沪科版八下数学16.1 二次根式教学课件（51张）

(共51张PPT)
第16章 二次根式
16.1 二次根式
课堂讲解
课时流程
1
2
二次根式的概念
二次根式的非负性
二次根式的性质
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2）二次根式 有意义，则x 。
知1－导
1
知识点
二次根式的概念
1.口答：4的平方根是多少？4的算术平方根是多少？
2.填空： 的算术平方根是 ； = .
、 、 等都是二次根式.
知1－导
知1－讲
定义：形如 (a≥0)的式子叫做二次根式；其中“ ”
称为二次根号，a称为被开方数(式)．
要点精析：
(1)二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的，必须
含有二次根号“ ”；“ ”的根指数为2，即 ，
“2”一般省略不写．
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的
式子，但前提是a必须大于或等于0.
知1－讲
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ＋1(a≥0);
(5) ；(6) ；(7) ；(8)
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．
知1－讲
解：(1)∵ 的根指数是3，∴ 不是二次根式．
(2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 不是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式．
知1－讲
(5)当x＝－3时， 无意义，∴ 也无意义；
当x≠－3时， ＞0，∴ 是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， 不是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
知1－讲
(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，
∴ 是二次根式．
(8)∵|x|≥0，∴ 是二次根式．
知1－讲
二次根式的识别方法：
判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式
的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个
特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数(式)为非负数．
知1－练
A
下列式子不一定是二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
1
知1－练
下列式子：
中，一定是二次根式的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2
C
知1－讲
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；
反之也成立，即： 有意义?a≥0.
2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；
反之也成立，即： 无意义?a＜0.
知1－讲
例2 当x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
解：(1)要使 有意义，必须x+3 ≥0.解这个不等
式，得 x ≥ -3.
即当x ≥ -3时， 在实数范围内有意义.
(2)因为x为任何实数时都有x2 ≥0，所以当x为一切实数时， 在实数范围内都有意义
（来自教材）
知1－讲
求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数；对于零指数幂，则必须满足底数不能为零；对于含有分式的，则需满足分母不能为零．
知1－讲
求式子有意义时字母的取值范围的方法： 第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等式或不等式组．第三步，求出不等式或不等式组的解集，即为字母的取值范围．
知1－讲
例3 若式子 有意义，则点P(a，b)在(　　)
A．第一象限　 　B．第二象限　　
C．第三象限　 　D．第四象限
C
要确定点P(a，b)在第几象限，则需确定a，b的符号，
而a，b的符号可从式子有意义隐含的条件中求出，
即 ∴ ∴点P(a，b)在第三象限．
导引：
知1－讲
(1)本例通过式子有意义隐含的条件，求出点的横、纵坐标的符号，从而确定点在平面直角坐标系中所处的象限；这种由“数”确定符号到“形”确定位置的过程，体现了数形结合思想．
知1－讲
(2)当题中指出式子有意义或说式子是什么式子时，都表示这个式子一定具备定义中的条件，解这类题一般都是先根据定义建立关于字母的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定字母取值范围．
知1－练
1
D
(中考·巴中)要使式子 有意义，则m的取值
范围是(　　)
A．m>－1
B．m≥－1
C．m>－1且m≠1
D．m≥－1且m≠1
知1－练
2
(中考·滨州)如果式子 有意义，那么x的取值
范围在数轴上表示正确的是(　　)
C
2
知识点
二次根式的非负性
知2－讲
双重非负性： 中 a≥0， ≥0，即一个非负
数的算术平方根是一个非负数.
知2－讲
例4 若 与 互为相反数 ，则x+y
的值为 ( )
A．3 B．9 C．12 D．27
D
知2－讲
根据互为相反数的两数的和等于0列式，再根据非负
数的性质列出关于x，y的二元一次方程组，求解得
到x，y的值，然后代入所求式子进行计算即可得解．
∵ 与 互为相反数，
∴ ＋ ＝0.
导引：
又∵ ≥0， ≥0，
∴ 即
②－①，得y＝12.
把y＝12代入②，得x－12－3＝0，
解得x＝15，∴x＋y＝15＋12＝27.
