=9：16：25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B。
3．【答案】D
【解析】A、因为1+2=3，所以三条线段不能组成三角形，一定不能组成直角三角形；
B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；
C、因为22+42≠52，所以三条线段不能组成直角三角形；
D、因为42+32=52，所以三条线段能组成直角三角形。
故选：D。
4．【答案】A
【解析】①因为12+12=（）2三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
②因为92+402=412三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
③设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，则三角分别为30°，60°，90°，故是直角三角形；
④因为符合直角三角形的判定，故是直角三角形。
所以有4个直角三角形。
故选：A。
5．【答案】B
【解析】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确；
B、设a=20k，则b=15k，c=12k，
∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2，
故不能判定是直角三角形；
C、∵（b+a）（b-a）=c2，
∴b2-a2=c2，
即a2+c2=b2，
故是直角三角形，正确；
D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，
∴∠A=×180°=90°，
故是直角三角形，正确．
故选：B。
二、解答
6．【答案】120cm2
【解析】设该三角形的三边是5k，12k，13k．
因为（5k）2+（12k）2=（13k）2，
所以根据勾股定理的逆定理，得该三角形是直角三角形．
根据题意，得5k+12k+13k=60，
解得k=2，
则5k=10，12k=24，
则该直角三角形的面积是120。
故答案为：120cm2
7．【答案】∵关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=16-4b=0
解得：b=4，
∵a=3，c=5，
∴32+42=52，
∴△ABC为直角三角形．。
8．【答案】连接BD，
∵∠C=90°，
∴△BCD为直角三角形，
∵BD2=BC2+CD2=22+12=（）2，
∵BD＞0，
∴BD=，
在△ABD中，
∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×2×+×2×1=6．
故四边形ABCD的面积是6。
9．【答案】（1）∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，
∴AB2+AD2=BD2，
BD2+BC2=DC2，
∴△ABD、△BDC是直角三角形，
∴∠A=90°，∠DBC=90°，
故这个零件符合要求。
（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积
=3×4÷2+5×12÷2
=6+30
=36．
故这个零件的面积是36。
10．【答案】能检查。
作法：如图所示，
（1）在射线PM上量取PA=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B。
（2）连接AB得△PAB。
（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不是直角。
理由：∵PA=3cm，PB=4cm，PA2+PB2=32+42=52．
若AB=5cm，则PA2+PB2=AB2，
根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形，即∠P是直角。
11．【答案】龙梅走的路程：×4×60=120（米），
玉荣走的路程：×4×60=160（米），
∵1202+1602=2002，
∴她们走的方向成直角，
以原来的速度相向而行相遇的时间：200÷（+）=200÷ = =171（秒）；
答：她们走的方向成直角，如果她们想讲和，按原来的速度相向而行，171秒后能相遇．
12．【答案】BM=8×2=16海里，
BP=15×2=30海里，
在△BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，
BM2+BP2=PM2，
∴∠MBP=90°，
180°-90°-60°=30°，
故乙船沿南偏东30°方向航行.
