2020春人教版九下数学28.2.1解直角三角形作业设计（含简单答案）

28.2.1　解直角三角形
知识点 1　解直角三角形
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB的长为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
2.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC的长为(　　)
A.3sin40° B．3sin50°C.3tan40° D．3tan50°
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝6，b＝2 ，则∠B的度数为________．
4.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝8 ，∠A＝60°，则a＝________，b＝________.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形.
(1)已知∠A＝60°，b＝4；
(2)已知a＝，c＝；
(3)已知c＝28 ，∠B＝30°.
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝6，求BC的长．
知识点 2　解直角三角形的应用
7.如图，为了测量一河岸相对的两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB＝50°，则A，B间的距离应为(　　)
A.15sin50° 米 B．15tan50° 米 C.15tan40° 米 D．15cos50° 米
8.某楼梯的示意图如图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽为1米，则地毯的面积至少为(　　)
A.平方米 B.平方米 C.(4＋)平方米 D．(4＋4tanθ)平方米
9.如图，已知在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E.若sinB＝，AD＝6，则菱形ABCD的面积为(　　)
A.12 B．12 C．24 D．54
10.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E.设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为(　　)
A.3 B. C. D.
11.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺的直角顶点重合放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
能力提升
12.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是(　　)
A.R2－r2＝a2B．a＝2Rsin36°C.a＝2rtan36° D．r＝Rcos36°
13.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过点C作CD⊥AB于点D.已知cos∠ACD＝，BC＝4，则AC的长为(　　)
A.1 B. C．3 D.
14.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)(　　)
A. B. C. D．h·cosα
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，cos∠ABC＝，点D在BC边上，BD＝6，CD＝AB，则AD的长为__________．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB上的高CD＝，BD＝1，解这个直角三角形．
17.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ，求△ABC的面积．
18.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinB＝，AC＝8，D为线段BC上一点，并且CD＝2.
(1)求BD的长；
(2)求cos∠DAC的值．

参考答案
1．D　[解析] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝，BC＝6，∴AB＝＝＝10.
2.D　[解析] 已知∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°.∵tanB＝，即tan50°＝，∴AC＝3tan50°.故选D.
3.30°　[解析] ∵tanB＝，b＝2 ，a＝6，∴tanB＝＝，∴∠B＝30°.
4.12　4　[解析] 本题是已知一锐角和斜边，解直角三角形，由sinA＝，得a＝c·sinA＝8 ·sin60°＝8 ×＝12，由勾股定理易知b＝4 .
5.解：(1)∵∠A＝60°，∴∠B＝30°.
∵tanA＝，
∴a＝btanA＝4tan60°＝4 ，
∴c＝＝8.
即∠B＝30°，a＝4 ，c＝8.
(2)由勾股定理，知b＝＝＝，∴a＝b，
∴∠A＝∠B＝45°.
即∠A＝∠B＝45°，b＝.
(3)∵∠B＝30°，
∴∠A＝60°，b＝c＝×28 ＝14 .
又∵cosB＝，
∴a＝c·cosB＝28 ×cos30°＝14 .
即∠A＝60°，a＝14 ，b＝14 .
6.解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sinA＝.
∵AB＝6，sinA＝，∴＝，∴BC＝4.
7.B　[解析] 由tan∠ACB＝知AB＝AC·tan∠ACB＝15tan50°.故选B.
8.D
9.C　[解析]∵四边形ABCD是菱形，AD＝6，∴AB＝BC＝6.在Rt△ABE中，sinB＝.
∵sinB＝，∴＝，解得AE＝4，∴菱形ABCD的面积是6×4＝24.故选C.
10.B　[解析] 由已知可得AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ACD＝α.在Rt△DEC中，cosα＝＝，即＝，∴CE＝.根据勾股定理，得DE＝.在Rt△AED中，cosα＝＝，即＝，∴AD＝.故选B.
11.解：∵在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，
∴AC＝＝2 ，则EF＝AC＝2 .
∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sinE＝，
∴AF＝AC－FC＝2－.
12.A[解析]∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝72°.∵OB＝OC，OH⊥BC，∴∠BOH＝∠BOC＝36°，BH＝BC＝a.在Rt△BOH中，OB2－OH2＝BH2，∴R2－r2＝(a)2＝a2，则选项A错误．∵sin36°＝，∴BH＝OB·sin36°，即a＝Rsin36°，∴a＝2Rsin36°，则选项B正确．∵tan36°＝，∴BH＝OH·tan36°，即a＝rtan36°，∴a＝2rtan36°，则选项C正确．∵cos36°＝，∴OH＝OB·cos36°，∴r＝Rcos36°，则选项D正确．故选A.
D　[解析]∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B.在Rt△ABC中，∵cosB＝
cos∠ACD＝＝，BC＝4，∴AB＝，∴AC＝＝＝.故选D.
14.B　[解析] 根据同角的余角相等，得∠CAD＝∠BCD，由cos∠BCD＝，知BC＝＝.故选B.
15.2 　[解析] 如图，过点A作AE⊥BC于点E.∵AB＝AC，∴BE＝CE.设DE＝x，则BE＝6＋x，CD＝6＋2x.∵cos∠ABC＝，AB＝CD＝6＋2x，∴＝＝，解得x＝2.∴AB＝10，BE＝8，∴AE＝＝6.∴在Rt△ADE中，AD＝＝2.
16.解：在Rt△BCD中，BC＝＝＝2，
∴sinB＝＝，
∴∠B＝60°，
∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.
在Rt△ABC中，AB＝＝＝＝4，
∴AC＝＝＝＝＝2 .
即∠A＝30°，∠B＝60°，AB＝4，BC＝2，AC＝2.
17.解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC＝∠BDC＝90°.
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD.
∵∠A＝30°，AC＝2 ，
∴CD＝AC＝，
∴BD＝CD＝.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
AD＝＝＝3，
∴AB＝AD＋BD＝3＋，
∴△ABC的面积为CD·AB＝××(3＋)＝.
18.解：(1)在Rt△ABC中，sinB＝＝.
∵AC＝8，∴AB＝10，BC＝＝＝6，
∴BD＝BC－CD＝6－2＝4.
(2)在Rt△ACD中，
∵AD＝＝＝2，
∴cos∠DAC＝＝＝.