知2－讲
知2－讲
常见的三种类型的非负数：
绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根)．当它们的和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
1
知2－练
(中考·攀枝花)若y＝ ＋ ＋2，则xy＝
________.
(中考·泰州)实数a，b满足 ＋4a2＋4ab＋b2＝0，
则ba的值为(　　)
A．2 B. C．－2 D．
2
9
B
知3－讲
3
知识点
二次根式的性质
性质1：( )2=a(a≥0)，即一个非负数的算术平
方根的平方等于它本身.
知3－讲
应用a＝( )2(a≥0)可将一个非负数写成一个数
的平方的形式，如果含有字母，要考虑字母的
取值范围，如a－1要写成一个数的平方的形式，
就必须满足a－1≥0.
例5 将下列各数写成一个非负数的平方的形式：
(1)7； (2) ； (3)x2＋1； (4)a－1.；
导引：
知3－讲
(1)7＝( )2.
(2)
(3)x2＋1＝( )2.
(4)当a≥1时，a－1＝( )2；
当a＜1时，a－1不能写成一个数的平方的形式．
解：
知3－讲
? 形如(4)这类题目应充分运用分类讨论思想．另外，此类题中并不是所有的非负数都得写成二次根式的平方(不一定带根号)的形式，如4＝22，16＝42，x2＋2x＋1＝(x＋1)2等．
知3－讲
解：(1)( )2=1.5;
(2)(2 )2=22×( )2=4×5=20.
例6 计算： (1) ；(2) ；
知3－讲
( )2=a(a≥0)这一性质也可以反过来用，即a =
( )2(a≥0)，如3=( )2， 等．
知3－讲
性质2： 即一个数的平方的算术
平方根等于它的绝对值.
知3－讲
与( )2的区别与联系：
区别：①取值范围不同： 中a为全体实数，( )2中
a≥0；②运算顺序不同： 是先平方后开方，( )2是
先开方后平方；
③运算结果不同： ＝|a|= ( )2＝a.
知3－讲
与( )2的区别与联系：
联系： 与( )2均为非负数，且当a≥0时， ＝
( )2.
计算(b )2时，运用(ab)2＝a2b2这个结论可知，
(b )2＝b2a.
知3－讲
例7 计算: (1) ; (2) .
解： (1)
或
(2)
知3－讲
计算 一般有两个步骤：①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即 ＝|a|；②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简，即|a|＝
知3－讲
例8 先化简再求值: ，其中x=4.
解：
当x=4时，
∴当x=4时，
知3－讲
运用 ＝|a|进行化简时，其关键步骤是去绝对值符号，而去绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的代数式的符号，因此一定要结合具体问题，如数轴、几何图形特征等，先确定其符号，然后进行化简．
知3－讲
例9 实数a，b在数轴上对应点的位置如，化简：
根据实数a，b在数轴上对应点的位置先确定a，b，
a－b的符号，再根据二次根式的性质
开方、去绝对值符号，最后合并
同类项．
导引：
知3－讲
由数轴知，a＜0，b＞0，∴a－b＜0.
∴
＝|a|－|b|－|a－b|＝(－a)－b－[－(a－b)]
＝－a－b＋a－b
＝－2b.
解：
知3－讲
观察数轴确定a，b及a－b的符号是解答本题的关键, 本题巧用数轴给出了每个数的符号, 渗透了数形合思想．
知3－练
1
求下列各式的值：
(1) ; (2)( )2;
(3)( )2; (4) -( )2.
知3－练
2
下列计算正确的是(　　)
A．－( )2＝－6 B．( )2＝9
C．( )2＝±16 D．
把4 写成一个正数的平方的形式是(　　)
A. B. C. D.
3
A
B
知3－练
4 求下列各式的值：
(1) (2)
(3) (4)
5 先化简再求值： 其中x= －2.
知3－练
6 下列式子成立的是(　　)
A. ＝－13 B．－ ＝－0.6
C. ＝13 D. ＝±6
7 如果 ＝1－2a，则(　　)
A．a< B．a≤ C．a> D．a≥
C
B
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被
开方数是非负数．
二次根式的性质：
中a≥0， ≥0，即一个非负数的算术平方根是
一个非负数；
(2)( )2＝a(a≥0)，即一个非负数的算术平方根的平方
等于它本身；
＝|a|＝ 即一个数的平方的算术平方根
等于它的绝对值．
请完成对应习题。