2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2学案：第2章2.12.1.2　第1课时　点斜式Word版含解析

2.1.2　直线的方程
第1课时　点斜式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)
2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)
3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)
通过学习本节内容来提升学生的数学运算和逻辑推理数学核心素养.
1．直线的点斜式方程
(1)过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．
(2)过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1．
2．直线的斜截式方程
斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．
思考：(1)“斜截式方程的应用前提是什么？(2)截距是距离吗？
提示：(1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在．
(2)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．
1.思考辨析
(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.
(　　)
(2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．
(　　)
(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线． (　　)
(4)当直线的斜率不存在时，过点(x1，y1)的直线方程为x＝x1.
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．过点(2，3)，斜率为－1的直线的方程为________．
y＝－x＋5　[由点斜式方程得：y－3＝－1·(x－2)，
∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.]
3.过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．
y＝1　x＝1　[过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.]
4.已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为________．
x－y－2＝0　[k＝tan 60°＝，且过点(0，－2)，所以直线方程为y＋2＝(x－0)，即x－y－2＝0.]
利用点斜式求直线的方程
【例1】　根据下列条件，求直线的方程．
(1)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
(3)经过点A(1，1)，B(2，3)．
思路探究：先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．
[解]　(1)∵直线的倾斜角为45°，
∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，
即x－y＋1＝0.
(2)∵直线与x轴平行，
∴倾斜角为0°，斜率k＝0，
∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，
即y＝－1.
(3)∵直线的斜率k＝＝2.
∴直线的点斜式方程为y－3＝2×(x－2)，
即2x－y－1＝0.
1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．
1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(－1，2)；
(2)在x轴上的截距是－5.
[解]　(1)∵所求直线的倾斜角为135°，
∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1，2)，
∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5，0)，又所求直线的斜率为－1，
∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，
即x＋y＋5＝0.
利用斜截式求直线的方程
【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
思路探究：(1)直接利用斜截式写出方程；
(2)先求斜率，再用斜截式求方程；
(3)截距有两种情况．
[解]　(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
1.直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．
2.当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．
2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．
(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.
(2)倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.
[解]　(1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝，
由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝x.
(2)设直线y＝－x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－，
∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝.
∴直线的斜截式方程为y＝x－10.
含参数方程问题
[探究问题]
1．对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？
[提示]　直线y＝kx＋1过定点(0，1)，直线不过第三象限，只需k<0.
2．已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为a.
(1)求直线l的方程．
(2)当a为何值时，直线l经过点(4，－3)?
[提示]　(1)因为直线l的斜率k＝2，在y轴上的截距为a，由直线方程的斜截式可得y＝2x＋a.
(2)由于点(4，－3)在直线l上，把点的坐标代入l的方程y＝2x＋a得－3＝2×4＋a，所以a＝－11.
【例3】　已知直线l经过点P(4，1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程．
思路探究：设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．
[解]　设所求直线的点斜式方程为：y－1＝k(x－4)(k<0)，当x＝0时，y＝1－4k；当y＝0时，x＝4－.
由题意，得×(1－4k)×＝8.
解得k＝－.所以直线l的点斜式方程为
y－1＝－(x－4)．
在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．
3．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．
[解]　设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得
·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1，
即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
1．本节课的重点是了解直线方程的点斜式的推导过程，掌握直线方程的点斜式并会应用，掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．难点是了解直线方程的点斜式的推导过程．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)求点斜式方程的方法步骤．
(2)求斜截式方程的求解策略．
(3)含参数方程问题的求解．
3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)
A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1
C　[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，
∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.]
2．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是________．
x－y＋＋1＝0　[由方程知，已知直线的斜率为，
∴所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝(x＋1)，即x－y＋＋1＝0.]
3．直线x＋y＋1＝0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是________．
135°，－1　[直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.]
4．求经过点A(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．
[解]　设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)．
当x＝0，y＝4＋3k，
当y＝0，x＝－－3，
∴3k＋4－－3＝12，即3k2－11k－4＝0，
∴k＝4或k＝－.
∴直线方程为y－4＝4(x＋3)或y－4＝－(x＋3)，即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.